用摄动配置方法求解时间相关的薛定谔方程

学校代码：10200 分类号：塑 研究生学号； 密 级： ③ Y8898五6 1213203047 无 东牡师茁失季 硕士学位 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 用摄动配置方法求解时间相关的 薛定谔方程 ． SolVe711赫e-dependentSchr6dingerEquationsWith PerturbedCoUocationMethod 指导教师 学科专业 研究方向 学位类型 作者：白洁静 刘晓艳；Ⅱ教授 应用教学 计算数学 学历硕士 东北师范大学学位评定委员会 2006年5月 摘 要 本文对摄动配置算法进行了一定的研究，并将其应用到含时薛定谔方程这一极其重 要的量子力学模型．摄动配置算法是在传统的配置算法的基础上增加了一个摄动算子， 从而大大扩展了传统配置算法的应用范围．一个摄动配置算法在理论上等价于一个龙格 ．库塔方法，文章从龙格一库塔方法的辛条件出发得到了与其等价的摄动配置算法的辛条 件，并对该算法的阶条件给出了详尽的证明。 文中构造了一类s级2s_2阶的辛摄动配置算法，并就薛定谔方程这一模型给出了具 体的数值计算格式．当s分别等于2和3时我们将其实施到薛定谔方程的数值模拟，给 出了颇为详实的数值例子．众所周知，理沦上等价并不意味着数值上等效，因此我们也 给出了等价的辛龙格一库塔方法的数值计算．为了比较，我们还给出了同阶的非辛算法 的数值模拟，从而得到辛摄动配置算法和其在理论上等价的辛龙格一库塔方法在数值上 的等效性以及辛算法在数值计算中的优越性．同时通过改变时间步长，即改变时一空网 格比对这些方法进行数值模拟， 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 了解的数值稳定性． 关键词：薛定谔方程；摄动配置算法；辛方法；龙格一库塔方法 Abstract Int11ispaper，wemainlydiscusstheperturbedcollocationmethod．、Vbapplythe me七hodtotheScllr6dingerequationwhjchisaveryimportentmodelinquantumme— chanics．Pertllrbedcollocationmethodaddedaperturbationoperatortotheclas8ical collocationmethod，soitgeneralizesthedassic甜coUocation111ethod．Aperturbedcollo。 cationlnethodisequivalenttoaR肛ng争Kuttamethodtheoretic出1y．Thispapersuggests tllesymplectici哆conditionfortheperturbedcollocationmethodfromtheequivaIcnt symplecticRunge-Kuttamethodandprovetheorderconditionforthismethodindetajl． V％constructasymplectics—stageperturbedc01locationmethodoforder2s一2a11d 印plyittotheSchr6dingerequation．EspeciallyweimplementtheⅡ啪ericalexperiments fors=2ands=3．Itiswelll(110wn，theequivalerlce七heoreticallydoesnotmeaⅡthe samenumericall*Incomparisonwiththesymplecticpertllrbedcollocationmethod， wegivethenumericalexperimentsfortheeqllivalelltsymplecticRunge_Kuttamethod andanothert啪non—symplecticmethods．Itshowsthataremarl(abIeadwltageofthe symplecticmethodsappHedtotheSchr石dingerequationistheprecisepreservatiouof chargeconscrVation1awInordertostudythermmerical8tability’wealsoadoptt11e di舶renttimest印sizes．Inour叫mericalexperiment8，thenumericalresultsshowthat 01lralgorithmsherearestable KeyWords：Schr6dingerequation；Pertu工bedCollocationmcthord；Symplectic method；Runge-Kuttamethord II 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进褥的研究工作及取得的研究成 果。辫我藏弼，豫了文中符蠲魏激标注酾致谢的地方讣，论文中不包含其他人已经发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 角过的糖精。与我一霹工作的麓志对本研究所傲驹任何贡献均已在论文中俸了明确的说 明并表示谢意． 学位论文作者签名； 亟渍翅 日期；I《；支釜￡ 学位论文版权使厢 授权 个人房产授权委托书公司各类授权委托书模版医师授权办法餐饮分店授权书产品代理授权书范本 书 本学位论文作者完众了解永jE师范大学有关保留、使用学位论文的规定，’即：东北 筛范太学有较倦留并秘黼家有关都门或槐褐送交孥位论文鹃复窜体和磁盘，允许论文被 查阅和借阅．本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 送行裣索，可阪条爱影窜、缩窜凌其它复耩手段缳存、汇编学位论文． (保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 盘菇勰 指导教师签名： 鑫 褒：．1应：羹兰}鞋 麓： 学位论文作者毕业詹去向； 王佟单位；—— 通讯地址 电话： 邮编； 剖坠墅 涟：l二搿 引 言 哈密顿系统具有辛结构，哈密顿正则方程在辛变换下形式不变，它的解由辛变换群 生成．198一1年冯康用辛几何的观点提出计算哈密顿系统的辛算法．之后，他与他的合作 者进行了系统的研究，包括提出r构造辛格式的生成函数法，幂级数法等，讨论了守恒量 ，研究了保能量算法，保体积算法和接触算法等，并且在天体物理，大气与海洋科学，等 离子体，分子动力学等领域广泛应用并获得成功．特别在长时间、多步数的计算中和保 持系统结构t辛算法显示出明显的优越性。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定。在量子力学 中当徵观粒子在某时刻的状态为B知时，以后时刻粒子所处的状态同经典力学一样也要 由一个方程来决定，不同的是在量子力学中微观粒子的状态是用波函数来描述的，决定 粒子状态变化的方程就是薛定谔方程．在研究强激光与原子的相互作用时，因为场强已 经接近甚至超过原子库仑势，常用的微扰论不再适用．而宙时薛定格方程包容了原子、 激光场及其相互作用的全部物理内容，所以直接求解含时薛定格方程以研究强激光与原 子的相互作用是一条合理、自然的途径，目益受到人们重视和采用．因此薛定谔方程在 茸子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动方程的价值相似。含时薛 定格方程的解(波函数)的时间演化保持酉积守恒，这等价于模方守恒和辛积守恒；采用 展开法和对称差商代替空间变量偏导数将含时薛定格方程离散成有限维正则方程，并采 用已有的辛格式求解．冯康曾一般地讨论了显含时间的哈密顿系统的接触结构与接触算 法，秦孟兆引入辅助正则动量和正则坐标，构造丁显含时间哈密顿系统的辛格式；Gray 和vcrosky采用M矩nus近似将显含时问哈密顿系统转换为不显含时间哈密顿系统。石 爱民，母英魁和丁培柱等对含时薛定格方稗离散成显含时间的正则方程构造了2阶的显 式辛格式和模方守恒辛格式． 本文针对一维有限宽无限深势阱中的电予与模拟激光场V(￡，z)=Ezs伽∞￡)相互作 用的线性含日十Schrij(1mger方程 j￡望!告≯=(Ho+V(f，z))皿(￡，z)， ，。¨ 1鼠：一j等+K(g) ¨1u 吣，：=蚀蓦袅， 利用一种新的数值计算方法一一摄动配置算法进行求解．摄动配置算法是一种构造方法， 最早提出该方法的是S．PN口rsett，它给出了对应于一阶微分系统的摄动配置方法，讨论 了它和龙格一库塔方法的关系以及该方法的A一稳定性， B一稳定性，误差估计等其它 性质．而GeetllaRamaswami则把该方法推广到二阶微分系统，并把它与Runge—Kutta Nvstr6m方法联系起来．因为辛的RKN方法只能是2s阶的方法，荷通过摄动配置技巧 则能构造出2s一1阶以及2争2阶的辛RKN方法，这样就扩大了RKN方法的应用范围。 本文应用的是对于一阶微分系统的摄动配置算法．在多项式线性空同Ⅱ。上定义一个摄 本文应用的是对于一阶微分系统的摄动配置算法，在多项式线性空同Ⅱ。上定义一个摄 动算子(民，nu)(t)=u(￡)+∑凳。％((￡一to)／^)u竽’∥，其中的u(t)是方程精确解的逼 近多项式，也就是我们所要求的解，通过在配置算法的基础上加入这个摄动算子构造出 摄动配置算法，从而大大扩展了传统的配置算法的应用范围。当这个摄动算子为恒等算 子时，它就是普通的配置算法。正如配置算法一样，一个摄动配置方法在理论上等价于 一个龙格一库塔方法．我们在文中从龙格一库塔方法的辛条件出发得到了与其等价的摄 动配置算法的辛条件，并对摄动配置算法的阶条件给出了详尽证明．文中我们构造了一 类s级2s一2阶的辛摄动配置算法，并针对上述模型给出了具体的数值格式。当s=2和 s=3时，我们给出了颇为详实的数值例子．众所周知，有些算法在理论上等价，在数值 上却未必等效．在这里，摄动配置算法和对应的龙格一库塔方法在理论上是等价的。但 其相应的格式却是天壤之别．基于这个原因，我们分别给出了这两种方法的数值模拟， 可以看出它们在数值上也是等效的．模方守恒不仅是薛定谔方程的一个重要守恒律，而 且是量子力学中一个普遍遵循的基本原理，因此文中不仅给出了波函数的数值模拟，还 着重讨论了模方守恒．为了比较，我们还给出了两种非辛算法的数值模拟．从这些数值 例子中我们可以看出辛摄动配置算法和龙格一库塔方法以及非辛方法对于波函数的模拟 是几乎一样的，但对于模方守恒，前两种算法几乎已经达到机器精度(10_14)，而非辛算 法的模方守恒精度则要差得多．通过改变时间步长进行数值模拟，我们发现无论是辛方 法还是非辛方法的波函数图像几乎不发生变化，而对于模方守恒，辛方法的精度只是发 生微小的变化(需要指出的是，2阶摄动配置算法在步长为0．0087≤^曼0．0100上时， 模方守恒的精度突然从1005变为lO～，丽在其它步长区间上，模方守恒的精度依然能 保持很小的变化．这是一个非常奇特的数值现象)，非辛方法的精度有所降低，但还是保 持在O附近震荡．由此我们可以看出，无论是辛的摄动配置算法还是辛龙格一库塔方法 对于含时非齐次薛定谔方程是稳定的，但辛方法在模方守恒方面有其特殊的优势。由于 本文所讨论的含时薛定谔方程是线性的却并不是常系数的，而现在一般文献上关于线性 方程稳定性的讨论仅限于常系数，所以我们通过改变时间步长来探讨其数值稳定性是必 要的． 本文第一章给了哈密顿系统的一些简单介绍．第二章介绍了摄动配景算法，我们把 它在理论上与龙格一库塔方法等价起来，并从龙格．库塔方法的辛条件出发给出了与其 对应摄动配置方法的辛条件和阶条件，构造了s级2s_2阶的辛的数值算法．第三章把构 造出的辛格式应用于含时薛定谔方程，给出了辛的二级二阶和三级四阶方法对薛定谔方 程进行求解，并模拟其波函数，证明了它的解的稳定性和模方守恒性并与等价的龙格一库 塔方法的结果比较，另外给出了其他的两种非辛格式的方法并与其比较，证明辛方法在 模方守恒上的精度要比非辛的方法好得多，由此也显示出了辛算法对于数值计算的优越 性。 由于目前有关摄动配置方法的文献还比较少，而且仅是停留在理论的研究上，并没 有把该方法应用于方程进行计算，也没有进行相应的数值模拟，本文把摄动配置算法应 用于薛定谔方程尚属酋例，所以对该算法的应用还很肤浅，很多性质及分析尚有待深入 研究。 2 第一章 哈密顿系统简介 牛顿力学研究质点组在三维欧氏空间中的运动，它满足牛顿运动方程；拉格朗日力 学用广义坐标和广义速度描述运动，它满足拉格朗日方程；哈密顿力学用广义坐标口(￡)= (口l(￡)，q2(t)，⋯，吼(￡))和广义动量p(￡)=(p1(t)，p2(t)，⋯，‰(f))描述运动，系统的能量 是它们的可微函数日(p}q)，称为哈密顿函数，系统的运动满足哈密顿正则方程 警一筹，象=鬻，⋯，z，⋯，n ∽t，d￡ a岱’ dt 勃’ ‘⋯’ ’“ 、⋯’ 或 dp一8Hdq—aH 面一一百了’ 面一刁F 其中 8H ＼0H aH、i 8H ＼8H 8H、i 酉2l面’⋯’瓦J7 瓦2l丽’⋯’瓦J 令z=(轧+胁，m，⋯，‰)7，器=l器，⋯，器，差，⋯，罄卜则正则方程(11)可 写成 警一1筹，J=I二：『 ㈠玎 定理1：正则方程在辛变换下形式不变，即如果S是辛变换， z=S(￡)，H(z)=H(S(￡))=何(j) 那么正则方程变为 ；：J一-掣一J一境 (1．2) 定理2：(哈密顿力学基本定理)正则方程的解由一个单参数辛群g备l一6<￡ 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ：保持二次首次积分的所有Runge-Kutta方法都是辛方法．在 给出了辛方法的等价条件以后，我们有下面的定理成立． 定理5：如果RuⅡge_Kutta方法的系数满足： 那么它就是辛的． 5 (2．4) 证明：因为有辛性的标准，所以我们只需要证明满足上述系数的Runge_Kutta方法 保持二次首次积分就可以了．因为 Ⅳl=珈+^∑6{峨 4=l 那么 0 S S Ⅳ17G玑=珈7G珈+^∑6。k。TG蛳+^∑b蜘7c白+^2∑峨b☆；7Gb #1 】=l {，，=1 当我们令‰一，(K)，其中K=拍+^∑； 来，然后代入到上式中(应用C的对称性) 。％岛．我们要把蜘从这个关系式中计算出 从而得到 S S 917aⅣl=Ⅳ。7G蜘+2^∑6；甲a，(K)+^2∑(也b一6。oⅡ一％％，)‰7G向 {=l tJ=1 因为玩％～b。％一6j0J；=o并且Ⅳ7G，(Ⅳ)=o，由此我们得到917cyl=珈7G珈．这 就表示g。rey是系统(2．1)的二次首次积分。通过上面给出的辛性的标准我们知道满足 6：％一如。：J一％q；=o的Runge—Kutta方法是辛方法． §2．2摄动配置方法 对一阶微分方程 雪=，(t，可)， 可(to)=可。 给定h>o，我们试图在￡o≤t≤to+^上找到一个精确解Ⅳ(t)的逼近多项式u(￡)。 定义6：设II。是次数小于或等于m的多项式线性空间并且肌∈Ⅱ。 一 m ％(￡)=击∑‰一如)以J=1，⋯，m (25) o’扛O 如：” {≠? L 1' o—J 是给定的多项式．那么我们定义摄动算子B。，^：Ⅱ。一Ⅱ。 (Rmu)(t)=u(t)+∑啊((t一如)／^)u乎’∥(2．6) J=1 这里u挈’表示u的j阶导数在to点的值∥’(to)． 给出了摄动算子的定义，我们就可以给出对应于一阶微分系统的摄动配置方法。如 果h和to固定的话，我们省略h和t。直接用P来表示摄动算子． 定义7：设ct，⋯，‰是给定的不同的配置点，P是定义6中给出的摄动算子，那 么对应于系统(2．1)的摄动配置算法我们定义为 mfI+如‰叭 蜒矾砷 + +，如如蛳“眦 = l| ||啪Ⅲ， 如 从这个定义我们可以看到，如果所有的％都是。的话，P就是一个恒等映射，那 么这里定义的方法就等同于一个普通的配置方法．对于摄动配置方法我们可以把它和龙 格一库塔方法等价起来． 定理8：一个摄动配置方法(2．7)等价于一个龙格一库塔方法(2．2)，其中它的系数 ％和6。是下面矩阵中的元素 A==㈠ =(y矿‘)P丘矿1 并且 矿=(1，1，⋯，1)Ky一1 元素p“如(2．5)中定义． 证明：我们的主要思想是对u似)在‰亡]上积分，得到u(t)=珈+丘“7(j)dr并且 让u俅o+c；^)=砬，这样以来通过插值 u心)=∑(o一如)／^y一1哟，o=y一1K (2．8) 上式通过积分得到 “(t)=蜘+^∑((t～如)／^)’哟厅 而(28)两边同时对t求j一1次导数并代入t=≠o得到毋’∥=^0—1)2％，因此 (Pu)(￡)=“(t)+∑—崎((￡一t。)／^)u挈’∥ =蜘+∑((㈠。)／^)’^％／J+∑∑击(p坷～略)(竿)。u枷 7¨ mm 1 。 J=1 #1b=Oo’ ” 当我们把t换成幻+c。^并乖J用在i=j时6”=l，可以得到 (P“)(￡。+q砷=如+^∑∑％母％办 代入Ⅱ我们就可以看到幻的系数％就是上面对应的A中的元素．当我们把t换成 ￡o+^并利用在{=J时妨=1，贝9可以得到 m)(￡。+^)=珈+h∑q乃 代入n我们就可以看到码的系数b就是上边的矩阵的元素．这样我们就把一个摄动配 置方法和一个Runge_Kutta方法等价了起来． 7 甜1q；‰，，●，●●●●●＼ ＼、●●●●●●●●，／ o o o．¨伽 0 0／．．．0 0 1 0．．．0，，．．。．。．。。．。。，。。。．．．。。．。。＼ ＼、●●●●●●／ H n mm弛¨．跏m擘．．M 1 O．．．O，，，．。．．．．．．．．．。。。．＼＼、●●，，／ 譬．¨蠕 §2．3摄动配置方法的阶条件 为了得到摄动配置方法的阶条件，我们先来介绍一下非线性常数变易公式； 引理9：如果g(￡)是系统(2．1)的精确解，u(t)是它的逼近解，两个解都具有相同 的初值(oo，Ⅳo)如果，∈e1，那么 “ 可(t)一u(亡)=／壬(t，丁，u(r))(u7(丁)一，(r，u(r)))d丁(29) J#0 这里垂(t，r，u(r))表示系统(2．1)的经过r，u(r)的解对这个初值求偏导数所得的矩阵。 证明；固定t和r∈‰4我们用嘶表示系统(2．1)对￡经过初值一“(r)的解．当 然口o=g(￡)，仉=u(t)．我们先给出以下的表示： t‰=剪(t，札丁0)，口n=可(亡，让n) t￡他=u(％)=掣(％，¨丁U)，“n=让(n)=g(n，“丁1) 那么 u珊一刨n=可(￡，"丁0)一掣(亡，un) = 弘(t，尊(n，t^即))一可(t，可(下l，un)) =蒜(￡，嘶)b(丁1，u罚)一可(丁1，un)]+。(n一％) =中(t，亍，札(亍))[@(n，札巾)一Ⅳ(丁b，“叼))一(9(n，un)一可(丁o，un))]十0(n一％) =屯(t，亍，u(亍))【(，(亍，札功)～“7(亍))(n一％)+0(n一『0)1+O(n一％) 一圣(￡，丁，u(下))[(，(下，仳p))一札’(r))(n一功)+o(丁1一％)】+D(n一伯) =中(￡，tu(丁))(，(丁，u(丁))一“’(丁))(丁1一而)十o(n一％) 这等价于 ／n"：dr=，n西(t，丁，“(丁))(u7(丁)一，(下，Ⅱ(f)))d丁 J佃 √下D 由此 郧)叫t)-<叩，刖(枷(∥(巾m，似州)打 定理得证。 有了上述引理，我们给出下面的关于摄动配置方法的阶条件的判断定理。 设 。 E(z)=H0一≈) {=l 定理10：假设对于s和r i．％=0， J=1，⋯，r一1 mM∈IIJ，J=r，⋯，s iii．时矿一1Ⅳj(：c)如=o，j=r iv．片矿一1E(z)如=o，≈=1， ^，一S十ml=k 8 毛m 那么这个摄动配置方法的阶p≥m+s 证明；从上面的引理我们有 首先对积分区问进行变换，用s=二争，那么r=如+s^，这样以来我们分别对两部分积 分的阶进行判断。 对第一部分我们进行计算如下； rl (，)=^／西-(，(如+s^，(Pu)(如+s^))一，(如+s^，u(如+s^)))ds “J(叭[善峭)u护州¨吨川o+s㈨ +；(∑％(s)u乎’∥)2岛(如+s^，“(如+s^))+⋯]ds —j=r 。 “圣u护∥Zn加0+S懈0+s¨哪)如+。(∥) 我们可以把其中的垂·矗(亡0+s^，Ⅱ(如+s^))看作一个函数。不妨用F(￡o+s厅)来表示 那么我们把这个函数进行泰勒展开得 F(如+s^)=F(如)+s^F’(如)+去(s^)2F(2’(￡。)+ 这样由条件iii我们可以看到s的阶n=m+s—j一1，那么h的阶就是n+j+1= m+s—J一1+』+1=m+s．另外又由于条件V，所以我们得到(I)的误差阶为0(^“+刚) 对第二部分我们进行如下计算： (Ⅳ)=^ =^ 1 西·(u7(to+s^)一，(￡o+s^，u(￡o+s^)))ds l 西·E(s)ds+0(m+s+1) 其中用到条件iii。这样综合(I)和(II)的结果我们就得到结论，满足上述条件的摄动配 置方法的阶最少是m+s阶的． §2．4一类辛的摄动配置方法 在前面我们给出了龙格一库塔方法的辛条件，在这里我们要利用龙格一库塔方法的 辛条件来得到对应的摄动配置算法的辛条件． 定义11：我们称一个龙格一库塔方法W，z∈O，1，⋯，s一1，如果％；O，j= 1，-一，s—Z． 9 打∽ 打 u ” 肌 M — h ∽ ∽ 0 ， P 一 n p ， Ⅱ Jef 垂 什 叶 厂厶厂厶 = + 砷如一助卜Ⅳ ，m，Ⅶ 有了对％的定义。我们下面仅在w，1下给出与Runge_Kutta方法的辛条件等价的 摄动配置算法的辛条件。M也就是说屿；O，j=1，⋯，s—l，只有当J=s时， ％≠0。 定理12：在W，l下，由摄动配置技巧得到的s级Rllnge—Kutta方法是辛的应该满足 下面的条件； 矗毗)=等(熹一扩∥。1)，f=1)一，s一- 豇。亿(c)=击(去山7尹1) 证明：从上面RuIlge—Kutta方法的介绍我们知道，它的辛条件是钆b一晚％一b％，= O。如果我们用 矿。=(bl，一，6。) 肚K B鲁㈡ 磋=(6-c曼屯c；，⋯，6sc：) (≯)7=(c：，砖，-一，砖) p州=(c‘一1)T66Tcf一1一(c‘一1)rBl4cf一1一(矿一1)?∥Bcl一1=o =(1，1／2，⋯，1／s)(o，o，⋯，1，o，⋯，o)7 Acl～=(y【矿)_PK矿一1c；。 =(yI矿)PK(o，o，·．．，1，o，·一，o)7 =(ylc8)P(o，o，⋯，1胆o，⋯，o)7 ：；(y㈣(‰p12，⋯，黝)7 =知(c-)，⋯Ipf(岛))7 10 (210) (2．11) ＼、●●●●，／‰．．．‰ 其中 而 那么(211)变为 用～(c)代换以后得 pz(c)=∑黝∥ m(c)=；(pz(c)√)，f=”．．，s 志一；加心) 缸。眦)+靛。毗) ；9矗。p2(c)=o (≈+f)6Tc。“一1 在Ⅳ1 F，这个式子就变为 豇。肮(c)=等(南“≈州。)，f_1)⋯，s一· 豇，虬(c)=言(去一酽尹。) 有了上面给出的阶条件的判断以及辛性的等价条件，我们可以得到下面的。2s．2阶辛 摄动配置方法． 定理13：设s>1，如果参数n，口，崩使得 或者 。=o，卢=一刍角，即- 口：一1，卢1：型，沌 S 那么，对任意的参数a1，以下的摄动配置方法就是辛的2s-2阶方法。 眠@，=一[(詈)s!]一1[只c∞+a只一-ct，+卢只一。ct， E。，=一(萼)～c只cc，+n-只一，。，+觑只一z。，， 一扣矿5(；)(5斗’只(t)=∑(一1)升5(：)《5j。PJ=O ＼o／ ＼ o ／ (2．12) f2．131 证明：应用定理中给定的摄动配置方法，前面给出的摄动配置方法的辛条件就只剩 下面的两个 咖M(c)=罱(击 (2．14) s!豇。肌(c)=去一酽尹一l 对于(2．14)它的左逡我们可戮等傍豹写成； (2．15) s!蘸：。甄(c)=一s!上1。8—2爆渤如+(互兰j一扩p一2) 一}p2㈠(≯m蝴阱(击埘“) 因为露矿一2只(∞)如=o以及片茹s一2只一1(z)如=o，这样把肛(z)代入后，得到下面的 等式； “产“㈠ 2s 8 (警)s：]一1}卢只一。e。，a。= r／，2。～4、～1 』ls一2』丽2 竽蓦型(击一舻“)5一l 、2s—l。。 ， 等等型(击一孵“)5一l ＼2s—l 。。 ／ 其中 肛∞螽一(∥矗 设 e(嚣)：=产～一∑t(。)考”2 是p“鳃控穆麓鏊摇整众项，奠审 议扣，巍。嚣，妊=小。，出t㈦t⋯，s 垂∥=击一序掘 注意到8溉)=O，l=l，2，⋯，s，鼹此e的澎式是《。)=《(。)E(。)，箕中 联。，一(誉)_‘e只ez，+。t只一t扛，+照只一。e劣，， a(。)=f琴二f)一1[乒：一。(z)十n。～。，≮一。(z)+⋯+。。Fa(。)】 ，l 1 ZR(。)j2如。赤 黪“=熹一(∥(警二∥鑫 ，，●●、＼ 代入到上面的等式我们就有 卢(∥(?二∥志={击一[击+(∥(詈二∥熹]}击 这样简化上式我们就得到 8=一÷瓯 即(2．12)成立． 同样的方法(2．13)可以简化为 (s叫[矗叫=柏s(，一击) 把(2．12)结论代入可以得到 o(5—1)=s“隗 所以结论(2．13)成立． 13 第三章 用摄动配置方法求解时间相关的scmdinger方程 §3．1摄动配置方法对薛定谔方程的应用 一维有限苋尢限、脒努阱中的电于与模拟澈光场y㈣∞)2￡zs2n㈨tJ利且作用时线性 含时Schr6dingcr方程 』i掣亍9+y(㈣皿(㈣ ㈨ l岛=一}器+％(z) _叫 忡，=慨譬妻：≥， 显然，当￡≥o及z≤o或z≥1时，量(￡，。)=o．取初态为岛的基态皿(o，∞)= √艮讯(”z)，原子势y(t，z)=￡zsm(ut)，E=萼，u=等，是局域的或速降的，所以无穷 远处的Ⅲ(￡，。)可以看为。即有充分大的x>o，当⋯≥x时Ⅲ(t，z)可以看作o． 命题14；在连续状况下，对于周期边界条件，薛定谔方程的波函数保持模方守恒． 证明： 爰Z1l皿12如=爰Z1皿西如 2 Z1[(；皿zz—tyⅢ)画+皿(一；西。。+ty西)]dz 2 Z1(；皿zz每一i皿函zz—iVl皿12+{yI皿12)d。 =Z1；(皿一面一皿面zz)妇 =；Z1吲哪)一哪牡一；Z1瞰喊)一哪出z 2掰岬皿吨拙 =；(皿。面一皿西。)lj 我们可以看到它确实是模方守恒的． 在(31)中我们用中心差分些吐韦鬻竽盟代替偏导数器皿(t，zm)，m=o，1，⋯Ⅳ 运用周期边界条件皿(￡，zo)=Ⅲ(￡，蛐)我们得到方程； 味归击[Ⅲ⋯㈣一2吲卅‰m)卜i％㈤吲t)(3·2) Ⅲ。(o)=、／jsEn(7rz。)，m=o，l，··，Ⅳ 14 命题15：对于半离散的方程(32)，它的波函数保持模方守恒 证明：在空间离散状态下， 一△z∑墨(皿m西m) 钏。至[痴(‰-q‰枷删厩一％岍m 一志(画一一2吒+画一)母。十{％％画。] 1西m+画，。皿m十1一西m一1毋m一雪m函m+1) 它仍然是模方守恒的． 由于辛龙格一库塔方法保持常微分方程的二次首次积分，从而将辛龙格一库塔方法 应用到半离散系统(3．2)可得到一个离散的模方守恒律．所以对于与它等价的辛摄动配置 方法也应该保持离散系统的模方守恒． 对于一阶微分方程系统(3．2)我们应用摄动配置方法得到： “。(≠o)：=屈fn(7r‰)，￡o=o —i砭i罚i【2zm+1(幻+q^)～2札m(￡。十c。^)+um—L(￡。+qh) +∑鹏(Q)“锛-(t。)舻一2∑％(q)u嚣(￡。)胪+∑％(龟)u‰(t。)∥1 ，=1 ，=l j=l 。 ． 8 一ilo(如+q^)f“。(to+c‘^)+∑％(q)u翱(￡。)印l J=1 钍m(￡1)="m(to+危)，i=1，·一，s，m=o，1，．一，Ⅳ f331 其中“m是方程的精确解在z。点的逼近多项式，％是前面介绍的勒让德多项式的线性 组合，u袋’(如)是u在z。点对t求j阶导数后在to点的值，q是不同的配置点．我们 所要做的就是求出等价的(3．3)的解u，即是薛定谔方程(3．1)的数值逼近解。 我们采用与配置方法类似的过程对此方程求解。令 乜：=吐m(to+q^)，i=l，·一，s，m=0，1，⋯，Ⅳ 通过拉格朗日插值公式我们有im‰+r^)=∑；：。砖0(一，其中f，(r)=n茫¨到(r cc)／(ci～cf)．所以 州针酬一(卅曹。Z4竹胁 15 田 H∑㈣ Z△ d一如 伸 ¨∑一 忐|1 Ⅳ一皿Ⅳ皿一Ⅳ皿Ⅳ一口+皿～I≥f一一皿皿 忐。 这样我们可以得到 ”以川同删+^喜b胁州r 53．2波函数图形及其性质分析 当s=2时，可以设此时的系数为d=o，。l=1，p=一1，风=1／2，我们可以证 明它是满足辛条件的，这样就可以得到一个辛的二级二阶摄动配置方法。其中Ⅳl(￡)= o，Ⅳ2(￡)=；￡(1一≠)，而E(t)=一：(6t2—4t+；)。令E(t)=o可以得到两个插值节点 c。={，c2={。此时可以得到对应于(33)的二级二阶摄动配置算法为： “m(to)=、／§s西i(7rzm)，to=o，”l=o，1，t一，20 吐m(如+q^)=虿五i；乒[让m+l(￡。+q^)一2um(如+岛^)+um—l(。。+q^) +Ⅳ2(q)嘏jl(如)h2—2Ⅳ2(矗)“鬟’(to)^2+Ⅳ2(岛)u乳，(￡o)^2l —i％(如+G九)l乱m(to+q^)+Ⅳ；(q)社鬟’(如)^2l，{=1，-2 令七1=也m(to十cl^)，七2=也m(≠o+c2^)，那么 u。(如+^)=“。(㈦+^k。上1fl(r)打+^如Z1f2(r)打 这样以来，这个过程就等价于解一个下面形式的方程组： u。(to)=、／js打2(7r。。)，to=0，m=0，1，···，20 札m(to+h／6)=um(￡o)+ollh也m(to十九／6)+。12h由m(to+h／2) 札m(to+^／2)=“m(￡o)十n2lh也m(￡o+^／6)+观2^也m(￡o+h／2) 其中 击阻m+l(”^／6)+4-“黜坩一2‰(¨“／6) 2dlu5；：’(￡o)h2+雌m一1(￡o+危／6)+d1“鬟Ll(￡o)h21 i1，m(to+h／6)【u。(￡o+^／6)+d1“鬟’(￡o)^2] ‰(幻+^／2)2赤‰l(幻+^／2)+。2“黜如)“2砌m(如十^／2) 一2d2钍璺’(亡0)^2+um一1(％+^／2)+如札鬟!l(如)^2] 一iK。(如+^／2)[Ⅱm(如+^／2)+d2钍祭’(to)^2] um(to+^)=umoo)+h61吐m(如+^／6)+^62也moo+^／2) ㈨=羞，㈣2羞 16 nu—Z。1z-(r)ar，。·z=Z。1z。(r)ar n。，=Z。f-(r)dr，n。。=Z‘。zz(r)dr 6-=小加，"Z1f2(曲 d1=Ⅳ。(c1)，d2=Ⅳ2(c2) 因为其中的变量个数大于方程的个数，我们需要先求出i(to)以及u(2’(￡o)(此时的nd扣；并 不等同于龙格一库塔方法的系数)。而这个我们是通过对“(to+r危)=u(to)+^J；『(老鼍％，+ 晕芸‰)幽分别求一阶导数和两阶导数来得到的。其中 酬=纛¨羞‰ u㈣‰)=；篝 通过数值模拟，我们取空间步长△z=O．05，时间步长h=O001，当时间计算到￡=100 圈1。2阶摄动配置方法的渡函数 而当空间步长不变，时间步长取^=001，当时间计算到t=500时，得到的波函数实 部及虚部分别如下： 圈2，2阶摄动配置方法的往函数 此时我们可以从下图中看到取空间步长△z=o．05，时间步长^=o001，计算到t=100 以及步长^=O01，计算到t=500时，这种方法得出的解它的模方是守恒的： 17 田3—2阶摄动配置方法的模方 与这个摄动配置算法等价的RnⅡge_Kutta方法的系数我们可以计算出来，它的系数矩阵 为 与上面取相同的步长和时间，我们可以得到下面Runge_Kutta方法模方的图象； 图4 2阶龙格一库塔方法的模方 我们可以看到两种不同的算法得到的解模方守恒的效果都很好(注：在时间步长为^< 0．0087以及^>O0100时，=阶摄动配置方法的模仿守恒精度与对应的龙格．库塔方法 几乎一样，但是在0．0087S^≤0，叭00时，二阶摄动配置方法得到的模方守恒的精度突 然降低很多，这是个很奇特的数值现象)。对于同样的二阶方法，我们取一样的步长和时 间，从下图可以看到，梯形格式得到的波函数图像虽然和摄动配置方法几乎近似，但是 由于它是非辛的方法，它的模方守恒的精度却差了很多： 18 怛 圈5，2阶梯形方法的摸方 如果我们在辛条件中取s=3，。=o，n1=o，隗=一1，卢=3／2，可以得到一个 三级四阶的摄动配置辛算法．其中毋(t)=2￡3—3t2+t，Ⅳ1(t)=o，Ⅳ2(t)=o， Ⅳ3(t)=一{￡3+；t2一；t+去．令E(￡)=o可以得到三个插值节点c1=o，c2=：，c3=l。 我们可以得到(3．3)的一个三级四阶的摄动配置辛算法： Ⅱm(to)=、／百s{礼(丌zm)，to=o，rn=o，1，·一，20 ‰(”q^)=志[u州(针q^)一2‰(针qh)+吣t(针cz“) +Ⅳ3(q)“辫。(t。)矿一2Ⅳ3(G)u鼎(￡。)^3+Ⅳ3(q)u罂。(z。)胪] 一1％(托+q^)[u。(如+岛^)+Ⅳ3(Q)“黜。)h3]'《=1，2，3 令七1=也m(￡o+cl^)，七2=血m(to十c2h)，七3=um【￡o+c3州，那么 u。(c。+h)=“。(u+^％，Z1“r)打+^％zZlf2(r)打十^％。Z1f3(r)drum(￡。+h)=“m(to)+^七l／lL(下)d下+^南2f f2F)d丁十^砖3f 03(r)dTJ0 J0 J0 其中 ¨扣等蒜高，姒垆芒畿焉^∽=芒畿高 同样我们取空间步长△￡=0．05，时间步长^=0．001，时间计算到￡=100时，我们 得到渡个四阶方法的波函数图象的宴部和虚部分别如下； 图6。4阶摄动配置方j击的被函数 19 而当空间步长不变，时间步长取^=O，01，当时间计算到t=500时，得到的波函数实 部及虚部分别如下： 圈7：4阶摄动配置方法的波幽数 此时我们可以从下图中看到取空间步长△z=0．05，时间步长^=0．001，计算到t=100 以及时间步长^=0．01，计算到￡=500时，这种方法得出的解它的模方是守恒的。 圈8：4阶摄动配置方法的模方 与这个摄动配置算法等价的Rmge．Kutta方法的系数我们可以计算出来，它的系数矩阵 为 与上面取相同的步长和时间，我们可以得到下面Rung}Kutta方法模方的图象； 嚣§t 4馥蹙摧一痒瑶摊辨壤方 我们可以看到两种不同的算法的得到的解模方守懒的效果都很好，而且精度也相同。同 糕对予鞠阶方法，我#]逯建跨盼姆L曲8ttoIlIB方法，它的系数键阵如下： 我们知道Lob砒toIIIB方法是一个非辛的方法，对应于这个系数降的L。b舭toIIIB方法 在取相同的时l司和空闭时它的模方如下幽所示： 篷iot4翦L曲attol￡l转方法懿蜷方 从以上图形的对比我们可以看出对于相同的步长和时间，由掇动配置算法得到的渡 函数图像和等价的Runge_Kutta方法得到的波函数图像是一样的，它同非肇算法碍到鲍 渡函数图像也一样。另外，摄动配置算法对于不阕豹时间步长和珏尊褥得到酌解也燕一祥 的，说明摄动配馒算法得到的波硒数对时问步长的依赖不是很明显，也不随时间的增长 瑟交诧，毽裁鼹说摄毒懿置算法褥弱翡禽跨蔡定谬方程的鳃是稳定鲤，当掇魂配置方法 和等价的辛龙格一库塔方法取相同的步长和时间时，它们的模方守恒精度都很好，不论 是二除方法还是踞盼方泼凡乎都达到了机器精度(10-14或l003)，箍当时间步长发生变 化时，这两种方法的旗方守恒性也没有发生很大的变纯，宦们的精度几乎籀同(僵鼹二 阶摄动配置算法在时间步长为00087S^So．01()0时突然从10_14速降到10一，变化 觅较大)。这说瞬辛摄动配置算法与其在瑷论主是簿徐的睾楚格一簿臻方法在数篷上毫是 等效的．另外对于非辛方法，步长从o．001变成o．01时只有一个数最级的变化，而二阶 (四盼)方法的燧度从10娟(10曲)降裂lo“(10-5)，发生了鼹个(四个)数爨级的变化， 这说明=阶(四阶)非辛方法关于模方守恒精度也是二阶(龋阶)静．但是晕爵度较裔的非 辛方法对应的模方守恒的精度也相对较高，这说明了非辛方法的横方守恒的精度与方法 本身静精度有美褥享方汝对于穰方守疆关于耩麦麓无关鹤f姿然数壤主会鸯一熹枣鳓影 响，大约不到一个数量级的微小的影响)．非辛方法得到的模方虽然还是在0附近振动， 惶是壤度却与率方法嘏憩甚远，由此我弱也可以簧出辛方法对于数谯计算的谯越毪． 由于目前有兼摄动蕊跫算法的文献对于这种方法的研究只限寻=理论证明，并没有应 用于具体的方程，更没有给出具体的数值模拟和分析，所以本文只是简单的把它应用于 对阉稳荚酶薛宠浮方程．鑫予这个方程瓣特殊缝，宅没有麓量守恒及凌量守髓，辑戳我弱 21 仅给出其解的稳定性和模方守恒性质。对于薛定鄂方程的解的误差分析，收敛性考虑以 及在数值模拟中出现一些有趣的现象(例如当时间步长^∈[o．0087，o．0100】这个区间内 变化到这个区间外时，二阶辛摄动配置方法对模方守恒的精度从10_9变到lo“4)的解 释还有待进一步研究．对于摄动配置方法本身的许多深刻的性质也有待进一步的考虑， 例如传统的配置方法有不连续配置，那么对于摄动配置是否也有不连续摄动配置呢?如 果有的话，怎么得到文中所列的那些性质呢? 22 参考文献 [1]sPNorsettaIldG．w啪叫，PertllrbedcoⅡocatl衄andR哪盼Kuttamethods，Nlh mer．Math．38(1981)，193_208 f2】sPN口lsett，c01locationaⅡdpeTtu南edcouocati。nmethods，Numer蹦AⅡalys诗(spriⅡ舭 10801 阁G。c￡haRam龉n口mj，H逗hcra嘣ersympIec￡jcRKaildRKN雌Lho如usiIlgpercurb矗∞L location，Bnl37；2(1997)，46}471 『4】GeethaRamaswami，Pertl曲甜collocati。n叽d8ymplecticRKNmethods，Advancesin eomputation“Mathematics3(1995)2孓40 ㈣M缸8d衄。ndTsR缸iu，IⅡtroductlontoM∞h姐ics龃dsym∞etry，spring口verla量New Y0rk(1994) 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