中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
06、定义法
所谓定义法,就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题,是最直接的方法,本讲让我们回到定义中去。
一、方法简解:
1. 已知集合A中有2个元素,集合B中有7个元素,A∪B的元素个数为n,则______。
A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7
2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线,则_____。
A. MP1 C. a>0 D. a<-1或a>1
4. 椭圆
+
=1上有一点P,它到左准线的距离为
,那么P点到右焦点的距离为_____。
A. 8 C. 7.5 C.
D. 3
5. 奇函数f(x)的最小正周期为T,则f(-
)的值为_____。
A. T B. 0 C.
D. 不能确定
6. 正三棱台的侧棱与底面成45°角,则其侧面与底面所成角的正切值为_____。
【简解】1小题:利用并集定义,选B;
2小题:利用三角函数线定义,作出图形,选B;
3小题:利用复数模的定义得
<
,选A;
4小题:利用椭圆的第二定义得到
=e=
,选A;
5小题:利用周期函数、奇函数的定义得到f(-
)=f(
)=-f(-
),选B;
6小题:利用线面角、面面角的定义,答案2。
二、举例分析:
例1. 已知z=1+i, ① 设w=z
+3
-4,求w的三角形式; ② 如果
=1-i,求实数a、b的值。(94年全国理)
【分析】代入z进行运算化简后,运用复数三角形式和复数相等的定义解答。
【解】由z=1+i,有w=z
+3
-4=(1+i)
+3
-4=2i+3(1-i)-4=-1-i,w的三角形式是
(cos
+isin
);
由z=1+i,有
=
=
=(a+2)-(a+b)i。
由题设条件知:(a+2)-(a+b)i=1+i;
根据复数相等的定义,得:
,
解得
。
【注】求复数的三角形式,一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义,由实部、虚部分别相等而建立方程组,这是复数中经常遇到的。
例2. 已知f(x)=-x
+cx,f(2)=-14,f(4)=-252,求y=log
f(x)的定义域,判定在(
,1)上的单调性。
【分析】要判断函数的单调性,必须首先确定n与c的值求出函数的解析式,再利用函数的单调性定义判断。
【解】
解得:
∴ f(x)=-x
+x 解f(x)>0得:0
, x
EMBED Equation.2 +x
EMBED Equation.2 >
∴ (x
+x
)( x
EMBED Equation.2 +x
EMBED Equation.2 )〉
×
=1
∴ f(x
)-f(x
)>0即f(x)在(
,1)上是减函数
∵
<1 ∴ y=log
f(x) 在(
,1)上是增函数。
A’ A
D
C’ C
O H
B’ B
【注】关于函数的性质:奇偶性、单调性、周期性的判断,一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中,运用了待定系数法和换元法。
例3. 如图,已知A’B’C’—ABC是正三棱柱,D是AC中点。
1 证明:AB’∥平面DBC’;
2 假设AB’⊥BC’,求二面角D—BC’—C的度数。(94年全国理)
【分析】 由线面平行的定义来证①问,即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得;由二面角的平面角的定义作出平面角,通过解三角形而求②问。
【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD
∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱
∴ 四边形B’BCC’是矩形
∴ O是B’C中点
△AB’C中, D是AC中点 ∴ AB’∥OD
∴ AB’∥平面DBC’
2 作DH⊥BC于H,连接OH ∴ DH⊥平面BC’C
∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD
∴ BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。
设AC=1,作OE⊥BC于E,则DH=
sin60°=
,BH=
,EH=
;
Rt△BOH中,OH
=BH×EH=
,
∴ OH=
=DH ∴∠DOH=45°,即二面角D—BC’—C的度数为45°。
【注】对于二面角D—BC’—C的平面角,容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义,两边垂直于棱,抓住平面角的作法,先作垂直于一面的垂线DH,再证得垂直于棱的垂线DO,最后连接两个垂足OH,则∠DOH即为所求,其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练,在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。
此题文科考生的第二问为:假设AB’⊥BC’,BC=2,求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义,先作平面的垂线,连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下:作AE⊥BC于E,连接B’E即所求,易得到OE∥B’B,所以
=
=
,EF=
B’E。在Rt△B’BE中,易得到BF⊥BE,由射影定理得:B’E×EF=BE
即
B’E
=1,所以B’E=
。
y
M F
A x
例4. 求过定点M(1,2),以x轴为准线,离心率为
的椭圆的下顶点的轨迹方程。
【分析】运动的椭圆过定点M,准线固定为x轴,所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义,可以得到
=
建立一个方程,再由离心率的定义建立一个方程。
【解】设A(x,y)、F(x,m),由M(1,2),则椭圆上定点M到准线距离为2,下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义,得到:
,消m得:(x-1)
+
=1,
所以椭圆下顶点的轨迹方程为(x-1)
+
=1。
【注】求曲线的轨迹方程,按照求曲线轨迹方程的步骤,设曲线上动点所满足的条件,根据条件列出动点所满足的关系式,进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组,消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程,即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时,巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地,圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题,常用定义法解决;求圆锥曲线的方程,也总是利用圆锥曲线的定义求解,但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。
三、巩固训练:
1. 函数y=f(x)=a
+k的图像过点(1,7),它的反函数的图像过点(4,0),则f(x)的表达式是___。
2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影分别为A
、B
,则∠A
FB
等于_____。
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
3. 已知A={0,1},B={x|x
A},则下列关系正确的是_____。
A. A
B B. A
B C. A∈B D. A
B
4. 双曲线3x
-y
=3的渐近线方程是_____。
A. y=±3x B. y=±
x C. y=±
x D. y=±
x
5. 已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是_____。
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数
6. C
+C
=________。
7. Z=4(sin140°-icos140°),则复数
的辐角主值是__________。
8. 不等式ax
+bx+c>0的解集是(1,2),则不等式bx
+cx+a<0解集是__________。
9. 已知数列{a
}是等差数列,求证数列{b
}也是等差数列,其中b
=
(a
+a
+…+a
)。
10. 已知F
、F
是椭圆
+
=1 (a>b>0)的两个焦点,其中F
与抛物线y
=12x的焦点重合,M是两曲线的一个焦点,且有cos∠M F
F
·cos∠MF
F
=
,求椭圆方程。
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