矩形、菱形、正方形复习

矩形、菱形、正方形复习 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 1. 矩形的性质和识别 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ． 2. 菱形的性质和识别方法． 3. 正方形的性质和识别方法． 二. 知识要点： 1. 矩形 （1）定义：当平行四边形有一个内角为直角时，我们把它叫做矩形． （2）矩形的性质： ①矩形的四个内角都是直角； ②矩形的对角线相等； ③矩形具有平行四边形的一切性质，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形． ④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （3）矩形的识别方法： ①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． ②有三个角是直角的四边形是矩形． ③对角线相等的平行四边形是矩形或对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 2. 菱形 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质： ①菱形的四条边都相等； ②菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线； ④菱形的周长等于边长的4倍． ⑤菱形的面积等于对角线乘积的一半． （3）菱形的识别： ①四条边都相等的四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 3. 菱形与矩形的区别与联系： 菱形和矩形虽都是特殊的平行四边形，不同的是菱形是在边上的特殊，四条边都相等，这一点一般平行四边形不具有，对角相等这一特征一般平行四边形也具有；而矩形是在内角上有不同于一般平行四边形的特征，即四个角都是直角．另外菱形具有的而一般平行四边形不具有的还有对角线互相垂直，矩形具有而一般平行四边形不具有的是对角线相等，矩形和菱形在特征上的相同之处是都具有平行四边形所具有的性质． 4. 正方形 （1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质． ①正方形各边的性质：四条边相等，对边平行． ②正方形各角的性质：四个角都是直角． ③正方形对角线的性质：正方形的对角线互相平分、互相垂直、相等，且每一条对角线平分一组对角． ④正方形的对称性：正方形是轴对称图形，对边中点所在直线和对角线所在直线都是正方形的对称轴．正方形也是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心． （3）正方形的识别： ①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； ③一个内角是直角的菱形是正方形； ④对角线相等的菱形是正方形； ⑤有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形； ⑥对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形． 5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 三. 重点难点： 重点是掌握矩形、菱形、正方形的性质和识别方法；难点是平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系． 【典型例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 】 例1. 如图所示，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4cm． （1）判定△AOB的形状；（2）求对角线的长． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：要判定△AOB的形状，由于∠AOB＝60°，所以可考虑这个三角形是等边三角形．由矩形的性质知：OA＝OB，即△AOB是等边三角形．由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”得出结论；要求对角线的长可直接应用矩形的性质求出． 解：（1）由于四边形ABCD是矩形， 所以对角线AC与BD互相平分且相等，即OA＝OB．又∠AOB＝60°． 所以△AOB是等边三角形． （2）OA＝AB＝4cm，DB＝CA＝2OA＝8cm． 因此对角线的长为8cm． 评析：利用矩形的性质；矩形的对角线相等且互相平分，可以得到4个等腰直角三角形，然后再加以利用． 例2. 如图所示，矩形ABCD中AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，试说明BE＝CF． 分析：BE和CF分别为Rt△BEO和Rt△CFO中的一边，可通过证三角形全等来证BE＝CF 解：因为四边形ABCD是矩形． 所以 AC＝BD，所以 BO＝CO． 因为 BE⊥AC于E，CF⊥BD于F． 所以 ∠BEO＝∠CFO＝90°． 又因为 ∠BOE＝∠COF， 所以 △BOE≌△COF． 所以 BE＝CF． 评析：矩形对角线相等且互相平分的性质，为证三角形全等提供了条件． 例3. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，试说明四边形AEFG是菱形． 分析：由已知可知，图中有平行线可证等角，等线段，因此可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等． 解：因为∠BAC＝90°，EF⊥BC，∠1＝∠2， 所以AE＝EF，∠3＝∠4， 因为AD⊥BC，EF⊥BC， 所以EF∥AD，所以∠4＝∠5， 所以∠3＝∠5，所以AE＝AG． 所以EF∥AG且EF＝AG， 所以四边形AEFG是平行四边形． 又因为AE＝EF， 所以平行四边形AEFG是菱形． 评析：在识别菱形时，容易犯忽视前提条件的错误，如对于四边形，已知一组邻边相等，或对角线互相垂直，就说这个四边形是菱形．事实上，只有在四边形是平行四边形的前提下，才能由一组邻边相等或对角线互相垂直说明这个平行四边形是菱形．若不具备这一前提，一定要先 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 这个四边形是平行四边形． 例4. 如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G．试说明AE＝FG． 分析：由EF⊥BC，EG⊥CD可得矩形EFCG，则FG＝EC，再证△ABE≌△CBE，得AE＝EC，即可得到AE＝FG． 解：连结EC，因为四边形ABCD是正方形， EF⊥BC，EG⊥CD， 所以四边形EFCG为矩形． 所以FG＝CE． 因为BD是正方形ABCD的对角线． 所以∠ABE＝∠CBE． 又BE＝BE，AB＝CB， 所以△ABE≌△CBE． 所以AE＝EC， 所以AE＝FG． 评析：用CE沟通AE和FG之间的联系． 例5. （1）下列命题中正确的是（ ） A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 （2）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是__________（只填一个条件即可）． EMBED Flash.Movie （3）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是__________．（写出一种情况即可） 分析：（1）这个问题可以这样考虑：对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选A．（2）这个问题实际上是问什么样的菱形是正方形？有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，考虑角可补充的条件是∠BAD＝90°或AD⊥AB；考虑对角线补充：AC＝BD．（3）本题应考虑和角相关的矩形的识别方法，有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．可添加的条件是∠A＝90°或∠B＝90°，AD＝BC，AB∥CD等． 解：（1）A（2）∠BAD＝90°（或AD⊥AB，AC＝BD等）（3）∠A＝90°或AD＝BC或AB∥CD 例6. 如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝a． （1）求∠ABC的度数； （2）求对角线AC的长； （3）求菱形ABCD的面积． 分析：本题考查菱形的定义，解题的关键是作辅助线，将菱形问题转化为三角形问题进行求解． 解：（1）连结BD，交AC于点O． 因为四边形ABCD是菱形，所以AD＝AB． 因为E是AB的中点，且DE⊥AB， 所以AD＝BD，所以△ABD是等边三角形， 所以∠ABC＝60°×2＝120°． （2）因为四边形ABCD是菱形， 所以AC、BD互相垂直平分， 所以OB＝ eq \f(1,2)BD＝ eq \f(1,2)AB＝ eq \f(1,2)a． 所以OA＝ eq \r(,AB2－OB2)＝ eq \r(,a2－（\f(1,2)a）2)＝ eq \f(\r(,3),2)a， 所以AC＝2AO＝ eq \r(,3)a． （3）S菱形ABCD＝ eq \f(1,2)AC·BD＝ eq \f(1,2)· eq \r(,3)a·a＝ eq \f(\r(,3),2)a2． 评析：菱形被对角线分成四个全等的直角三角形，利用三角形面积公式可得菱形的面积等于它的两条对角线之积的一半． 5 _1296893491.bin _1296893552.bin _1296893852.bin _1295877187.bin _1296893392.bin _1295877946.bin _1295874817.bin _1295874867.bin _1229453911.bin