矩阵

null第二章 矩阵第二章 矩阵 矩阵是线性代数的一个最基本的概念， 也是数学的最基本的一个工具。它在二十世纪 得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、 经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比 行列式在数学中占有更重要的位置。null引例. 线性方程组null对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为null引例. 某物资有四个产地，五个销地，调配 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 如表：把表中数据按原来次序抽出来作一个数表null排成的一个m行n列的矩形数表，并括以圆括号：在数域F中，由m×n个数称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵。定义2·1null例如矩阵常用的记号： 大写英文字母A、B、C、… Am×n A=(ai j)m×n null 当m=n时，当m=1时，当n=1时，null当时null对矩阵 A=(aij)，称(- ai j)为矩阵A的负矩阵，记为 –A， null矩阵概念与行列式概念的区别： 代表一个算式，数值代表一个数表null例如若detA=0,则称矩阵A为奇异矩阵， 否则，称为非奇异矩阵.null3、行列式的行数和列数必须相同， 而矩阵的行数与列数可以不同。null数域的概念 在讨论方程有没有解时，我们需要明确 是在什么数集范围内讨论。方程 3x＝1 在整数集内没有解， 但是在有理数集内有解 x＝1/3。定义：数集F 称为一个数域，如果数集 F 满足:2. F 对加、减、乘、除四种运算是封闭的.null例如：有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域， 并分别称为有理数域、实数域和复数域， 但是整数集不是数域。命题：任一个数域都包含有理数域。§2·1 高斯消元法消元法的基本思想是通过消元变形， 把方程组化成易于求解的同解方程组。§2·1 高斯消元法null线性方程组（*）null在中学代数中学过的消元法解方程组， 现在可以用对其增广矩阵的初等行变换来表示。一个线性方程组与其增广矩阵是一一对应的。null例1. 解线性方程组解：第一、二个方程交换顺序：nullnullnull阶梯形线性方程组每条阶梯线下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数， 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元。阶梯形矩阵null高斯消元法将方程组化成了容易求解的、同解的阶梯形线性方程组。行简化 阶梯矩阵null用高斯消元法解线性方程组，实际上就是对方程组反复进行以下三种操作（变换）：交换方程的次序； 以不等于0 的数乘某个方程； 一个方程加上另一个方程的k倍。　　由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．null用消元法解方程的过程实质上也就是对其增广矩阵进行一系列对应变换（行变换）的过程。定义2·2对矩阵进行下列 3 种变换称为矩阵的初等变换：交换矩阵的两行（列）。 以一个非零的数乘以矩阵的某一行（列）。 矩阵的某一行(列)加上另一行(列)的 k 倍。null例2. （系数行列式为零，克来姆法则无法解决） 解线性方程组解对其增广矩阵进行一系列的变换：null化成行简化阶梯矩阵全零行对应的方程对方程组而言是多余的。null两个方程四个未知量，所以方程组有无穷多解方程组的解表示为：null例3. 解线性方程组解：null所得方程组无解，它与原方程组同解，所以原方程组无解。称为不相容方程组。在高斯消元法的消元过程中，增广矩阵会清楚地 揭示出方程组的多余方程和矛盾方程。null 用消元法解m个方程n个未知数的线性方程组的方法就是利用初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成行简化阶梯矩阵：线性方程组有解的充分必要条件：null在线性方程组有解的情况下：（1）当 r ＝n 时：有唯一解：null（2）当 r < n 时：null则线性方程组的解可以写为：（3）当 r > n 时：不可能。null注意：不同的消元步骤将增广矩阵化为阶梯矩阵时， 阶梯矩阵的形式不是唯一的，但阶梯矩阵非零行的 行数是唯一确定的，这表明当线性方程组有解时， 解中的任意常数的个数是相同的，但是解的表示形式 不是唯一的，然而每一种解的表示中包含的无穷解的 解集是相等的。null小结高斯消元法：初等行变换按“固定的程序” 消元， 将线性方程组的增广矩阵化为阶梯型矩阵。 每行第一个非零元对应的未知量取为基本未知量， 其它的取为自由未知量，并依次取任意的常数 将其代入方程组，求出基本未知量。 3. 为了使求基本未知量更加方便，把阶梯型矩阵 进一步化为行简化的阶梯型矩阵。§2·2 矩阵的加法、数量乘法、乘法§2·2 矩阵的加法、数量乘法、乘法null矩阵的基本运算：矩阵的加法、数量乘法、乘法定义2·3而且如果ai j = bi j，(i =1，2,…,m; j=1,2,…,n)， 就称A 和B 相等，记为A = B 。如果两个矩阵 A=(ai j)和 B=(bi j)的行数和列数 分别相等，他们就称为同型的，一、矩阵的加法１、定义一、矩阵的加法null说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时， 才能进行加法运算.null2、 矩阵加法的运算规律二、数与矩阵相乘1、定义二、数与矩阵相乘null2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算.（设 为 矩阵， 为数）三、矩阵与矩阵相乘１、定义三、矩阵与矩阵相乘null例1例2null例不存在.null矩阵的乘法需注意： 第一，只有矩阵A 的列数等于B 的行数时， AB 才有意义。第二，乘积C =（ci j）mn的第 i 行第 j 列的元素 等于矩阵A的第 i 行的每一个元素与 矩阵B 的第 j 列的对应元素的乘积之和。第三，乘积C的行数等于矩阵A 的行数， 列数等于矩阵B 的列数。 例 求 AB 和 BA。其中例 求 AB 和 BA。其中解： null２、矩阵乘法的运算规律null3、矩阵乘法不满足的运算规律 AB 可乘，BA 不一定可乘。 例如：A 为2行3列的矩阵，B 为3行4列的矩阵； AB、BA 都可乘，但不一定是同型矩阵， 例如：A 为2x3矩阵，B 为3X2矩阵；null称A 与B 是可交换的。例 设null（2）由矩阵 AB＝0，不能推出 A＝0 或者 B＝0， 即A、B皆非0，但是有可能 AB＝0。这说明有些非零矩阵可能存在零因子。null（3）矩阵的乘法不满足消去律，即当 C 不等于0时， 由 AC＝BC 不能消去 C，得到 A＝B。null例3 计算下列乘积：null解例4用数学归纳法证明.null4、几种特殊矩阵单位矩阵数量矩阵与任意 n 阶矩阵可交换的矩阵必是 n 阶数量矩阵.null对角矩阵上三角矩阵。 下三角矩阵。 两对角矩阵相乘?两上(下)三角矩阵相乘?null线性方程组 第 i 个方程：线性方程组可以用矩阵等式表示为：Ax =bnull例设A、B是两个 n 阶矩阵，则乘积AB的行列式 等于A 和 B 行列式的乘积，即证明nullnullnull定义行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵称为矩阵 A 的伴随矩阵.性质nullnull例 |A| | A *|= | A A *|= | A |n.∵| A |0，∴ | A *| = | A |n-1.null例１、转置矩阵2.3 矩阵的其它运算null转置矩阵的运算性质null证明 (AB)T = BTAT。j = 1,, n ; i =1,, m设 A=(ai j ) ms , AT=(aTj i ) sm , B =(bi j ) sn , BT=(bTj i ) ns，则 (A B)T与B T A T 都是 n  m 矩阵，且故 (A B)T = B T A T。null例5 已知解法1解法2null2、方阵的行列式运算性质null3、对称矩阵与反对称矩阵null例6 设列矩阵 满足 证明为 n 阶单位矩阵，证明H是对称矩阵，且null证明, C为对称矩阵.B为反对称矩阵.命题得证.null注意: 两个对称矩阵A和B的乘积是对称矩阵吗? 例8 设A是 mn 矩阵，则 ATA 和 AAT 都是对称矩阵。证明: 因为ATA是n阶矩阵, 且(ATA)T = AT(AT)T = ATA ; 同理 AA T是 m 阶对称矩阵。例9 设 A, B分别是 n 阶对称和反对称矩阵， 则 AB+BA 是反对称矩阵。证明: 因为 (AB+BA)T = BTAT+ ATBT= (B) A+A (B)=  (AB+BA)。不一定! (AB)T = BTA T = BA, 而BA不一定等于AB 。null4、共轭矩阵运算性质null五、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵null（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘， 且矩阵相乘不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时， 才能进行加法运算.注意（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.§2·4 可逆矩阵的逆矩阵§2·4 可逆矩阵的逆矩阵一、概念的引入一、概念的引入二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质例 设null可得null例1 设解待定系数法.null定理 矩阵 可逆的充要条件是 ，且　　　　　　 按逆矩阵的定义得证毕null奇异矩阵与非奇异矩阵的定义证明null证明逆矩阵的运算性质null证明null 注意: A, B都可逆，而A+B不一定可逆， 即使A+B可逆, 也有(A+B) 1 A1 + B1。 三、逆矩阵的求法解三、逆矩阵的求法null同理可得null解例2nullnull例3 设解nullnull例4用逆矩阵方法求解线性方程组：解：把系数行列式记为A，未知量记为x， 常数记为b，则方程可记为：Ax =b。因为所以A可逆.nullnull例5nullnull证：由 B = AI , B2 = (A I)2 = A2 2 A +I 及 B2 = B = A I 得 A2 2A+I = AI A2 3A = A(A 3I) = 2I , 即 A[(3I A)/2] =I 所以 A可逆，且A1=(3I  A)/2。例. 设方阵B为幂等矩阵( 即B2 =B ), A = I+B, 证明A是可逆阵，且 A1 = (3I A)/2。null例主对角元都是非零数的对角阵是可逆的，且注意：null证 要证 A 可逆，即证  A   0。 当A*= AT时，由 AT A = A* A =  A  I，知 例 已知 A 为非零 n 阶实矩阵，当 A*= AT 时， 证明: A 为可逆矩阵。 A   0  AT A  Onull即 A 为可逆矩阵。null例若 A,B,C,D 均为n 阶矩阵,且 ABCD = I(n阶单位阵)， 以下哪个成立？解ABCD=I,矩阵乘法满足结合律A(BCD)=I,(BCD) A =I,(A)成立。(AB)(CD)=I,(CD) (AB) =I,CDAB=I,(F)成立。 BCDA = I； (B) CABD = I； (C) BACD = I； (D) CBAD = I； (E) BCAD = I； (F) CDAB = I。null= 4 ( I + A ) –1 = 4 [ diag ( 2, 1, 2 ) ] –1 例已知A = diag(1, 2, 1), 且 A*BA = 2BA  8I, 求B。解 先化简，由 A*BA  2BA =  8I, 得 ( A*  2I ) BA =  8IB =  8 ( A*  2I ) –1A –1 =  8 ( A ( A*  2I ) ) –1=  8 ( A A*  2 A ) –1=  8 ( 2I  2A ) –1 ( A =  2 )= 4 diag (2 –1 , 1, 2 –1 )，null例 设A可逆，且A*B = A1+B，证明 B 可逆，当时，求 B.解 由 A*B = A1 +B = A1 + I B 得 (A*I ) B = A1，因为| A*I | | B | = | A1 |  0，所以，| B |  0，B 可逆。B = (A*I ) 1 A1 =(A ( A* I ) )1 = ( | A | I  A ) 1null所以B = ( | A | I  A ) 1null(2) (A1)* = A1 (A1)1证 由(1) (AB)* = AB (AB)1= B B1·AA1= ( A A1)1(3) (AT)*= AT (AT)1= ( A A1)T= AB B1A1 = A1 A= A (A1)T= (A*)1= B*A*= (A*)Tnull从而例 设 和 均为 n 阶可逆矩阵， 证明 四、小结四、小结逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法null若A、B为 n 阶可逆方阵，k 不为0：（1）（2）（3）（4）（5）性质：§2·5 矩阵的初等变换和初等矩阵§2·5 矩阵的初等变换和初等矩阵一、矩阵的初等变换定义1矩阵的初等行变换:一、矩阵的初等变换矩阵的初等列变换（所用记号是把“r”换成“c”）．倍乘变换倍加变换对换变换null定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换 统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换null定义3 单位矩阵做一次初等变换所得的矩阵 称为初等矩阵．（1）初等对换矩阵nullnull（2）初等倍乘矩阵nullnull（3）初等倍加矩阵nullnullnull结论1.对 m×n 矩阵 A 施行一次初等行变换相当于 在 A 的左边乘以相应的 m×m 初等矩阵; 对 m×n 矩阵 A 施行一次初等列变换相当于 在 A 的右边乘以相应的 n×n 初等矩阵。2.初等矩阵皆可逆，且其逆矩阵为其同类初等矩阵。 Ei1(c) = Ei (1/c), Ei j1 (k) = Ei j (k), Ei j 1 = Ei j对初等矩阵再做一次同类型的初等变换可化为单位矩阵。Ei (1/c) Ei (c) = I, Ei j (k) Ei j (k) = I , Ei j Ei j= Inull用初等变换化矩阵为标准形nullnull定理推论行列式非零的方阵可以经过初等变换 化为单位矩阵。 初等变换可以判定方阵的可逆性。 （化简过程中若矩阵出现全 0 行或列则不可逆）null注意： 只用了行变换。例:null推论1可逆矩阵A可以表示成若干个初等矩阵的乘积。证明：由定理有：则：即:定理矩阵A可逆的充要条件是它可以表示成 若干个初等矩阵的乘积。null例：将可逆矩阵 表示成初等矩阵的乘积：解：null则即：null推论2对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的 初等变换，当 变为单位矩阵时， 就变 为其逆矩阵，即：始终初等行变换始终初等列变换null例：用初等变换求下列矩阵的逆矩阵：解:行变换nullnull例 求矩阵 的逆矩阵。 null例：讨论矩阵 是否可逆， 若可逆，求其逆 。解：所以A不可逆null例：求解矩阵方程 AX = B，其中由此可见，对A和B做同样的变换， 当A变成单位矩阵时，B就变成了X。nullnull解 因为 BX－2X = BX－2IX = AT, 即 ( B－2I ) X = AT,null2.6 矩阵的分块分块矩阵的概念分块矩阵的运算null一、分块矩阵的概念 例如null即 A11, A12, A21, A22 为 A 的子块,而 A 形式上成为以这些子块为元的分块矩阵. null2. 常用的分块法1) 按行分块设有 m  n 矩阵 A = ( aij )m  n , 2) 按列分块null3) 分块对角矩阵 ( 准对角矩阵 )其中 Ai 是 ni 阶方阵 ( i = 1, 2, … , l ) .null分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似:1. 加法运算二、分块矩阵的运算null 为常数,那么 2. 数乘运算设null 3. 分块矩阵的乘法运算 null例 设求 AB.nullnull 4. 分块矩阵的转置设则5. 分块对角矩阵的运算null 分块对角矩阵的性质: 2) 若 |Ai|  0 ( i = 1, 2,  , l ) , 则 |A|  0, 且 1) |A| = |A1| |A2|  |Al| ;null设 A，B 是两个 n 阶矩阵，且采用相同的分法可把它们都分成分块对角矩阵：null例 设用矩阵分块的方法计算 A2 ，AB.解nullnullnull其中 B, D 分别为 k 阶和 m 阶可逆矩阵。 证明: A 可逆,并求 A1。解其中 X, T 分别为 k 阶和 m 阶矩阵。于是由nullCY+DT = Im， 故 DT = Im , T = D1;得 BX = Ik， 故 X = B1;BY = 0, 故 Y = B10 = 0;所以，CX+DZ = 0，　 故 Z = D1CB1。null例7 设A ,B, C, D 都是 n 阶矩阵，证明:证 做初等行变换化矩阵为上三角分块阵，两边再取行列式null证 利用左乘和右乘块初等矩阵构造上三角块阵。 如第1行加到第2行；再第1列减去第2列。例8已知 A, B 为 n 阶矩阵, 证明两边取行列式，