分形维数
根据分形维数可以定量刻划分形集的复杂度，因此把细节信号的维数做为通信信号调制类型识别的特征。分形维数有多种定义和计算方法，常用的是豪斯道夫维数、盒维数、信息维数、相似维数、关联维数和广义维数等。盒维数描述了分形集的几何尺度情况，信息维数描述了分形集在分布上的信息。因此选用这两种维数作为通信信号调制类型的特征。
盒维数
设(F，d)是一个度量空间，®是F的非空紧集族，ɛ是一个非负实数，令B(f，ɛ)表示一个中心在f，半径是ɛ的闭球，设A是F中的一个非空子集，对于每个正数:，令N(A，ɛ)表示覆盖A的最小闭球的数目，即
其中，
、
、
…
介是F中的不同点.
定义1设f为定义在ʀ的闭集T上的连续函数，F为上的集合:
F=
如果
存在，则称为函数f的盒维数.
在实际计算中，对于数字化离散空间信号点集的分形维数有如下简单的计算式
设信号的采样序列、、…、，N为偶数.令
以及
，
，
其中样本间隔
,
为采样率，那么
,（1）
性质1设f是R的闭集T上的连续函数，满足双向条件，则(1)式计算出的盒维
数满足
，
从上面的定义可以看出，盒维数只表示了F的几何尺度情况，而没有反映F在平面空间上的分布疏密，信息维数恰能做到这一点.
设 (j= 1，2，…，K)是集合F的一个有限一格形覆盖，表示F的元素落在集合中的概率.令信息熵
定义2:如果信息熵满足关系
则称
为集合F的信息维数。
计算时，可通过粗视化变换得到信息维数:
=
研究分形特征的时候，常常会发现几个表面或结构完全不同的分形集有着相同或相似的分形维数，这时仅用分形维数已无法对其进行区分。B.B.Mandelbort注意到分维的非普适性或非唯一性，提出缝隙量作为分维的一个补充。分形维数指出了物体表面的不规则程度，而缝隙值描述了质量变化的快慢，其定义式为:
式中M是分形集的质量，E(M)是其期望值。公式反映的是分形集质量M的理论值与实际值的偏差。缝隙参数是一个二阶统计量，因此称缝隙参数是高阶分形特征。设
是有m个点在边长为L的盒子中的概率(盒子的中心可以是分形集的任意点)。
包含了分形集合的质量分布信息。定义:
式中N是盒子中可能有的最多点数，则缝隙量为:
从上式可看出, 质量分布越均匀，越小，反之值越大.由随L的变化快慢可以看出物体纹理基元的大小。因为纹理基元较小时，盒子中的质量能较快地变得均匀。
为了更好的描述这种规律，提取较缝隙值本身更加稳定的特征量一缝隙尺度变化率作为分类特征闭，即:
其中[N、，NZ」为研究的尺度区间。
盒维数反映了分形集的集合尺度情况，信息维数能够反映出分形集在分布上的信息。而缝隙尺度变化率则体现了分形集的质量均匀度。所以由盒维数、信息维数和缝隙尺度变化率组成的特征向量，包含了信号幅度、频率和相位的变化特征，这些特征在分类意义上是有效特征。鉴于此，选取了基于分形的特征向量为:
分析表明，信息维数在高斯白噪声环境下有较好的稳定性。
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