对数学的认识

1 对数学的认识 数学是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂，她赋予她发现的真理以生命； 她唤起心神、澄清智慧；她给我们的内心思想增添光辉；她涤尽我们有生以来的 蒙昧和无知。 Proclus 数学 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 的万能性与广泛性使它能够处理种类众多的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，如空间的和运动 的，机会的和概率的，统计的和社会科学的，艺术的和文学的，逻辑的和哲学的， 音乐的和建筑的，政治的和战争的，食品的和医药的，遗传的和变异的，人类思 维的和电脑的。 J.Singh 数学文化是是人类文明中的精华部分。数学提供了理性思维的范式，它可以 使人的思维条理化和敏捷化。数学提供了完善的方法论，可以使人严密化、客观 化，排除感情和偏见的介入，从而做出正确的判断。 1．数学与对知识的探求。 我们首先问，有独立于人的物理世界存在吗？答案历来有两种。唯物主义认 为，存在；而唯心主义认为，不存在。我们是唯物主义者，认为存在一个独立于 人的客观世界。这正是我们研究的起点和探索的对象。 其次，自然要问，我们如何获取关于外部世界的知识呢？为了获取关于外部 世界的知识，每一个人都不得不依靠自己的感官知觉。人类共有几种知觉？五种： 视觉、听觉、触觉、味觉和嗅觉。 亚里士多德认为，知识是感觉的结果。他说：“如果我们不能感觉任何事情， 我们将不能学会或弄懂任何事情；无论我们何时何地思考什么事情，我们的头脑 必然是在同一时间使用着那件事情的概念。” 他还说：“感觉和感官经验是科学知识的基础。” 那么，通过感官获取的知识正确吗？精确吗？要回答这两个问题，就要对我 们日常的经验做些认真的考察了。因为我们日常的生活都是在经验的指导下进行 的，也并没有出多少错。但是，当我们依着较高原则的标准，来推论，来思考， 来反省事物的本性时，我们就会发现问题了。 把一根棒的一部分放在水里，我们看到什么？我们将看到一根弯曲的棒。如 果把一根直棒放在水里，也把一根弯棒放在水里，恐怕你很难辨别哪一个是直的 吧？这说明，感官具有粗糙性，有时还具有欺骗性。更令人遗憾的是，许多重大 的物理现象根本不是感官所能知觉到的： 有谁感到地球在自转，而且还绕太阳公转？ 有谁感到行星受到太阳的引力，而绕太阳公转？ 有谁感到电磁波的存在？ 既然重大的物理现象不是感官所能知觉到的，那么人类是如何发现这些现象的 呢？答案是借助数学这一强大的工具。在探索宇宙的奥秘中，数学是一个本质的、 关键的、具有穿透力的工具。 事实上，数学方法的运用是科学和前科学的分水岭。例如，静电吸引的现象， 虽然古人早就知道，但是直到库仑定律发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 的时候，电学才进入科学的行列（劳 厄：《物理学史》43页）。 2. 数学的精神。正如克莱因所指出的： “数学是一种精神，一种理性精神。正是这种精神激发、促进、鼓舞并驱使 人类的思维运转到最完善的程度，也正是这种精神试图决定性地影响人类的物 2 质、道德和社会生活；试图回答人类自身提出的问题：努力去理解和控制自然； 尽力去探求和确立已经获得的知识的最深刻和最完美的内涵”。 因此，充分认识数学精神及其价值，实现数学与人文的结合是当前素质教育 的首要目标。 现在，我们对数学本身作些考察。因为，如果对数学本身的认识不本质、不 全面、不系统，我们不可能学好和教好数学。 3．五个质不同的时期。数学史大致可以分为五个质不同的时期。精确地区 分这些阶段是不可能的，因为每一个阶段的本质特征都是在前一阶段中酝酿形成 的。 第一个时期——数学形成时期.这是人类建立最基本的数学概念的时期.人 类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最简单的几何 形式，逐步地形成了理论与证明之间的逻辑关系的“纯粹”数学.算术与几何还 没有分开，彼此紧密地交织着. 第二个时期称为初等数学，即常量数学的时期.这个时期的最基本的、最简 单的成果构成现在中学数学的主要内容.它从公元前 5世纪开始，也许更早一些， 直到 17世纪，大约持续了两千年，逐渐形成了初等数学的主要分支： 算术、几 何、代数、三角. 这时的几何学以现实世界中的形的关系为主要研究对象。它的主要成果就是 欧几里得的《几何原本》及其延续。《几何原本》把几何学的研究推到了高度系 统化和理论化的境界，使得人们对于空间的认识和理解在深度上和广度上都大大 前进了一步，这是整个人类文明发展史上最辉煌的一页。 代数学则研究数的运算。这里的数指自然数、有理数、无理数，并开始包含 虚数。解方程的学问在这个时期的代数学中居中心地位。 第三个时期是变量数学的时期.从17世纪开始的数学的新时期——变量数学 时期，可以定义为数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 出现与发展的时期. 变量数学建立的第一个决定性步骤出现在 1637年笛卡儿的著作《几何学》. 这本书奠定了解析几何的基础，它一出现，变量就进入了数学，从而运动进入了 数学.恩格斯指出： “数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，运动进入了数学，有了变数， 辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……” 在这个转折以前，数学中占统治地位的是常量，而在这之后，数学转向研究 变量了. 变量数学发展的第二个决定性步骤是牛顿和莱布尼茨在 17 世纪后半叶建立 了微积分. 第四个时期为公理化数学时期.19世纪初，数学发生了质的变化，开始了从 变量的数学向公理化数学的过渡。主要体现在下面几个方面： 数学的研究对象发生了质的变化。在 19 世纪之前，数学本质上只涉及两个 常识性的概念：数和形。此后数学的研究范围大大地扩展了，数学不必把自己限 制于数和形，数学可以有效地研究任何事物，例如，向量、矩阵、变换、运动等， 而这些事物常常以某种方式与数和形发生关联。 数学与现实世界的关系也发生了质的变化。这之前，经验是公理的唯一来源， 实际上，当时只有一套公理体系——欧氏几何学的公理体系；这之后，数学开始 有意识地背离经验。这之前，数学研究经验世界，那时只存在一种几何学—欧氏 几何学；这之后，数学研究可能世界，出现了多种几何学：欧氏几何学、双曲几 3 何学；椭圆几何学、拓扑学等。人类的思维可以自由创造新的公理体系。 数学的抽象程度进入更高的阶段。数学常常被看作逻辑过程，并不与哪个特 别的事物相关。这就引出了 20世纪初罗素的数学定义： 数学可以定义为这样一门学科：我们不知道在其中我们说的是什么，也不知 道我们说的是否正确。 数学家不知道自己所说的是什么，因为纯数学与实际意义无关；数学家不知 道自己所说的是否正确，因为作为一个数学家，他不去证实一个定理是否与物质 世界相符，他只问推理是否正确。 第五个时期为信息时代的数学。计算机的诞生和广泛使用使数学进入了一个 新的时代。几乎同时，信息论和控制论也诞生了，数学迎来了一个新高潮。 信息时代，就是以计算机来代替原来由人来从事的信息加工的时代。由于计 算机的应用，需要数学更加自觉，更加广泛地深入到人类活动的一切领域。“数 学工作”的含义已经发生深刻的变化。信息加工时代的数学工作包括 数学研究工作，数学工程工作和数学生产工作。 数学研究工作有了新的含义。它研究的领域大大扩大了。数学模型具有更大 的意义。 数学工程是指需要有数学知识、数学训练的人来从事的信息工程。计算机的 软件工程就是一类数学工程，但不限于此，机器证明也属于数学工程。 数学生产是实现数学工程，形成产品的工作，就是软件生产。 由于数学工程和数学生产的发展，建立数学模型的工作有了更为广泛的需 要。并且，离散数学处于更加重要的地位。 4.四个高峰期。从前面的论述可以看出，在整个数学史上出现了四个高蜂期。 1） 欧几里得《几何原本》的诞生。数学从经验的积累变成了一门理论科 学，数学科学形成了。 2） 解析几何与微积分的诞生。这使人们在认识和利用自然规律方面大大 地前进一步，使力学、物理学有了强有力的工具。引起了整个科学的 繁荣。 3） 公理化的数学诞生于 19世纪末与 20世纪初，数学进入成熟期：巩固 了自身的基础，并发现了自身的局限性。 4） 与计算机结合的当代数学进入更加广阔的领域，并影响到人类文明的 一切领域，数学进入新的黄金时代。 5．六次飞跃。数学不只是算法和证明，它分出了层次。数学思想的发展， 数学领域的扩大呈现了六次大的飞跃。 从数字运算到符号运算的飞跃，这就是从算术到代数学的发展。发生在 16 到 17世纪。数学符号的诞生到今天不到 400年，但是它大大地促进了数学的发 展。 从常量数学到变量数学的飞跃，这就是微积分的诞生。出现在 17 世纪。微 积分的诞生对科学技术的发展带来了根本性的影响。可以说是现代世界和古代世 界的分水岭。最突出的是航天时代的到来和信息时代的到来。 从研究运算到研究结构的飞跃。这主要体现在抽象代数学的诞生。发生在 19 世纪。这使得数学的研究对象超越了数和形的藩篱，从而研究更加广泛的对象。 从必然性数学到或然性数学的飞跃。这就是概率论和统计学的诞生。虽然这 两门学科诞生得相当早，但它们的成熟发展却是在 20世纪。这个学科促使人们 的思考方式发生了新的飞跃。使传统的一一对应的因果关系转变为以统计学作基 4 础。这深刻地影响了理论与经验资料相互联系的方式。 从线性到非线性的飞跃。非线性科学的诞生和发展是在 20 世纪。混沌学的 诞生是一个重要标志。混沌是指，由定律支配的无定律状态。数学家梅在 1976 年说：“不仅学术界，而且在日常的政治学界和经济学界里，要是更多的人认识 到，简单的系统不一定具有简单的动力学性质，我们的状况会更好些。“ 从明晰数学到模糊数学的飞跃。出现在 20世纪。 当我们综观数学思想这些飞跃发展的时候，我们会有沧海桑田之感。正象一 个修仙人，若干年后回到自己的家乡，发现一切都变了： 惟有门前鉴池水，春风不改旧时波。 我们会感到，旧的课本合上了。我们在学校所学的知识，已经随着新的发明和发 现而变得陈旧了。“科学所带来的最大变化是变化的激烈程度。科学所带来最新 奇的事是它的新奇程度。”所以，我们面临的现实是， 请君莫奏前朝曲，听唱新翻杨柳枝。 6．数学的特点。 数学区分于其它学科的明显特点有三个：第一是它的抽象性，第二是它的精 确性，第三是它的应用的极端广泛性。 抽象性。抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一特性。因此， 单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点。数学抽象的特点在于：第 一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切；第二，数学 的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的 一般抽象；第三，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之 中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理 只需用推理和计算。这就是说，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的 方法也是抽象的、思辨的。 数学的抽象性帮助我们抓住事物的共性和本质。维钠说：“ 数学让人们抓 住本质而忽略非本质的东西。数学也容许人们在不同的领域提出相同的问题，而 不必囿于某一特定专业领域。对那些视野开阔、敏感严谨的数学家而言，数学无 疑是发现和发明的工具。” 关于抽象的作用，数学家辛富（J.Singh） 说： 数学之所以能够以令人吃惊的程度深入到科学和技术的每一个分支中去，其 原因在于数学的思想是纯粹抽象的，而抽象化正是科学和技术的主要动力。数学 越是远离现实（即走向抽象），它就越靠近现实。因为不管它显得多么抽象，它 归根到底还是从某些现实范围中抽象出来的，一定的本质特征的具体表现。 数学的抽象性帮助我们抓住事物的共性和本质。正是数学的抽象性使得数学 能够处理种类众多的问题，如空间的和运动的，机会的和概率的，艺术的和文学 的，音乐的和建筑的，战争的和政治的，食物的和医药的，遗传的和继承的，人 类思维的和电脑的等。 数学的抽象性显示了思维的广阔性：越抽象的东西，应用的领域就越广。 抽象的另一个作用是不断地对日益扩大的数学知识总体进行简化和统一化。 数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理和计算的逻辑严格性和数学结 论的确定无疑与无可争辩性。当然，数学的严格性不是绝对的、一成不变的，而 是相对的、发展着的，这正体现了人类认识逐渐深化的过程。 数学中的严谨推理和一丝不苟的计算，使得每一个数学结论都是牢固的、不 可动摇的。这种思想方法不仅培养了科学家，而且它也有助于提高人的科学文化 5 素质，它是全人类共同的精神财富。 爱因斯坦说：“为什么数学比其它一切科学受到特殊的尊重？一个理由是， 它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其它一切科学的命题在某种程度上都是 可争辩的，并且经常处于被新发现的事物推翻的危险之中。…数学之所以有高声 誉，还有一个理由，那就是数学给精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学， 这些科学是达不到这种可靠性的。” 数学的精确性是思维严谨性的典范。 数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。正像已故著名数学家华罗庚教授 曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜， 日用之繁，数学无处不在，凡是出现“量”的地方就少不了用数学，研究量的关 系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。数学之为 用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与工具，缺少了它就不能 准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其它数据，因而就减少了 科学预见的。 N.布特勒说：“现代数学，这个最令人惊叹的智力创造，已经使人类心灵的 目光穿过无限的时间，使人类心灵的手延伸到了无边无际的空间。” 数学应用的广泛性是思维广阔性的具体体现。 7．数学的教育价值。 首先，数学的抽象性使得数学问题的解决伴随着困难。在解决数学问题的过 程中，使学生体验到挫折和失败，而这正是砥砺意志和打磨心理品质的绝好时机。 愈挫愈奋，百折不挠的良好心理素质不会在温室中形成。如果学生在学校里没有 尝尽为求解问题而奋斗的喜怒哀乐，那么数学教育就在一个重要的地方失败了。 记住马克思的话：“在科学上是没有平坦大道可走的，只有在崎岖的攀登上不畏 劳苦的人，才有希望达到光辉的顶点。” 其次，数学的严密性和精确性可以使学生在将来的工作中减少随意性。英国 律师至今要在大学中学习许多数学知识，并不是律师工作要多少数学，而是出于 这样一种考虑：经过严格的数学训练可以使人养成一种独立思考而又客观公正的 办事风格和严谨的学术品格。数学教育是培养学生诚信观念的重要渠道之一。在 数学课上形成的诚信观是持久的，根深蒂固的。前苏联的数学家辛钦说：“数学 教学一定会慢慢地培养青年人树立起一系列具有道德色彩的特性，这种特性中包 括正直和诚实。” 再次，数学是思想的体操。进行数学推导和演算是锻炼思维的智力操。这种 锻炼能够增强思维本领，提高抽象能力、逻辑推理能力和辨证思维能力，培养思 维的灵活性和批判性。思维的灵活性表现在不受思维定式的束缚，能迅速地调整 思维方向，并善于从旧的或传统的思维轨道上跳出来，另辟蹊径。数学中的一题 多解是培养思维灵活性的有效途径。思维的批判性指，对论证和解答提出自己的 看法。数学中常用的反证法和构造反例是思维批判性的具体表现。 数学不仅仅是一种工具，它更是一个人必备的素养。它会影响一个人的言行、 思维方式等各个方面。一个人，如果他不是以数学为终生职业，那么他的数学素 养并只不表现在他能解多难的题，解题有多快，数学能考多少分，关键在于他是 否真正领会了数学的思想，数学的精神，是否将这些思想融会到他的日常生活和 言行中去。日本的米山国藏说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、 高中接受的数学知识因毕业了进入社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识 的数学，所以通常是出校门不到一、两年就很快忘掉了。然而，不管他们从事什 6 么业务工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法，研究方法和 着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生。” 数学还有另外的作用。数学家狄尔曼说：“数学能集中、强化人们的注意力， 能够给人以发明创造的精细和谨慎的谦虚精神，能够激发人们追求真理的勇气和 信心，…数学更能锻炼和发挥人们独立工作精神。” 数学已成为现代人的基本素养。 文献：科学一，科学二。