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第!章!杆系结构的有限元法
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
!!教学提示!杆系结构作为一类简单的结构!同时也是
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
上最常见的结构"因此!从
简单结构入手!了解有限元
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
的分析问题的基本原理和基本过程!可以为复杂结构的有
限元分析打下扎实的基础"本章以杆系结构为例!详细介绍了有限元方法分析问题的基本
思想以及基本解题过程!包括单元划分方法#位移场的选取#单元刚度矩阵的建立#等效
结点荷载的计算#结构的整体分析等"同时还介绍了有限元方法程序
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
方法!并就如何
编写计算机程序对杆系结构进行有限元分析进行了介绍"
教学要求!本章要求学生了解杆系结构的离散化方法!熟练掌握单元划分的基本原
则#有限元方法分析问题的基本过程!熟悉等效结点荷载的计算方法!能够运用所学知识
对杆系结构进行有限元分析!能够编写杆系结构的计算机程序"
!""!概!!述
在第#章中已经讲述了有限单元法的基本思想是从整体到局部!再回到整体!也就是
根据分析对象的结构特点!对其进行离散化!得到有限个独立的单元!然后对每个单元进
行单元分析!最后根据单元分析的结果对结构物进行整体分析!求得结构物的某些参数"
在所有结构中!杆系结构是最简单的一类结构!也是我们在工程上最常见的一类结
构"如平面桁架#平面刚架#连续梁#空间刚架#空间桁架等都属于此类结构!本章以此
类结构为基础介绍有限单元法的分析过程"在分析以前!首先了解一下有限单元法分析问
题的基本
步骤
新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤
"
第一步!对结构物进行离散化!划分为有限个单元"根据杆系结构的特点!对其进行单
元划分时通常取其自然的结点!包括各种支承点#集中力作用点#两杆的交接点#截面积发
生突变的点等"但有两种情况需要注意$一种是弯曲的杆件系统 %如图!"#&!另一种是截
面积连续变化的杆件系统 %如图!"!&"这两种情况我们可以引入数学上的微分概念来对它
们进行单元划分"对于前者!可以采用以直代曲的思想!任何曲杆都可以看成是由若干直杆
组成的!而对于后者!可以采用等截面来代替变截面!将截面连续变化的杆件看成是由若干
微小的等截面杆单元组成"至于这两种情况单元划分的多少!则需根据求解问题的精度和计
算费用来决定"单元划分得越多!则精度越高!但所需要的计算费用也随之越大"
图 !""!弯曲杆件系统 图 !"!!截面连续变化的杆件系统
!#$!!! !
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
有限单元法
!#$!!! !
!!第二步"对各结点和单元进行编码#在对单元进行完划分后"为了便于编程计算"必
须按一定的规律对各结点和单元进行编码#通常对结点的编码以自然数#$!$%$%%表
示"而对单元采用!$"$#$%%表示#编码时每个单元的两个结点号码尽量连续 &如
图!"%’#对于任一单元"本书以!表示单元起点"以"表示单元终点#
第三步"建立整体坐标系和各单元的局部坐标系#我们知道"求解任何力学问题都必
须建立坐标系"各种矢量 &如位移$力$力矩等’的正负只有在特定的坐标系下才有意
义(离开特定的坐标系"各种矢量只有方向的区别"而不能谈正负的概念#因此进行有限
元分析时"对于整个系统"我们必须建立整体坐标系"通常以#$%表示#在进行单元分
析时"可以使用整体坐标系"但为了分析的方便"通常要建立其局部坐标系"常以##$$$%
表示局部坐标系#并且局部坐标系的##轴正向通常是由单元的起点指向单元的终点"并
用 )%*标示在单元上 &如图!"%’#应该注意的一点是"局部坐标系的##轴到$% 轴的转
动方向应该与整体坐标系的#轴到%轴的转动方向一致#
第四步"对已知参数进行准备和整理#对于各单元"需要准备的数据包括单元截面积
&$单元长度’$单元弹性模量($单元剪切模量)$单元惯性矩*等#
第五步"对结点位移进行编码#结构的结点位移有自由结点位移和约束结点位移"对
于平面杆单元"每个结点的位移包括轴向位移$+$横向位移$,$转角位移&!#对结点位移
进行编码时"根据求解方法的不同通常有两种编码方法+一种是前处理法"一种是后处理
法#前处理法的思想是若结点某个位移分量为零"则其对应的位移编码以$表示"如
图!"% &&’中结点#为固定端"则其位移编码为 &$$$’"而结点!为固定铰支座"其位
移编码为 &$$#’#后处理法的思想是按结点顺序"每个结点的%个位移分量按自然顺序
均加以编码"如图!"% &’’所示#
&&’前处理法!!!!!!!!!!!!!!! &’’后处理法
图 !"#!单元划分示意图
第六步"进行单元分析"形成单元刚度矩阵#通常运用虚位移原理或最小势能原理来
进行单元分析"并建立单元刚度矩$!’(阵和等效结点荷载矩#"(’(#
第七步"进行整体分析"形成整体刚度矩阵#我们进行单元分析的最终目的是要对结
构进行整体分析"因此必须由单元特性矩阵构成整体特性矩阵#需要注意的是"如果局部
坐标系与整体坐标系不一致"则需进行坐标变换"将局部坐标系下的单元特性转换为整体
坐标系下的单元特性#
第八步"引入边界条件#边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性"否则问题就是
第 !章!杆系结构的有限元法分析 !##!!!
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
!##!!! !
不适定的"
第九步#求解方程组"计算结构的整体结点位移列阵##并进一步计算各单元的应力
分量及主应力$主向"
第十步#求单元内力#对计算成果进行整理$分析#用表格$图线标示出所需的位移
及应力"大型商业软件 %如)*+,+等&一般都具有强大的后处理功能#能够由计算机自
动绘制彩色云图#制作图线$表格乃至动画显示"
!"!!局部坐标系中杆单元分析
所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件"在结构力学上我们
通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆#而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁"在有限单元
法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元"但由于在实际工程结构中#同一构件上
往往同时存在上述几种受力状态#因此为方便起见#本书都称之为杆单元"并且#本书所
讨论的杆单元均是指等截面直杆单元#对于变截面杆和弯曲杆件#我们在进行单元划分时
可以将其分为若干等截面杆单元"因此本书的分析方法仍然对其适用"我们这里从最简单
的拉压杆单元开始#讨论单元刚度矩阵的建立过程"
!"!""!拉压杆单元
仅承受轴向荷载作用的等截面直杆#我们称之为拉压杆"如图!"-所示#设杆单元长
度为’#横截面面积为&#单元材料的弹性模量为(#在局部坐标系中杆端荷载分别为#-!
和#-"#杆端位移分别为$+!和$+"#单元上的轴向分布荷载为. %#&"下面介绍单元分析的
步骤"
图 !"$!拉压杆单元示意图
%#&用结点位移表示单元上任意截面的位移+"对拉压杆单元#可以取其位移为一次
多项式#即’
!!!!!!+ %#&.//0# %!1#&
其中/$0为待定系数#由位移的边界条件’
+ %$&.$+!#+ %’&.$+"
代入 %!1#&式可得系数/$0为’
/.$+!#0.$
+"0$+!
’
这样#任意截面的位移为’
+ %#&. #0#% &’ $+!/#’$+"
用矩阵表示为’
!#!!!! !
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
有限单元法
!#!!!! !
+.2!$+!/2"$+". 2!!2" #"
$+!
$+" #" .$$!’( $!1!%
其中
2!.#0#’
&2".
#
’
称为形函数&$. 2!!2" #" 为形函数矩阵&$!’
(. $+!!$+" #" 1 为局部坐标系下的结点位移
矩阵’
$!%进行应力(应变分析’根据材料力学中应变的定义&有)
".2+2#.
2$
2#
$!’(. 0#’!
#" #’ $!’(. "3!!3"#$!’(.%$!’( $!1%%
这里%. 0#’!
#" #’ 为应变矩阵’由胡克定律&其应力为)
#.(".(%$!’( $!1-%
$%%求单元刚度矩阵’这里考虑利用虚位移原理求单元刚度矩阵&设杆端!("分别产
生虚位移$$+!($$+"&则由此引起的杆轴任意截面的虚位移为)
$+.$ "$$+!!$$+"#1.$$$!’(
对应的虚应变为)
$".%$$!’(
根据虚位移原理虚功方程&有)
$4 外 5#"6’(1$$!’(7(
’
$
.$#%$$$!’(12#5$4 变
5(
’
$
#$"&2# $!13%
5(
’
$
$$’(1%1(&%$$!’(12#
将上式整理得)
#"6’(7(
’
$
.$#%$12$ %#
1
$$!’(5$!’(1(
’
$
%1(&%2#$$!’( $!14%
式中)#"6’(. #-!!#-" #" 1 为局部坐标系下单元结点荷载矩阵’设)
#"(’(5(
’
$
.$#%$12# $!15%
$!’(5(
’
$
%1(&%2# $!16%
则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为)
#"6’(/#"(’(.$!’($!’( $!17%
这里$!’(为局部坐标系下的单元刚度矩阵&#"(’(为局部坐标系下等效结点荷载矩阵’根据定
义&可以进一步求得单元刚度矩阵为)
$8’(.(&’
# 0#" #0# # $!1#$%
同时&我们可以根据式 $!15%求出等效结点荷载矩阵’这里要指出的是)分布荷载
. $#%中可以包含集中荷载’
第 !章!杆系结构的有限元法分析 !#%!!!
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
!#%!!! !
!"!"!!扭转杆单元
受扭矩作用的等截面直杆单元与受轴力作用的拉压杆单元各方程的表达式非常类似"
只需将各变量的物理意义和符号用扭转问题的相应量和符号替换"如图!"3所示#
图 !"%!扭转杆单元示意图
设扭转杆单元的长度为’"截面惯性矩为*"剪切模量为)"杆端扭矩分别为)9!$)9""
杆端扭转角分别为&!!$&!""单元上的分布荷载集度为: %#&"则任意截面的扭转角为’
!. #0#% &’ &!!/#’&!".$$!’( %!1##&
式中’$!’(. &!!!&!( )" 1 为局部坐标系下扭转杆单元的结点位移矩阵#由材料力学可知"截
面扭矩为’
9.)*2!2#.)*%
$!’(
式中’%.2$2#. 0
#
’!
#( )’
我们利用极小势能原理来进行单元分析"杆单元的势能用泛函表示为’
*; 5 #!(
’
$
91 2!2% &# 2#<(
’
$
:%#&!2#<#"6’(1$!’(
!! 5 #!
$!’(1(
’
$
%1)*%2#$!’(<(
’
$
:%#&$2#7#"6’(% &1 $!’(
%!1#!&
这里’#"6’(. +9!!+9( )" 1 为局部坐标系下扭转杆单元的结点荷载矩阵#由极小势能原理"
取上述泛函的变分$*; 5$"可得’
$!’(1(
’
$
%1)*%2#5(
’
$
:%#&$2#7#"6’(1 %!1#%&&
或者写为’
(
’
$
%1)*%2% &#$!’(5(
’
$
:%#&$12#7#"6’( %!1#%’&
设’
$!’(5(
’
$
%1)*%2# %!1#-&
#"’(( 5(
’
$
:%#&$12# %!1#3&
可得扭转杆单元的单元刚度方程为’
#"6’(7#"(’(5$!’($!’( %!1#4&
可以看到"其形式与拉压杆单元的单元刚度方程完全一致#同样"由式 %!1#-&可以进
一步求得其局部坐标系下的单元刚度矩阵为’
!#-!!! !
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
有限单元法
!#-!!! !
$!’(.)*’
# 0#" #0# # $!1#5%
!"!"#!只计弯曲的杆单元
如图!"4所示&设杆单元的长度为’&截面惯性矩为*&弹性模量为(&杆端剪力为
#-%!’#-%"&杆端弯矩分别为+9!’+9"&杆端横向位移为$,!’$,"&杆端扭转角分别为&!!’&!"&
在单元上分布有荷载集度为. $#%的竖向分布荷载和集度为: $#%的分布力偶(则结点
位移矩阵和结点荷载矩阵分别为)
$!’(. &&!!$"!!&&"!$"" #" 1
#"6’(. #-%!!+9!!#-%"!+9" #" 1
图 !"&!只计弯曲的杆单元示意图
取挠曲线方程为#的三次多项式&即单元上任意一点的挠度为)
,.//0#/=#!/6#% $!1#6%
根据单元的位移边界条件)
#.$时),.$,!&2,2#.
&!!
#.’时),.$,"&
2,
2#.
&!"
可以得到式 $!1#6%中的待定系数)
/.$,!
0.$,"
=.0#’!$,!0
!
’!
&!!/%’!$,"0
#
’
&!"
6.0!’%$,!/
#
’!
&!!0!’%$,"0
#
’!
&!
,
-
. "
将系数/’0’=’6代入式 $!1#6%&并将挠曲线方程用矩阵形式表示为)
,. # # #! #" #%
# $ $ $
$ # $ $
0%’! 0
!
’
%
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#
’
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’! 0
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$,!
&!!
$,"
&!
/
0
1
2"
$!1#7%
第 !章!杆系结构的有限元法分析 !#3!!!
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
!#3!!! !
!.$$!’(
式中"$. #2#!2!!2%!2-$为形函数矩阵%其中"
2#.#0%#
!
’! /
!#%
’%
2!.##0
!#
’ /
#!
’& ’!
2%.%#
!
’! 0
!#%
’%
2-.0#
!
’/
#%
’
,
-
. !
&!1!$’
为平面弯曲单元的形函数(
根据式 &!1#7’确定的单元位移场%可得单元上某一点的曲率为"
%.2
!,
2#!.
2!$
2#!
$!’(.%$!’(
截面的弯矩为"
9.(*%.(*%$!’(.$!’(1%1(*
这里"
%.2
!$
2#!
&!1!#’
为平面弯曲杆单元的应变矩阵(
根据虚位移原理%有"
$4 外 5(
’
$
.&#’$2#7(
’
$
:&#’2$2#2#7
#"6’(& ’1 $$!’(5$4 变
!! 5$!’(1(
’
$
%1(*%2#$$!’(
记"
#"(’(5(
’
$
.&#’$2#7(
’
$
:&#’2$2#2#
&!1!!’
$!’(5(
’
$
%1(*%2# &!1!%’
则平面弯曲杆单元的单元刚度方程为"
#"’(6/#"’((.$!’($!’( &!1!-’
其中的单元刚度矩阵可由式 &!1!%’求得为"
$!’(.(*’%
#! 4’ 0#! 4’
4’ -’! 04’ !’!
0#! 04’ #! 04’
4’ !’! 04’ -’
/
0
1
2!
&!1!3’
等效结点荷载可由式 &!1!!’求得(
!"!"$!平面一般杆件单元
杆单元的长度为’%截面面积为&%截面惯性矩为*%弹性模量为(%单元的!)"端
!#4!!! !
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
有限单元法
!#4!!! !
各有三个力为#-#!"#-%!"+9! 和#-#""#-%""+9"#其对应的位移为$+!"$,!"&!! 和$+""$,""&!"#
建立如图!"5所示的局部坐标系#各物理量的正向如图中所标$则结点位移矩阵和结点荷
载矩阵分别为%
$!’(. $+!!$,!!&!!!$+"!$,"!&!& ’" 1 (!1!4)
#"’(. #-#!!#-%!!+9!!#-#"!#-%"!+9& ’" 1 (!1!5)
图 !"’!一般杆单元示意图
设单元上没有荷载作用#首先考虑轴向力的作用#由于杆端轴力#-#!"#-#"只引起杆端
轴向位移$+!"$+"#根据拉压杆单元的单元刚度方程 (!17)#有%
#-#!.(&’$+!0
(&
’$+"
#-#".0
(&
’$+!/
(&
’$+"
其次#杆端弯矩+9!"+9"和杆端剪力#-%""#-%"只与杆端的转角位移&!!"&!" 和杆端的横
向位移$,!"$,"有关系#根据只计弯曲杆单元的单元刚度方程 (!1!-)(注意%由于不考虑
单元上的荷载作用#故 (!1!-)式中的等效结点荷载#-(’(等于零)可得%
#-%!.
#!(*
’% $,!/
4(*
’!
&!!0#!(*’% $,"/
4(*
’!
&!"
#-%".0
#!(*
’% $,!0
4(*
’!
&!!/#!(*’% $,"0
4(*
’!
&!"
+9!.4(*’! $,!/
-(*
’
&!!04(*’! $,"/
!(*
’
&!"
+9".
4(*
’! $,!/
!(*
’
&!!04(*’! $,"/
-(*
’
&!"
这些关系式与结构力学中由位移法得到的表达式完全一样$这样#上述表达式合并在一
起#写成矩阵形式如下%
第 !章!杆系结构的有限元法分析 !#5!!!
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
!#5!!! !
#-#!
#-%!
+9!
#-#"
#-%"
+9
3
/
0
1
2"
.
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’ $ $ 0
(&
’ $ $
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4(*
’! $ 0
#!(*
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$ 4(*’!
-(*
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$ 0#!(*’% 0
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’!
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4
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/
0
1
2’
$+!
$,!
&!!
$+"
$,"
&!
3
/
0
1
2"
"!1!6#
可以将 "!1!6#式简写为$
#"’(.$!’($!’( "!1!7#
其中的单元刚度矩阵为$
$!’(.
(&
’ $ $ 0
(&
’ $ $
$ #!(*’%
4(*
’! $ 0
#!(*
’%
4(*
’!
$ 4(*’!
-(*
’ $ 0
4(*
’!
!(*
’
0(&
’ $ $
(&
’ $ $
$ 0#!(*’% 0
4(*
’! $
#!(*
’% 0
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’!
$ 4(*’!
!(*
’ $ 0
4(*
’!
-(*
4
4
4
4
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4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
33333333333333333333333
/
0
1
2’
"!1%$#
!"!"%!空间杆件单元
对于空间杆件单元%除了单元杆端力和结点位移数目较平面杆件单元多外%其分析方
法与平面杆件单元类似&下面以空间刚架单元为例进行分析&
对空间刚架单元%设局部坐标系的轴为单元的形心主轴%横截面的两个主轴分别为$%
轴和$>轴%##’$%’$>轴的确定符合右手定则 "如图!"6所示#&设杆横截面面积为&%杆
单元长度为’%在##$>平面内抗弯刚度为(*%%线刚度为
(*%
’
%在##$% 平面内的抗弯刚度为
(*>%线刚度为
(*>
’
%杆件的抗扭刚度为(*
’
&空间刚架有4个位移分量和4个结点力分量%
设局部坐标系下它们分别为$
$!’(. $+! $,! )?! &!#! &!%! &!>! $+" $," )?" &!#" &!%" &!>4( )" 1
#"’(. #-#! #-%! #->! +9#! +9%! +9>! #-#" #-%" #->" +9#" +9%" +9>4( )" 1
!#6!!! !
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
有限单元法
!#6!!! !
图 !"(!空间杆单元示意图
#-#!
#-%!
#->!
)9#!
)9%!
)9>!
5
#-#"
#-%"
#->"
)9#"
)9%"
)9>
/
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1
2"
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4
4
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4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
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/
0
1
2’
$+!
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)?!
&!#!
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&!>!
5
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$,"
)?"
&!#"
&!%"
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0
1
2"
"!1%##
上式中$(%%%弹性模量&
)%%%剪切模量&
&%%%单元横截面面积&
’%%%单元长度&
*>%%%绕>轴的惯性矩&
*%%%%绕%轴的惯性矩&
*%%%绕#轴的极惯性矩’
第 !章!杆系结构的有限元法分析 !#7!!!
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
!#7!!! !
式 "!1%##可以用矩阵形式简写为$
!!!#"’(.$!’($!’( "!1%!#
其中的单元刚度矩阵为$
$!’(.
(&
’ $ $ $ $ $ 0
(&
’ $ $ $ $ $
$ #!(*>’% $ $ $
4(*>
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4(*%
’! $
$ $ $ 0)*’ $ $ $ $ $
)*
’ $ $
$ $ 04(*%’! $
!(*%
’ $ $ $
4(*%
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’ $
$ 4(*>’! $ $ $
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’ $ 0
4(*>
’! $ $ $
-(*>
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
33333333333333333333333333333333333333
/
0
1
2’
"!1%%#
对于空间杆单元的单元刚度矩阵$!’(%我们可以这样来理解$
"##矩阵$!’(的第#&5列和第#&5行相交元素组成的矩阵即表示杆件单元只受轴力时
的单元刚度矩阵’
"!#矩阵$!’(的第-&#$列和第-&#$行相交元素组成的矩阵表示杆单元只受扭转作用
时对应的单元刚度矩阵’
"%#矩阵$!’(的第!&4&6&#!列和第!&4&6&#!行相交元素组成的矩阵表示杆单元
在平面发生纯弯曲时的单元刚度矩阵’
"-#矩阵$!’(的第%&3&7&##列和第%&3&7&##行相交元素组成的矩阵表示杆单元
在平面发生纯弯曲时的单元刚度矩阵%但这里应该注意的是此时结点力+9%!&+9%"的方向
与坐标轴的正方向相反(
上述四种组合变形%按杆端力和结点位移分量的顺序对应排列%即可以组成空间刚架
单元的单元刚度矩阵(
!"!"&!单元刚度矩阵的性质
从前面的分析可以看出%单元刚度矩阵具有如下的性质$
"##单元刚度矩阵$!’(为对称矩阵%其元素8!".8"! "!6"#(
!!$!!! !
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
有限单元法
!!$!!! !
"!#单元刚度矩阵$!’(中的每个元素代表单位杆端位移引起的杆端力$其中的任意元素
8!"的物理意义是第"个杆端位移分量等于# "其余位移分量等于$#时%所引起的第!个
杆端力的分量值$
"%#一般单元的单元刚度矩阵$!’(是奇异矩阵%它的元素组成的行列式等于零%即
$!’( .$$根据奇异矩阵的性质%$!’(没有逆矩阵$也就是说%如果给定杆端位移$!’(%根据
式 "!1!7#或式 "!1%##可以求出杆端力#"’(的唯一解%但反过来%如果已知杆端力#"’(%
则不能根据$!’(."$!’(#0##"6’(来确定杆端位移$!’(的唯一解$因为即使在杆端力已知的情况
下%由于单元两端无任何约束%因此除了杆端自身变形外%还可以发生任意的刚体位移$
举例来说%如果物体处于静止状态%我们可以说其处于平衡状态%但反过来%如果物体处
于平衡状态%则我们不能说其一定处于静止$
"-#单元刚度矩阵$!’(具有分块的性质%即可以用子矩阵表示$!’($在式 "!1!6#&式
"!1%$#和式 "!1%%#中%用虚线把$!’(分为四个子矩阵%把#"’(和$!’(各分为两个子矩阵%
因此%式 "!1!7#又可以写为’
#"!’(
#""’
/
0
1
2
(
.
$!!!’( $!!"’(
$!"!’( $!""’
/
0
1
2
(
$!!’(
$!"’
/
0
1
2
( !!!!!!!!!!!!!!! "!1%-#
这里’
#"!’(. #-#! #-%! +9( )! 1!或!#"!’
(. #-#! #-%! #->! +9#! +9%! +9( )>! 1
#""’(. #-#" #-%" +9( )" 1!或!#""’
(. #-#" #-%" #->" +9#" +9%" +9>( )" 1
$!!’(. $+! $,! &!( )! 1!或!$!!’
(. $+! $,! )?! &!#! &!%! &!( )>! 1
$!"’(. $+" $," &!( )" 1!或!$!"’
(. $+" $," )?" &!#" &!%" &!>( )" 1
用子矩阵形式表示单元刚度矩阵和单元刚度方程%可以使其表达的物理意义更加明显$在
单元刚度矩阵$!’(中%其任意子矩阵$!@A’(表示杆端力#"@’(和杆端位移$!A’(之间的关系$
!"#!杆系结构的整体分析
前面就杆件单元进行了分析%得到了杆单元的单元刚度方程和单元刚度矩阵$但有限
元分析的目的不是对孤立的单元进行分析%而是希望通过对单个单元进行分析以后进而找
到对整个结构进行分析的方法$因此%单元分析完成以后%必须将所有单元再组合成一个
整体%考虑结构的整体性能$
所谓结构的整体分析就是将离散后的所有单元通过结点连接成原来的结构物进行分
析%即将所有单元的单元刚度方程集成为总体刚度方程%并引入恰当的边界条件后求解整
体刚度方程%得到结点位移%并进而计算其内力分布$
!"#""!平面问题坐标变换矩阵
一般情况下%我们在进行单元分析时均是在局部坐标系中进行的%对于某一单元%如果
其局部坐标系与整个结构的整体坐标系不一致%则由单元分析的物理量必须通过坐标转换首
先变换到整体坐标系中%然后再进行整体分析$这里介绍一下求坐标变换矩阵的方法$
图!"7 "&#表示单元的杆端力在局部坐标系#$%中的方向%图!"7 "’#表示杆端力在
第 !章!杆系结构的有限元法分析 !!#!!!
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
!!#!!! !
整体坐标系#$%中的方向"根据力的投影定理#将整体坐标系中的杆端力-#!$-%!分别投
影到局部坐标系中##$$%轴上#或者说将-#!$-%!分解为##$$%上的分力#即%
#-#!.-#!89:&/-%!:;<&
#-%!.0-#!:;<&/-%!89:& & ’!1%3(
这里&表示由#轴到##轴的角#角度转动的正负由右手定则确定#本书中以顺时针方向转
动为正"在两个坐标系中#力偶分量保持不变#即有%
+9!.9! ’!1%4(
’&(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ’’(
图 !")!平面问题两种坐标系下杆端力转换关系示意图
同理#对于"端的杆端力#有%
#-#".-#"89:&/-%":;<&
#-%".0-#":;<&/-%"89:&
+9".9
,
-
. "
’!1%5(
将式 ’!1%3($式 ’!1%4(和式 ’!1%5(用矩阵形式可表示为%
#-#!
#-%!
+9!
#-#"
#-%"
+9
/
0
1
2"
.
89:& :;<& $ $ $ $
0:;<& 89:& $ $ $ $
$ $ # $ $ $
$ $ $ 89:& :;<& $
$ $ $ 0:;<& 89:& $
/
0
1
2$ $ $ $ $ #
-#!
-%!
9!
-#"
-%"
9
/
0
1
2"
’!1%6(
上式可以简写成%
#"’(.’’("’( ’!1%7(
这即为两种坐标系下单元杆端力的坐标变换式"其坐标转换矩阵为%
’’(.
89:& :;<& $ $ $ $
0:;<& 89:& $ $ $ $
$ $ # $ $ $
$ $ $ 89:& :;<& $
$ $ $ 0:;<& 89:& $
/
0
1
2$ $ $ $ $ #
’!1-$(
局部坐标系下的单元杆端力矩阵为%
!!!!!! !
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
有限单元法
!!!!!! !
#"’(. #-#! #-%! +9! #-#" #-%" +9" #" 1 $!1-#%
整体坐标系下的单元杆端力矩阵为&
"’(. -#! -%! 9! -#" -%" 9" #" 1 $!1-!%
从坐标转换矩阵’’(的表达式 $!1-$%可以看出’’’(为正交矩阵’其逆矩阵等于其转
置矩阵’即有&
’’(0#.’’(1 $!1-%%
并且有&
’’(0#’’(.( $!1--%
式中(为单位矩阵(
同样的推导’可以得到两种坐标系下的杆端位移之间的转换关系为&
$!’(.’’(!’( $!1-3%
这里$!’(和!’(分别为局部坐标系和整体坐标系下的杆端位移矩阵’’’(为前面介绍的转换矩
阵(将式 $!1%7%)式 $!1-3%代入式 $!1!7%’可得&
’’("’(.$!’(’’(!’(
上式两边同乘以’’(0#’并考虑式 $!1-%%和式 $!1--%’可以得到&
"’(.’’(0#$!’(’’(!’(.’’(1$!’(’’(!’(
设
!’(.’’(1$!’(’’( $!1-4%
可得&
"’(.!’(!’( $!1-5%
上式即为整体坐标系下的单元刚度方程(式 $!1-4%为两种坐标下单元刚度矩阵的转换
公式(利用该式可求得整体坐标系下的单元刚度矩阵(
对于轴力单元’在整体坐标系下的杆端力矩阵和杆端位移矩阵分别为&
"’(. -#! -%! -#" -" #%" 1
!’(. +! ,! +" ," #" 1
由于不需要考虑杆端转角位移!和杆端力偶9’故在坐标转换矩阵式 $!1-$%中应删去第
%)4行和第%)4列元素’即此时的坐标转换矩阵为&
’’(.
89:& :;<& $ $
0:;<& 89:& $ $
$ $ 89:& :;<&
$ $ 0:;<& 89:
/
0
1
2&
$!1-6%
对于一般单元’若&.$’则有!’(.$!’((
从前面分析可以看出’整体坐标系下的单元刚度矩阵!’(与局部坐标系下单元刚度矩
阵$!’(是同阶矩阵’它们具有相类似的性质(
!"#"!!空间问题坐标变换矩阵
首先’我们考察结点!在局部坐标系B#%>下的杆端力#-#!)#-%")#->!与在整体坐标系
下的杆端力-#!)-%!)->!的关系(设##轴与#)%)>轴的夹角分别为###)##%)##> $如
图!"#$所示%’则##轴与#)%)>轴的方向余弦分别为&
第 !章!杆系结构的有限元法分析 !!%!!!
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
!!%!!! !
’$##.89:"####$#’$#%.89:"###%$#’$#>.89:"###>$
则将杆端力-#!%-%!%->!向##轴投影#可以求得杆端力#-#!#即&
#-#!.-#!’$##/-%!’$#%/->!’$#>
同理可以求得&
#-%!.-#!’$%#/-%!’$%%/->!’$%>
#->!.-#!’$>#/-%!’$>%/->!’$>>
图 !""*!空间问题两种坐标系下杆端力转换关系示意图
用矩阵形式可以表示为&
#-#!
#-%!
#-
/
0
1
2>!
.
’$## ’$#% ’$#>
’$%# ’$%% ’$%>
’$># ’$>% ’$
/
0
1
2>>
-#!
-%!
/
0
1
2->!
上式即为结点!的杆端力在局部坐标系和整体坐标系下的转换关系#其中的矩阵
#.
’$## ’$#% ’$#>
’$%# ’$%% ’$%>
’$># ’$>% ’$
/
0
1
2>>
称为关系矩阵’
与上面的推导类似#同样可以推出以9#!%9%!%9>!表示+9#!%+9%!%+9>!#以及对于
结点"的相对应的转换关系#其中转换关系矩阵都是#’
综上所述#整体坐标系下单元杆端力矩阵与局部坐标系下单元杆端力矩阵具有如下的
关系表达式&
#"’(.’’("’( "!1-7$
其中的’’(为&
’’(.
# $ $ $
$ # $ $
$ $ # $
$ $ $
/
0
1
2#
"!13$$
!!-!!! !
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
有限单元法
!!-!!! !
称为空间坐标系的单元转换矩阵"它是#!=#!阶矩阵"并且它是一个正交矩阵"即有#
’’(0#.’’(1
对于杆端位移"同样可以推导出在局部坐标系和整体坐标系中的转换关系#
$!’(.’’(!’( $!13#%
将 $!1-7%式&$!13#%式代入 $!1%!%式"化简并整理"可得空间刚架杆件单元在整体
坐标系中的单元刚度方程为#
"’(.!’(!’( $!13!%
其中
!’(.’’(1$!’(’’( $!13%%
表示空间单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵’可以看出"$!13!%式和 $!13%%式与平
面结构中对应的表达式完全一致"其不同之处仅在于单元转换矩阵不同’
!"#"#!杆系结构的整体分析
对杆系结构进行单元分析"仅仅是有限元分析中的第一步’我们的目的是要对整个结
构进行分析"研究结构的整体性能’因此"在对结构的各单元分析完成后"必须将单元分
析的结果进行整合"对结构进行整体分析’整体分析的过程实际上是如何将单元分析的结
果进行有效组合"建立整体刚度方程并求解结点位移的过程’根据对结点位移的编码方
式"可以采用 (先处理法)和 (后处理法)来建立整体刚度方程’
#" 后处理法
所谓后处理法"就是由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵"建立刚度方程后再引入支承
条件"进而求解结点位移的方法’运用这种方法时"假设所有结点位移均为未知量"按照
顺序统一进行编码"如图!"##所示的平面杆件单元’
图 !"""!后处理法位移编码示意图
结点位移矩阵为#
!. !# !! !% !* +- 1
. +# ,# !# +! ,! !! +% ,% !% +- ,- !* +- 1
结点荷载矩阵为#
". "# "! "% "* +- 1
. -## -#% 9# -!# -!% 9! -%# -%% 9% --# --% 9* +- 1
求出各单元刚度方程后"根据平衡条件和位移连续条件"可以建立整个结构的位移法方程#
第 !章!杆系结构的有限元法分析 !!3!!!
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
!!3!!! !
"#
"!
"%
"
/
0
1
2-
.
!!!! !!"! $ $
!"!! !""!/!!!" !!"" $
$ !"!" !"""/!!!# !!"#
$ $ !"!# !""
/
0
1
2
#
!#
!!
!%
!
/
0
1
2-
或简写成"
".)! #!13-$
这里)为结构的整体刚度矩阵%有"
).
C## C#! C#% C#-
C!# C!! C!% C!-
C%# C%! C%% C%-
C-# C-! C-% C
/
0
1
2--
#!133$
但应该注意到%在建立方程 #!13-$的过程中%我们假设所有结点都有位移&因此整个
结构在外力作用下%除了发生弹性变形外%还可能发生刚体平动位移%这样各结点位移不
能唯一确定&这说明 #!133$式为一奇异矩阵%不能求逆矩阵%即根据 #!13-$式可得
到无穷多个解&实际上%在图!"##所示刚架中%结点#和结点-均为固定端%其三个位
移分量均为$%即有"
+#.,#.!#.+-.,-.!-.$
这样%将上述支承条件引入到方程 #!13-$中%对整体刚度方程进行修改%可得"
"#
"!
"%
"
/
0
1
2-
.
C## C#! C#% C#-
C!# C!! C!% C!-
C%# C%! C%% C%-
C-# C-! C-% C
/
0
1
2--
$
!!
!%
/
0
1
2$
对上述方程进行化简%可以得到两组方程"
"!
"’ (% .
C!! C!%
C%! C’ (%%
!!
!’ (% #!134$
和
"#
"’ (- .
C#! $
$ C’ (-%
!!
!’ (% #!135$
这样%利用 #!134$式可以求得结点位移!! 和!%%再根据 #!135$式可以求得支座反力"#
和"-&
上述是针对特定的结构进行讨论的%实际上对于一般杆件结构%均可以按上述步骤进
行分析&不管结构具有多少个结点位移分量%经过调整其顺序%总可以将其分为两组%一
组包含所有未知结点位移分量!D%另一组包含所有已知结点位移分量!@%对应的结点力
分量也可以分别表示为"D 和"@%即"
!.
!D
!’ (@ %".
"D
"’ (@
与此相对应%整体刚度矩阵)也可以重新排列%分为-个子块&这样整体刚度方程可以
重新写为"
!!4!!! !
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
有限单元法
!!4!!! !
"D
"" #@ .
CDD CD@
C@D C" #@@
!D
!" #@
展开以后可以写成$
"D.CDD!D/CD@!@ %!136&
"@.C@D!D/C@@!@ %!137&
已知"D 和!@时’可以根据 %!136&式计算!D’然后根据 %!137&式计算支座反力"@(
!" 先处理法
所谓先处理法’就是先引入支承条件’根据支承条件仅对未知的自由结点位移分量编
号’得到的位移矩阵中不包含已知的约束位移分量’即可以直接得到方程 %!136&求解
自由结点位移分量(
如图!"#!所示的平面刚架结构)>?@’由于在)处和@处均为固定端’其位移为$’
故位移编码均为$’在?处为铰结’故>?杆在?端的角位移与@?杆在?端的角位移不
相同’因此在?处编两个结点%和-’但结点%和-的横向位移和竖向位移相同’故采用
相同的编号’各结点位移编码如图所示(
图 !""!!先处理法位移编码示意图
综上所述’利用先处理法对单元结点位移编码时’仅对独立的位移分量按自然数顺序
编号’若某些位移分量由于连接条件的限制彼此相等’则编为同一位移号’在支座处’由
于刚性约束而使位移分量为零时’则对应的编号为$(
%" 杆系结构整体刚度矩阵
下面以先处理法为例’介绍如何将离散的单元重新集装成整体结构’使其满足力的平
衡条件和位移的连续条件’得到结构的整体刚度方程(
由单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵通常采用刚度集成法(其计算过程可以分为两步$
首先求出各单元的贡献矩阵’然后将它们叠加起来形成整体刚度矩阵(但这样的处理方法
在实际当中很少采用’因为在编程时需先将各单元的贡献矩阵储存起来’而各单元贡献矩
阵的阶数与整体刚度矩阵的阶数相同’因此占用的空间非常巨大’不利于节约资源’在实
际应用当中有可能耗尽所有资源’故在实际应用当中并不是采用贡献矩阵法’而是利用各
单元的定位数组’采用 )边定位’边累加*的方法(
所谓单元的定位数组’就是将单元’(的始端及末端的位移编码排成一行 %始端在前’
末端在后&’写成如下的形式$
第 !章!杆系结构的有限元法分析 !!5!!!
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
!!5!!! !
:’(. :# :! :% " :# $E
如图!"#!中%各单元的定位数组分别为&
:!. #$$$#!%$
:". ##!%-34$
:#. #$$$-35$
这样处理得到的整体刚度矩阵与叠加所有贡献矩阵得到的结果完全一致%而且可以节约大
量的存储空间’
如图!"#!所示的结构有%个单元%3个结点%5个独立的位移分量%其整体刚度矩阵
应为5=5阶矩阵%即&
).
C## C#! C#% C#- C#3 C#4 C#5
C!# C!! C!% C!- C!3 C!4 C!5
C%# C%! C%% C%- C%3 C%4 C%5
C-# C-! C-% C-- C-3 C-4 C-5
C3# C3! C3% C3- C33 C34 C35
C4# C4! C4% C4- C43 C44 C45
C5# C5! C5% C5- C53 C54 C
/
0
1
255
对于单元!%其单元定位数组为:!. #$$$#!%$%将定位数组标记在单元刚度矩
阵的上面和右侧%其与单元刚度矩阵一起写成如下形式&
!!!$! $! $! #! !! %4 !
!!.
8## 8#! 8#% 8#- 8#3 8#4
8!# 8!! 8!% 8!- 8!3 8!4
8%# 8%! 8%% 8%- 8%3 8%4
8-# 8-! 8-% 8-- 8-3 8-4
83# 83! 83% 83- 833 834
84# 84! 84% 84- 843 8
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3333333333333
/
0
1
244
!$
$
$
5
#
!
%
按先处理法%单元刚度矩阵中对应位移分量编号为$的元素不进入整体刚度矩阵%非
$位移编码指明了其余各元素在整体刚度矩阵中的行(列号%例如&83-!对应于第3行位
移编码为!%第-列的位移编码为#%则它在整体刚度矩阵中应放在C!#的位置’依此类
推%!!中各元素在整体刚度矩阵)中的位置为&
8--!%C## 8-3!%C## 8-4!%C#%
83-!%C!# 833!%C!! 834!%C!%
84-!%C%# 843!%C%! 844!%C%%
单元"的刚度矩阵和它的定位数组为&
!!6!!! !
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
有限单元法
!!6!!! !
!!!#! !! %! -! 3! 44 !
!".
8## 8#! 8#% 8#- 8#3 8#4
8!# 8!! 8!% 8!- 8!3 8!4
8%# 8%! 8%% 8%- 8%3 8%4
8-# 8-! 8-% 8-- 8-3 8-4
83# 83! 83% 83- 833 834
84# 84! 84% 84- 843 8
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3333333333333
/
0
1
244
"#
!
%
5
-
3
4
!"中各元素在整体刚度矩阵)中的位置为"
8!""%C!"! #!.#$!$%$4$!".#$!$%$4&
单元#的刚度矩阵和它的定位数组为"
!!!$! $! $! -! 3! 54 !
!#.
8## 8#! 8#% 8#- 8#3 8#4
8!# 8!! 8!% 8!- 8!3 8!4
8%# 8%! 8%% 8%- 8%3 8%4
8-# 8-! 8-% 8-- 8-3 8-4
83# 83! 83% 83- 833 834
84# 84! 84% 84- 843 8
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3333333333333
/
0
1
244
#$
$
$
5
-
3
5
!#中各元素在整体刚度矩阵)中的位置为"
8--#%C-- 8-3#%C-3 8-4#%C-5
83-#%C3- 833#%C33 834#%C35
84-#%C5- 843#%C53 844#%C55
这样$按照以上所讲的定位方法$将!!’!"’!#中的相关元素累加到整体刚度矩阵对应
的元素上$可以得到整体刚度矩阵为"
).
8--!/8##" 8-3!/8#!" 8-4!/8#%" 8#-" 8#3" 8#4" $
83-!/8!#" 833!/8!!" 834!/8!%" 8!-" 8!3" 8!4" $
84-!/8%#" 843!/8%!" 844!/8%%" 8%-" 8%3" 8%4" $
8-#" 8-!" 8-%" 8--"/8--# 8-3"/8-3# 8-4" 8-4#
83#" 83!" 83%" 83-"/83-# 833"/8
浙公网安备 33021202002483