2008年全国中考数学压轴题精选(十一)
102（08新疆乌鲁木齐23题）23．如图9，在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作圆，交轴于两点，开口向下的抛物线经过点，且其顶点在上．
（1）求的大小；
（2）写出两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（08新疆乌鲁木齐23题解答）23．解：（1）作轴，为垂足，
，半径
1分
，
3分
（2），半径
，故，
6分
（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点的坐标为
7分
设抛物线解析式
8分
把点代入上式，解得
9分
10分
（4）假设存在点使线段与互相平分，则四边形是平行四边形
11分
且．
轴，点在轴上．
12分
又，，即．
又满足，
点在抛物线上
13分
所以存在使线段与互相平分．
14分
103(08云南省卷24题) 24．（本大题满分14分）如图12，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线
与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴
上.
（1）求
的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作
轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为
，点P的横坐标为
，求
与
之间的函数关系式，并写出自变量
的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.
(08云南省卷24题解析) (1) ∵ 点A(3,4)在直线y=x+m上，
∴ 4=3+m. ………………………………（1分）
∴ m=1. ………………………………（2分）
设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2. ………………………………（3分）
∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上 ∴ 4=a(3-1)2, ∴ a=1.……（4分）
∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即y=x2-2x+1.…………………（5分）
(2) 设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE .∴ PE=h=yP-yE………………………（6分）
=(x+1)-(x2-2x+1) ………………………………（7分）
=-x2+3x. ………………………………（8分）
即h=-x2+3x (0＜x＜3). ………………………………（9分）
(3) 存在. ………………………………（10分）
解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. …………………（11分）
∵ 点D在直线y=x+1上,
∴ 点D的坐标为(1,2),
∴ -x2+3x=2 .
即x2-3x+2=0 . ………………………………（12分）
解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) ………………………………（13分）
∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形. ……………（14分）
解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE. ………………（11分）
设直线CE的函数关系式为y=x+b.
∵ 直线CE 经过点C(1,0), ∴ 0=1+b, ∴ b=-1 .
∴ 直线CE的函数关系式为y=x-1 .
∴
得x2-3x+2=0. ………………………………（12分）
解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) ………………………………（13分）
∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形. ……………（14分）
B
x
y
A
O
� EMBED Equation.DSMT4 ���
P
H
E
B
A
C
P
图12
O
x
y
D
PAGE
-1-
_1214376357.unknown
_1214717613.unknown
_1276432187.unknown
_1214376534.unknown
_1214376580.unknown
_1214376485.unknown
_1214374272.unknown
_1213901879.unknown
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