第一次课(波动方程)作业:p6
1.细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移,假设振动过程发生的张力服从虎克定律,试
证明
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满足方程
其中
为杆的密度,
为杨氏模量。
证:在杆上任取一段,其中两端于静止时的坐标分别为
与
EMBED Equation.3 。现在计算这段杆在时刻
的相对伸长。在时刻
这段杆两端的坐标分别为:
其相对伸长等于
令
EMBED Equation.3 ,取极限得在点
的相对伸长为
EMBED Equation.3 。
由虎克定律,张力
等于
其中
是在点
的杨氏模量。
设杆的横截面面积为
则作用在杆段
两端的力分别为
EMBED Equation.3
于是得运动方程
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
利用微分中值定理,消去
,再令
得
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
若
常量,则得
=
即得所证。
7. 验证
在锥
>0中都满足波动方程
证:函数
在锥
>0内对变量
有
二阶连续偏导数。且
同理
所以
即得所证。
(达朗贝尔公式)p15 8.求解波动方程的初值问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
EMBED Equation.3
解:根据叠加原理,问题可以分解为以下两类问题的叠加:
(I)
(II)
根据达朗贝尔方程,问题(I)的解为:
=
=
根据齐次化原理,问题(II)的解为
=
=
=
=
=
=
所以,
第2次作业:(分离变量法)p22
1. 用分离变量法求下列问题的解:
(1)
解:采用分离变量法,令
带入偏微分方程,得到
(1)
将上式分离变量,有
(2)
上式只有在两边均等于常数时才成立。令此常数为
,则有
, (3)
(4)
根据边界条件,方程(4)应当满足
X(0)=0, (5)
X(l)=0 (6)
方程(4)的通解可以分为
三种情况分别讨论。
当
时,方程(4)的通解为
要使它满足边界条件(5)(6),必须有
解得
所以
时,无非平凡解。
当
时,方程(4)的通解为
要使它满足边界条件(5)(6),必须有
解得
所以
时,无非平凡解。
当
时,方程(4)的通解为
要使它满足边界条件(5)(6),必须有
为了使得
,就必须有
于是
,k=1,2,…….
于是,得到了一族非零解
,k=1,2,……,
将
代入方程(3)中,可得其通解为
,
于是问题的解为
由初始条件确定常数
及
,有
所以
因此所求解为
(热传导方程)p48
1. 一均匀细杆直径为
,假设它在同一截面上的温度是相同的,杆的表面和周围介质发生热交换,服从于规律
又假设杆的密度为
,比热为
,热传导系数为
,试导出此时温度
满足的方程。
解:引坐标系:以杆的对称轴为
轴,此时杆为温度
。记杆的截面面积
为
。由假设,在任意时刻
到
内流入截面坐标为
到
一小段细杆的热量为
杆表面和周围介质发生热交换,可看作一个“被动”的热源。由假设,在时刻
到
在截面为
到
一小段中产生的热量为
又在时刻
到
在截面为
到
这一小段内由于温度变化所需的热量为
由热量守恒原理得:
消去
,再令
,
得精确的关系:
或
其中
(初边值问题的分离变量法)p53
1. 用分离变量法求下列定解问题的解:
EMBED Equation.3
解:设
代入方程,得
(1)
将上式分离变量,有
(2)
上式只有在两边均等于常数时才成立。令此常数为
,则有
, (3)
(4)
根据边界条件,方程(4)应当满足
(5)
(6)
方程(4)的通解可以分为
三种情况分别讨论。
当
时,方程(4)的通解为
要使它满足边界条件(5)(6),必须有
解得
所以
时,无非平凡解。
当
时,方程(4)的通解为
要使它满足边界条件(5)(6),必须有
解得
所以
时,无非平凡解。
当
时,方程(4)的通解为
要使它满足边界条件(5)(6),必须有
为了使得
,就必须有
于是
,k=1,2,…….
于是,得到了一族非零解
,k=1,2,……,
将
代入方程(3)中,可得其通解为
,
于是问题的解为
由初始值得
因此
故解为
第3次作业(调和方程)p73
4. 证明下列函数都是调和函数
(1)
(a, b, c为常数)
证:令
, 显然
故
,所以u为调和函数
(2)
EMBED Equation.3 。所以
。u为调和函数
令
则
EMBED Equation.3 。所以
。v为调和函数
(3)
证: 令
EMBED Equation.3 所以
,
为调和函数。
令
EMBED Equation.3 。所以
,
为调和函数。
(4)
证: 双曲正弦函数
双曲余弦函数
双曲正切函数
因
EMBED Equation.3
所以
故
同理,其余三个函数也是调和的
(5)
证: 令
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
所以u, v皆为调和函数。
第4次作业(二阶方程)p102
2. 判定下述方程的类型
(1)
(2)
(3)
解:(1)
因
当
时
或
时
。即在坐标轴上方程为抛物型,其余处为双曲型。
(2)
因
,在直线
上,
为抛物型,其余处
,为椭圆型。
(3)
因
在坐标轴上,
为抛物型;在一,三象限中,
,为椭圆型;在二,四象限中,
,为双曲型。
3. 化下列方程为
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
形式
(1)
(2)
解:(1)
因
,方程为椭圆型。
特征方程为
解之得
因此引变换
有
代入化简即得:
因
,方程为抛物型.
特征方程为
解之得
因此引变换
有
代入化简即得
第9次作业(二阶方程)p107
1. 求下列方程的特征方程和特征方向
解:
特征方程
又
所以
引实参数
得特征方向为
特征方程
又
所以
即任一点特征方向与
轴交角为
。
特征方程
又
所以
引实参数
得特征方向为
PAGE
1
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