数分选讲讲稿第1讲

讲 授 内 容 备 注 第一讲 第1章 一元函数极限 极限论是数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 的基础理论，极限问题是数学分析中的困难问题之一。中心问题有两个：一是证明极限的存在性，二是求极限的值。二者有着密切的联系：若证明了极限的存在性，就为求极限的值提供了保障。反之，若求出了极限的值，也就证明了极限的存在性。 §1．1 用定义证明极限的存在性 用定义证明极限的存在性，首先要弄清楚极限的定义．以数列极限为例． 当 时，有 ． 注： 　定义中的四步逻辑关系，须强调 的给定性在先， 的 　　　存在性在后， 的存在性依赖于 的给定性． 　　 与 的关系前后颠倒，只能证明定义的充分性或者必要性． 例1 下列说法可否作为“数列 以 为极限”的定义： 　　(1) ， 实数 ，当 时，有 ． (2) EMBED Equation.DSMT4 正整数 ，当 时，有 ． 此处 为正实数 (3) 正整数 ， 当 时，有 ． (4) 正整数 ， 当 时，有 ． (5) 正整数 ， 正整数 ，当 时，有 ． (6) 正整数 ，当 时，有 ． (7) ，集合 为有限集． 　　(8) ，集合 为无限集． 解答　(1)、(2)、(5)、(7)是正确的． (3)　是“数列 以 为极限”的充分而非必要条件．事实 上，当数列 满足(3)时，必有 ． 　　　　　　　　 　 反之，以 为极限的数列自然不必从某项起恒为 ．如 ． (4) 是“数列 以 为极限”的必要而非充分条件． 如数列　 ，本身极限不存在．但 EMBED Equation.DSMT4 ，取 ，当 时，有 ． (6) 是“数列 以 为极限”的充分而非必要条件． 如 以 为极限，但 ． 即 的 任意小的阶不一定非达到 ． (8) 是“数列 以 为极限”的必要而非充分条件． 用定义证明数列极限的一般 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是 1． 求最小的 ： 后，通过解不等式 解出 , 即证明 等价于 ，从而令 ， 则当 时，有 ． 2．放大法： 有时直接解不等式 比较复杂，不便解出 ．可适当将不等式 简化、放大，使之成为 的一个新函数 ： （这里要求 ）． 于是要 ，只要 ．通过解不等式 ，求出 ，令 ，则当 时，有 ． 　3．分段放大法： 有时在对 进行简化、放大时，需对 作某些限制，逐步进行放大．不妨设 （ 是某个固定的自然数），然后进行放大 为 ．（ ） 解不等式 ，求出 ，令 ， 则当 时，有 ． 对于极限 有类似的 ， 方法． 例2证明： ． 证 ，当 时 　　 所以，取 , 当 时，有 即 ． 　注 本例中第一步不等式适当放大，是分子放大，分母缩小，但分母不能缩地太小，应保持放大后的式子为无穷小量。第二步不等式适当放大，是在 的假设下进行，此时有 ． 例3 设 ， （ 为有限数， 或 ）． 证明 ． 证 因为 ， 所以　 当 时，有 ． 固定 ，当 时 　　 　 　 　　 　　 因为 固定，所以 为定值． 对上述 当 时 　　　　　　 ． 于是，取 ，则当 时， 　　　　　　 即 　　　　　　 ． 对于 的情况，读者自证． 　注　 时，本命题不一定成立．如 ． 　　例4　证明：若 ，且 　　　　　　 ， ． 则　 ． 证　　因为 ， 所以 有界， 对 ，有 ． 　　对 当 时，有 ． 固定 ，当 时 　　　　　 　　　　 　　 　　 ． 因为 ， 所以对上述 ，当 时，有 　　　　　　 ． 取 ，当 时，（ ）有 　　　　 于是，当 时，有 　　　 ． 即　 ． 例5　实数列 满足 ． 证明： ． 证　因为 ， 所以　 当 时，有 ． 固定 ，当 时，设 则　　 考虑　　 　　　 　　　 　　　 　　　 ． 且　 ， ，当 时， ． 取　 ，当 时， ． 即　　　　　　 ． 　　例6　已知 ，证明： ． 证 已知 ， 所以 当 时，有 因为　　　　 　　　　 ． 所以 　　　　 　　　 　　　 　　　　　　　　 因为 固定，上式中右端第一项和第三项为定值， 所以　 当 时， 　　　　 ，　 . 　　 取 ，则当 时， 即 　　　 ． 　注 1．上例中对 的处理方法，称为“拟合法”，是将 变形，化为与 相似的形式，以利于对 的各项合并、放大． 　 2．对于连乘，连加形式的数列极限常用分段法证明． 　 3学时 去掉数列的前有限项不影响其敛散性 拟合法 PAGE 3 _1237708934.unknown _1237727687.unknown _1237795520.unknown _1237805826.unknown _1237806752.unknown _1237806881.unknown _1237807160.unknown _1247641144.unknown _1271574772.unknown _1237807203.unknown _1237807215.unknown _1237807364.unknown _1237807172.unknown _1237807076.unknown _1237807089.unknown _1237807010.unknown _1237806785.unknown _1237806859.unknown _1237806770.unknown _1237806553.unknown _1237806580.unknown _1237806659.unknown _1237806569.unknown _1237806526.unknown _1237806541.unknown _1237805951.unknown _1237796015.unknown _1237805568.unknown _1237805694.unknown _1237805705.unknown _1237805601.unknown _1237796205.unknown _1237805477.unknown _1237796092.unknown _1237795713.unknown _1237795820.unknown _1237795855.unknown _1237795763.unknown _1237795628.unknown _1237795653.unknown _1237795530.unknown _1237792954.unknown _1237794275.unknown _1237794480.unknown _1237795209.unknown _1237795283.unknown _1237795083.unknown _1237794394.unknown _1237794454.unknown _1237794299.unknown _1237793921.unknown _1237794110.unknown _1237794205.unknown _1237793186.unknown _1237793538.unknown _1237793608.unknown _1237793121.unknown _1237728061.unknown _1237792806.unknown _1237792844.unknown _1237792884.unknown _1237792821.unknown _1237728162.unknown _1237728430.unknown _1237792774.unknown _1237728113.unknown _1237727731.unknown _1237727815.unknown _1237727995.unknown _1237727772.unknown _1237727788.unknown _1237727699.unknown _1237709536.unknown _1237726468.unknown _1237726689.unknown _1237727356.unknown _1237726853.unknown _1237727223.unknown _1237726638.unknown _1237726650.unknown _1237726487.unknown _1237726066.unknown _1237726245.unknown _1237726349.unknown _1237726102.unknown _1237709710.unknown _1237710296.unknown _1237709556.unknown _1237709209.unknown _1237709366.unknown _1237709420.unknown _1237709487.unknown _1237709265.unknown _1237709336.unknown _1237709293.unknown _1237709239.unknown _1237709054.unknown _1237709202.unknown _1237709000.unknown _1237709043.unknown _1113501640.unknown _1237707811.unknown _1237708786.unknown _1237708866.unknown _1237708906.unknown _1237708893.unknown _1237708819.unknown _1237708836.unknown _1237708509.unknown _1237708532.unknown _1237708212.unknown _1237707933.unknown _1237708010.unknown _1113502139.unknown _1237707289.unknown _1237707338.unknown _1113509888.unknown _1113510088.unknown _1113510857.unknown _1113511005.unknown _1113511103.unknown _1113510578.unknown _1113509954.unknown _1113509769.unknown _1113509817.unknown _1113509419.unknown _1113502007.unknown _1113501702.unknown _1113501901.unknown _1113501961.unknown _1113501677.unknown _1113498217.unknown _1113500983.unknown _1113501281.unknown _1113501357.unknown _1113501136.unknown _1113500097.unknown _1113500729.unknown _1113500799.unknown _1113500877.unknown _1113500774.unknown _1113500524.unknown _1113499992.unknown _1113500078.unknown _1113499188.unknown _1113070378.unknown _1113071740.unknown _1113072042.unknown _1113497992.unknown _1113498128.unknown _1113071932.unknown _1113071646.unknown _1113071672.unknown _1113070497.unknown _1113071222.unknown _1113068293.unknown _1113068361.unknown _1113068100.unknown