第1章——z变换

null课程引入课程引入课程引入 在模拟信号与系统中，用傅里叶变换进行频域分析，而拉普拉斯变换作为傅里叶变换的推广，用来对信号进行复频域分析。 在时域离散信号和系统中，用离散傅里叶变换进行频域分析，用z变换进行复频域分析。 Z变换是数字信号处理的数字基础第1章 z变换第1章 z变换第1章 z变换 1.1 序列 1.2 z变换及其收敛域 1.3 z反变换 1.4 z变换的性质和定理 1.5 差分方程的解法1.1 序列1.1 序列§1.1 序列 定义：序列（离散时间信号）：是有序排列的一组离散值，这些离散值可以是实数，也可以是复数。 获得方式：对模拟信号 进行等间隔采样获得的，采样间隔为 1.1 序列这里 取整数。对于不同的 值， 是一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信号。注意，这里的 取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即 1.1 序列1.1 序列1、序列的表达方式 （1）枚举方式 或 （2）图形方式 （3）用常用典型序列表示 1.1 序列1.1 序列2、数字信号处理中常用的序列运算 （1） 序列的移位（延时） 序列x(n)，其移位序列w(n)为 当m为正时，则x(n-m)是指序列x(n)逐项依次延时（右移）m位而给出的一个新序列; 当m为负时，x(n-m)是指依次超前（左移）m位。1.1 序列1.1 序列（2） 序列的翻褶 如果序列为x(n), 则x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。1.1 序列1.1 序列（3） 序列的和 两序列的和是指同序号 的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。 和序列 可表示为 1.1 序列1.1 序列（4） 序列的乘积 两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。 乘积序列f(n)可表示为 1.1 序列1.1 序列（5） 序列的标乘 序列x(n)的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数c。标乘序列 f(n)可表示为 1.1 序列1.1 序列（6） 累加 设某序列为x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为 它表示y(n)在某一个n0上的值y(n0)等于在这一个n0上的x(n0)值与n0以前所有n上的x(n)之和。 1.1 序列1.1 序列（7） 序列的卷积 设某序列为x(n)和y(n)，其卷积定义为 1.1 序列1.1 序列（8） 时间尺度变换 x(n)的时间尺度变换为 或 ， 为正整数1.1 序列序列的抽取序列的插值1.1 序列3、常用典型序列 （1） 单位脉冲序列δ(n) 这个序列只在n=0 处有一个单位值1，其余点上皆为0， 因此也称为“单位采样序列”。1.1 序列1.1 序列 这是最常用、最重要的一种序列，它在离散时间系统中的作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激函数δ(t)。但是， 在连续时间系统中，δ(t)是 t=0 点脉宽趋于零，幅值趋于无限大，面积为1的信号，是极限概念的信号， 并非任何现实的信号。而离散时间系统中的δ(n)，却完全是一个现实的序列， 它的脉冲幅度是1， 是一个有限值。  1.1 序列1.1 序列单位脉冲序列的延迟序列 1.1 序列 结论：任何序列都可以表示为各延迟单位脉冲序列的加权组合 1.1 序列（2） 单位阶跃序列u(n) 1.1 序列1.1 序列δ(n)和u(n)间的关系为： 令n-m=k，代入此式可得 1.1 序列1.1 序列（3）矩形序列RN(n) 1.1 序列1.1 序列RN(n)和δ(n)、u(n)的关系为: 1.1 序列1.1 序列（4）实指数序列 式中，a为实数。当|a|<1 时，序列是收敛的; 而当|a|>1时，序列是发散的。a为负数时，序列是摆动的。 1.1 序列1.1 序列（5） 正弦型序列  式中: A为幅度; φ为起始相位; ω0为数字域的频率，它反映了 序列变化的速率。 1.1 序列1.1 序列（6） 复指数序列 序列值为复数的序列称为复指数序列。 复指数序列的每个值具有实部和虚部两部分。 复指数序列是最常用的一种复序列： 或 式中，ω0是复正弦的数字域频率。 1.1 序列1.1 序列（7）因果序列、反因果序列1.1 序列因果序列反因果序列1.1 序列4、序列的周期性 如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足 则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。 现在讨论上述正弦序列的周期性。  由于 则 1.1 序列1.1 序列1.1 序列1.1 序列 下面，我们来进一步讨论，如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的，那么，采样时间间隔T和连续正弦信号的周期之间应该是什么关系才能使所得到的采样序列仍然是周期序列呢？ 1.1 序列1.1 序列设连续正弦信号xa(t)为 这一信号的频率为f0，角频率Ω0=2πf0，信号的周期为T0=1/f0=2π/Ω0。  如果对连续周期信号xa(t)进行采样，其采样时间间隔为T， 采样后信号以x(n)表示，则有 如果令ω0为数字域频率，满足 1.1 序列1.1 序列式中, fs是采样频率。可以看出，ω0是一个相对频率，它是连续正弦信号的频率f0对采样频率fs的相对频率乘以2π，或说是连续正弦信号的角频率Ω0对采样频率fs的相对频率。用ω0代替Ω0T， 可得 这就是我们上面讨论的正弦型序列。 1.1 序列1.1 序列 下面我们来看2π/ω0与T及T0的关系，从而讨论上面所述正弦型序列的周期性的条件意味着什么？ 这表明，若要2π/ω0为整数，就表示连续正弦信号的周期T0应为采样时间间隔T的整数倍；若要2π/ω0为有理数，就表示T0与T是互为互素的整数，且有 (1-13)式中，k和N皆为正整数，从而有 即N个采样间隔应等于k个连续正弦信号的周期。 1.1 序列1.2 z变换及其收敛域1.2 z变换及其收敛域§1.2 z变换及其收敛域 1、z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义如下 2、z变换的收敛域 例 ： 求单位阶跃序列的z变换 这是一个 的无穷几何级数，当 时，级数收敛，可以用封闭形式表示。 1.2 z变换及其收敛域1.2 z变换及其收敛域 对于任意序列来讲，z变换都可以写成级数形式，但只有在收敛域内才可以写成封闭形式，z变换才有意义。 级数收敛的充要条件是满足绝对可和，即 满足此不等式的z的范围成为 的收敛域。 1.2 z变换及其收敛域1.2 z变换及其收敛域3、不同形式序列z变换的收敛域 （1）有限长序列：如果序列取非零值的区间是有限长的，称该序列为有限长序列。① n1 ＜0, n2 ≤0, ② n1 ＜0, n2 ＞0, ③ n1 ≥0, n2 ＞0, 收敛域为： 0≤|z|＜∞； 收敛域为： 0＜|z|＜∞； 收敛域为： 0＜|z|≤∞。1.2 z变换及其收敛域1.2 z变换及其收敛域3、不同形式z变换的收敛域 （2）右边序列：序列在n≥n1时，序列值不全为0，而在n ＜ n1时，序列值全为0的序列。1.2 z变换及其收敛域1.2 z变换及其收敛域结论：0≤|z|＜∞1.2 z变换及其收敛域1.2 z变换及其收敛域3、不同形式z变换的收敛域 （3）左边序列：1.2 z变换及其收敛域1.2 z变换及其收敛域结论：1.2 z变换及其收敛域1.2 z变换及其收敛域3、不同形式z变换的收敛域 （4）双边序列：结论：双边序列的收敛域为一环形区域1.2 z变换及其收敛域1.2 z变换及其收敛域4、常用序列z变换 （1）单位脉冲序列（2）单位阶跃序列（3）（3）（4）（4）（5）（5）（6）（6）null1.2 z变换及其收敛域1.2 z变换及其收敛域小结： (1) 收敛域中无极点，收敛域一般以极点为边界。 (2) 有限长序列Z变换的收敛域是整个z平面，特殊点z=0, ∞另外考虑。 (3) 右序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆外，特殊点z=∞另外考虑。 (4) 左序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆内，特殊点z=0另外考虑。 (5) 双边序列Z变换的收敛域是环状域。 (6) 特殊点的考虑： 序列x(n)的n值全部取正整数，收敛域包含z=∞点，例如因果序列的Z变换的收敛域包含z=∞点； 序列x(n)的n值全部取负整数，收敛域包含z=0点。除了上面两种情况以外，也就是说, n的取值既有正整数，也有负整数时，收敛域不包括z=0, ∞两点。1.3 z反变换1.3 z反变换§1.3 z反变换 1、长除法（幂级数展开法） 1.3 z反变换1.3 z反变换1.3 z反变换1.3 z反变换2、留数定理法（围线积分法）2、留数定理法（围线积分法） 根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即 而 其中围线c是在X(z)的环状 收敛域内环绕原点的一条 反时针方向的闭合单围线。null 利用留数定理求围线积分，令 若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：1.3 z反变换1.3 z反变换留数定理规则： 1.3 z反变换1.3 z反变换留数定理的补充定理： 设被积函数用 表示， 在z平面上有 个极点， 在收敛域内的封闭曲线c将z平面 上极点分成两部分： 一部分是c内极点， 设有 个极点， 用 表示； 另一部分是c外极点， 有 个，用 表示。 根据留数辅助定理下式成立： 条件： 的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上。 1.3 z反变换1.3 z反变换1.3 z反变换1.3 z反变换3、部分分式展开法 1.3 z反变换1.3 z反变换3、部分分式展开法 1.3 z反变换1.3 z反变换1.4 z变换的性质和定理1.4 z变换的性质和定理§1.4 z变换的性质和定理 1、线性性质 1.4 z变换的性质和定理1.4 z变换的性质和定理2、序列的移位 3、乘以指数序列 1.4 z变换的性质和定理1.4 z变换的性质和定理4、 的微分 5、 的积分 1.4 z变换的性质和定理1.4 z变换的性质和定理6、复序列的共轭 7、时间反向 1.4 z变换的性质和定理1.4 z变换的性质和定理8、初值定理 9、终值定理 初值定理的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 终值定理的证明 1.4 z变换的性质和定理1.4 z变换的性质和定理10、序列的卷积 1.4 z变换的性质和定理1.4 z变换的性质和定理11、序列的乘积（复卷积定理） 1.4 z变换的性质和定理1.4 z变换的性质和定理1.4 z变换的性质和定理1.4 z变换的性质和定理12、帕斯维尔定理 1.5 差分方程的解法1.5 差分方程的解法§1.5 差分方程的解法 1、序列的差分及差分方程 1.5 差分方程的解法1.5 差分方程的解法差分方程： 差分方程的阶： 常系数差分方程： 线性差分方程： 齐次差分方程： 线性常系数差分方程常用来表征一个线性时不变系统。 1.5 差分方程的解法1.5 差分方程的解法2、差分方程的解法 （1）数值递推法 1.5 差分方程的解法1.5 差分方程的解法（2）z变换法 1.5 差分方程的解法1.5 差分方程的解法