海南省海南中学2020学年高二数学上学期期中试题

PAGE海南中学2020学年第一学期期中考试 高二数学 高二数学测试卷高二数学期末检测试题高二数学复数测试题下学期第一次月考试题高二数学上教学计划 试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 卷（考试范围：选修2—1）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1、若命题p：，则命题为（）A.不存在B.C.D.2、“”是“直线和直线互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、已知椭圆C的方程为，则椭圆C的离心率为（）A.B.C.D.4、已知向量＝(0,1,-1)，＝（2,1,0），且+k与2互相垂直，则k的值为()A.1B.-1C.D.5、已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上，且M⊥x轴，则到直线M的距离为（）A.B.C.D.6、已知四面体ABCD的各棱长均为1，E、F、G分别是BC、AD、DC的中点，则的值为（）A.0B.1C.D.7、在正方体中，E是AB的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.8、已知点P是抛物线上的一个动点，设点P到y轴的距离为d，点A(3,4)，则|PA|+d的最小值为（）A．3B．C．D．9、在直三棱柱中，已知AB=AC=1，，，M、N、分别是、AC的中点，则直线MN与所成角的余弦值为()A.B.C.D.10、已知双曲线的两条渐近线均和圆C：相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为（）A.B.C.D.11、在三棱锥P-ABC中，已知AB=AC=BC=2，PA=4，且PA底面ABC，若点D满足：，则二面角P-AC-D的余弦值为（）A.B.C.D.12、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A.B.C.D.二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分。)13、若命题是真命题，则实数的取值范围是.14、若双曲线的一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，则双曲线的渐近线方程为.15、已知长方体中，，E为CD的中点，则点到平面的距离为.16、若椭圆的焦点在x轴上，过点P(1,2)作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是.解答题：(本题共6小题，共70分。)17、（10分）已知双曲线.（1）求该双曲线的焦点坐标，离心率，渐近线方程；（2）已知抛物线的准线过该双曲线的焦点，求抛物线方程．18.（12分）长方体中，，（1）求直线与所成角；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（12分）若直线与椭圆相交，求的范围；（2）当截得弦长最大时，求的值，并求出最大弦长值。20、（12分）如图，四边形为矩形，且，，为上的动点．当为的中点时，求证：；（2）设，在线段上存在这样的点，使得二面角的平面角大小为，试确定点的位置．21、（12分）如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，，，，点在线段上且不与重合。（1）当点是中点时，求证：//平面；（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.22、(12分)给定椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为eq\r(a2＋b2)的圆是椭圆C的“海中圆”．若椭圆C的一个焦点为F(eq\r(2)，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为eq\r(3).(1)求椭圆C的方程和其“海中圆”方程；(2)点P是椭圆C的“海中圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点．求证：l1⊥l2.海南中学2020学年第一学期期中考试高二数学试题参考答案选择题DCCABADBDBAC填空题13、14、15、16、三、解答题17、（满分：10分）已知双曲线.（1）求该双曲线的焦点坐标，离心率，渐近线方程；（2）已知抛物线的准线过该双曲线的焦点，求抛物线方程．【答案】解：，.......................................2分焦点坐标为和，.......................................3分离心率为，.......................................4分渐近线方程为........................................5分（2），，.......................................8分所以抛物线方程为或........................................10分【解析】本题考查双曲线，抛物线的 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方程与几何性质．由题可得，进而得出双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；根据已知可得，求得抛物线中的参数p，进而求出抛物线的方程．18.（满分：12分）长方体中，，（1）求直线与所成角；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，.......................................2分，，.......................................4分，.......................................5分，即直线与所成角为。.......................................6分设平面的法向量．则.......................................8分所以，即，可取，.......................................10分则.......................................11分直线与平面所成角的正弦为．.......................................12分【解析】本题考查线线角，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键．（1）建立空间直角坐标系，求出直线与的方向向量，利用向量的夹角公式，即可求直线与所成角；（2）求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线与平面所成角的正弦.19.若直线与椭圆相交，（1）求的范围；（2）当截得弦长最大时，求的值，并求出最大弦长值。解：由消去得：，......................................2分，.......................................3分（1）若直线与椭圆相交，则，............4分所以，的范围为。.......................................6分设直线被椭圆截得的弦长为，则，.......................................8分即=，.......................................10分所以当时弦长最大，最大值为.......................................12分【解析】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长公式。20、如图，四边形为矩形，且，，为上的动点．当为的中点时，求证：；（2）设，在线段上存在这样的点，使得二面角的平面角大小为，试确定点的位置．【答案】证明：以为原点，所在直线为，建立空间直角坐标系，如图........................................1分不妨设则，，.............................2分从而，,................4分于是，........5分所以，所以.......................................6分解：设，则则.......................................7分向量为平面的一个法向量设平面的法向量为，则应有即解之得令则从而.......................................10分依题意=，即，解之得（舍去）所以点E在线段BC上距B点的处.......................................12分【解析】建立空间直角坐标系，设，用坐标 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示点与向量，证明，即可证；设，求得向量为平面AED的一个法向量，平面PDE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．本题考查线面垂直，考查面面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，建系设点是关键．21．（12分）如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，，，，点在线段上且不与重合。（1）当点是中点时，求证：//平面；（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.解：（1）以分别为轴建立空间直角坐标系.......................................1分则.......................................3分的一个法向量.......................................4分，。即.......................................5分（2）依题意设，设面的法向量则，.......................................7分令，则，面的法向量.........................8分，解得.............................10分为EC的中点，，到面的距离.......................................12分(12分)给定椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为eq\r(a2＋b2)的圆是椭圆C的“海中圆”．若椭圆C的一个焦点为F(eq\r(2)，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为eq\r(3).(1)求椭圆C的方程和其“海中圆”方程；(2)点P是椭圆C的“海中圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点．求证：l1⊥l2.解：(1)因为c＝eq\r(2)，a＝eq\r(3)，所以b＝1，所以椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1，“海中圆”的方程为x2＋y2＝4...............................4分(2)①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x＝eq\r(3)或x＝－eq\r(3).........5分当l1方程为x＝eq\r(3)时，此时l1与“海中圆”交于点(eq\r(3)，1)，(eq\r(3)，－1)，此时经过点(eq\r(3)，1)(或(eq\r(3)，－1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1(或y＝－1)，即l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为x＝－eq\r(3)时，直线l1，l2垂直．.....................8分②当l1，l2都有斜率时，设点P(x0，y0)，其中xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，设经过点P(x0，y0)，与椭圆只有一个公共点的直线为y＝t(x－x0)＋y0，则，消去y得到x2＋3[tx＋(y0－tx0)]2－3＝0，即(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0，Δ＝[6t(y0－tx0)]2－4·(1＋3t2)[3(y0－tx0)2－3]＝0，化简得：(3－xeq\o\al(2,0))t2＋2x0y0t＋1－yeq\o\al(2,0)＝0，因为xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，所以有(3－xeq\o\al(2,0))t2＋2x0y0t＋(xeq\o\al(2,0)－3)＝0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程(3－xeq\o\al(2,0))t2＋2x0y0t＋(xeq\o\al(2,0)－3)＝0，所以t1·t2＝－1，即l1，l2垂直．.....................12分