初中几何练习 平面几何100题1-60

1、设𝑰是△𝑨𝑩𝑪的内心，𝑫是边𝑩𝑪上的一点，𝑬是𝑩𝑪延长线上一点，且满足𝑩𝑫𝑫𝑪=𝑩𝑬𝑬𝑪.设𝑯是𝑫到直线𝑰𝑬的垂足， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：∠𝑨𝑯𝑬=∠𝑰𝑫𝑬.HEIBCAD2、设𝑶、𝑯分别是△𝑨𝑩𝑪的外心和垂心，点𝑨关于直线𝑶𝑯的对称点是𝑷，点𝑷和点𝑨不在直线𝑩𝑪的同侧，𝑬、𝑭分别在𝑨𝑩和𝑨𝑪上，满足𝑩𝑬=𝑷𝑪，𝑪𝑭=𝑷𝑩，直线𝑨𝑷、𝑶𝑯相交于点𝑲，证明：𝑬𝑲⊥𝑭𝑲.KFEPHOABC3、设正△𝑨𝑩𝑪的外接圆和内切圆分别是𝜞、𝝎，𝑷为𝝎上一动点，𝑷𝟏、𝑷𝟐、𝑷𝟑分别为𝑷在𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩上的射影，圆𝝎𝟏、𝝎𝟐、𝝎𝟑分别与𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩切于𝑷𝟏、𝑷𝟐、𝑷𝟑且与𝜞内切（它们的圆心与𝑨、𝑩、𝑪分别在𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩的异侧）.证明：圆𝝎𝟏、𝝎𝟐、𝝎𝟑两两外公切线的长度之和是一个定值.P1P3P2CBAP4、设正△𝑨𝑩𝑪内接于⊙𝑶，𝑬、𝑭分别是𝑨𝑪，𝑩𝑪上一点，使得𝑨𝑬=𝟐𝑪𝑬，𝑩𝑭=𝟐𝑪𝑭.𝑷为⊙𝑶上的一点，𝑷𝑫⊥𝑬𝑭于𝑫，交𝑨𝑩于𝑲，作𝑷𝑺⊥𝑩𝑪于𝑺，连接𝑺𝑲并交𝑨𝑶于𝑻.证明：𝑫𝑺=𝑫𝑻.TOSKDFECBAP5、设𝑬、𝑭分别位于△𝑨𝑩𝑪的𝑨𝑪，𝑨𝑩边上，𝑩𝑬、𝑪𝑭交于𝑫，△𝑨𝑬𝑭的外接圆交△𝑨𝑩𝑪的外接圆于点𝑨、𝑷，△𝑨𝑬𝑭的外接圆在𝑨处的切线交△𝑨𝑩𝑪于𝑨、𝑸两点，设𝑵、𝑴分别为𝑨𝑸、𝑩𝑪的中点.证明：∠𝑨𝑷𝑫=∠𝑴𝑵𝑸.NQPMDBCAEF6、已知△𝑨𝑩𝑪的外心为𝑶，𝑨′、𝑩′、𝑪′分别是边𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩上的点，且满足𝑨、𝑩′、𝑪′、𝑶共圆，𝑪、𝑨′、𝑩′、𝑶共圆.以𝑩′为圆心，𝑩′𝑪为半径的圆和以𝑪′为圆心，𝑩𝑪′为半径的圆的根轴为𝒍𝒂.类似定义𝒍𝒃、𝒍𝒄.证明：直线𝒍𝒂、𝒍𝒃、𝒍𝒄交出的三角形垂心与△𝑨𝑩𝑪的垂心重合.lclblaHA'B'C'OBCA7、设凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫顶点不共圆，记点𝑨在直线𝑩𝑪、𝑩𝑫、𝑪𝑫上的射影分别为𝑷、𝑸、𝑹，其中𝑷、𝑸分别在𝑩𝑪、𝑩𝑫内，𝑹在𝑪𝑫的延长线上.记点𝑫在直线𝑨𝑪、𝑩𝑪、𝑨𝑩上的射影分别为𝑿、𝒀、𝒁，其中𝑿、𝒀分别在线段𝑨𝑪、𝑩𝑪内，𝒁在𝑩𝑨的延长线上，设△𝑨𝑩𝑫的垂心为𝑯，证明：𝑩𝑯的中点在△𝑷𝑸𝑹外接圆和△𝑿𝒀𝒁外接圆的根轴上.HXYZQPRBCDA8、在圆内接四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中，𝑨𝑩>𝑩𝑪，𝑨𝑫>𝑫𝑪，𝑰、𝑱分别为△𝑨𝑩𝑪、△𝑨𝑫𝑪的内心.以𝑨𝑪为直径的圆与线段𝑰𝑩交于点𝑿、与𝑱𝑫的延长线交于点𝒀.证明：若𝑩、𝑰、𝑱、𝑫四点共圆，则点𝑿、𝒀关于直线𝑨𝑪对称.9、设△𝑨𝑩𝑪的外接圆和内切圆的圆心分别为𝑶、𝑰，点𝑴和点𝑸分别在边𝑨𝑩和𝑨𝑪上，点𝑵和点𝑷分别在边𝑩𝑪上（𝑵在线段𝑩𝑷上），且满足五边形𝑨𝑴𝑵𝑷𝑸的五条边长相等.记点𝑺为直线𝑴𝑵和𝑸𝑷的交点，𝒍为∠𝑴𝑺𝑸的角平分线.证明：𝒍和𝑶𝑰平行.lSNPQIOBCAM10、设△𝑨𝑩𝑪的外心为𝑶，重心为𝑮，过𝑨作𝑶𝑮的平行线并记该直线关于𝑩𝑪的对称直线为𝒍𝒂.类似定义𝒍𝒃、𝒍𝒄.证明：直线𝒍𝒂、𝒍𝒃、𝒍𝒄三线共点.lblclaGOBCA11、凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中，𝑷、𝑸、𝑹、𝑺分别是线段𝑨𝑩、𝑩𝑪、𝑪𝑫、𝑫𝑨上的点.若相交的线段𝑷𝑹、𝑸𝑺把四边形𝑨𝑩𝑪𝑫分为4个四个对角线互相垂直的凸四边形.证明：𝑷、𝑸、𝑹、𝑺四点共圆.DCBPSQRA12、不等腰三角形𝑨𝑩𝑪的外接圆为𝜴，内心为𝑰，射线𝑨𝑰与𝑩𝑪交于𝑫，与𝜴交于除𝑨以外的另一点𝑴，以𝑫𝑴为直径的圆与𝜴交于除𝑴以外的另一点𝑲，直线𝑴𝑲与𝑩𝑪交于点𝑺，设𝑵为𝑰𝑺的中点，𝑳𝟏、𝑳𝟐为△𝑲𝑰𝑫的外接圆与△𝑴𝑨𝑵的外接圆的交点.证明：𝑰𝑳𝟏或𝑰𝑳𝟐的中点在𝜴上.L2L1NSKMDIBAC13、在非等腰△𝑨𝑩𝑪中，𝑫、𝑬、𝑭分别为𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩的中点.过𝑫作△𝑨𝑩𝑪的内切圆的切线（不同于直线𝑩𝑪），交直线𝑬𝑭于点𝑿.类似定义𝒀和𝒁.证明：𝑿、𝒀、𝒁三点共线.YZXEDFBCA14、圆外切四边形𝑨𝑩𝑪𝑫的内切圆⊙𝑰分别切𝑫𝑪、𝑫𝑨于𝑬、𝑭，𝑲为𝑩𝑫上一点，𝑲𝑨、𝑲𝑪分别交⊙𝑰于𝑴、𝑵，𝑴𝑭与𝑵𝑬交于𝑳.证明：𝑳在直线𝑩𝑫上.LNMEFIACBDK15、四边形𝑨𝑩𝑪𝑫内接于⊙𝑶，∠𝑨、∠𝑪的角平分线相交于点𝑰，∠𝑩、∠𝑫的角平分线相交于点𝑱，直线𝑰𝑱不经过点𝑶，且与边𝑨𝑩、𝑪𝑫的延长线分别交于点𝑷、𝑹，与边𝑩𝑪、𝑫𝑨分别交于点𝑸、𝑺.线段𝑷𝑹、𝑸𝑺的中点分别为𝑴、𝑵.证明：𝑶𝑴⊥𝑶𝑵.NMQSRPJIOBACD16、在圆内接四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中，𝑴、𝑵分别是线段𝑩𝑪、𝑨𝑫的中点，对角线𝑨𝑪、𝑩𝑫交于点𝑬.𝑷是边𝑩𝑪上的点，满足𝑷𝑩𝑷𝑪=(𝑩𝑫𝑨𝑪)𝟐.设𝑬在𝑷𝑵上的投影是𝑯，证明：△𝑩𝑬𝑪的外接圆与△𝑴𝑷𝑯的外接圆相切.HNMPEABCD17、圆内接四边形𝑨𝑩𝑪𝑫的对角线相交于𝑷，存在一个圆𝜞与𝑨𝑩、𝑩𝑪、𝑨𝑫、𝑫𝑪的延长线切于点𝑿、𝒀、𝒁、𝑻.过𝑨、𝑩的圆𝜴与圆𝜞外切于𝑺.证明：𝑺𝑷⊥𝑺𝑻.ZPTSXYCBDA18、对于平面上的凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫，设直线𝒍交直线𝑨𝑩于𝑿，交直线𝑪𝑫于𝑿′，交直线𝑩𝑪于𝒀，交直线𝑫𝑨于𝒀′，交直线𝑨𝑪于𝒁，交直线𝑩𝑫于𝒁′.已知以上六点在𝒍上按照𝑿、𝒀、𝒁、𝑿′、𝒀′、𝒁′的顺序排列.证明：以𝑿𝑿′、𝒀𝒀′、𝒁𝒁′为直径的三个圆共点.ZX'Y'Z'ABCDXY19、设𝑶是三角形𝑨𝑩𝑪的外心，𝑫是𝑨𝑩上一点，作与⊙𝑶内切，与线段𝑪𝑫、𝑩𝑫相切的⊙𝑰；作与⊙𝑶内切，与线段𝑪𝑫、𝑨𝑫相切的⊙𝑱.证明：若𝑨、𝑩、𝑰、𝑱四点共圆，则𝑫是三角形𝑨𝑩𝑪中的∠𝑨𝑪𝑩内旁切圆在𝑨𝑩上的切点.DCABIJ20、设⊙𝑶𝟏与⊙𝑶𝟐交于𝑷、𝑸两点，过𝑷作两条割线𝑨𝑩、𝑪𝑫，过𝑸作两条平行割线𝑨′𝑩′、𝑪′𝑫′，取△𝑷𝑨𝑪、△𝑷𝑩𝑫、△𝑸𝑩′𝑫′、△𝑸𝑨′𝑪′的九点圆圆心𝑭𝟏、𝑭𝟐、𝑭𝟑、𝑭𝟒.证明：四边形𝑭𝟏𝑭𝟐𝑭𝟑𝑭𝟒是矩形.F4F3F2F1D'C'B'A'DBQPAC21、设⊙𝑶是四边形𝑨𝑩𝑪𝑫的内切圆.𝑨𝑪、𝑩𝑫交于𝑷，𝑰、𝑱分别是△𝑨𝑩𝑪、△𝑨𝑫𝑪的内心，𝑶𝑷，𝑰𝑱交于𝑲，𝑻是𝑲在𝑩𝑫上的射影.证明：𝑰、𝑱、𝑷、𝑻四点共圆.TKJIPCABD22、设𝑶、𝑰𝑩、𝑰𝑪分别是锐角三角形𝑨𝑩𝑪的外接圆圆心，∠𝑩内的旁切圆圆心和∠𝑪内的旁切圆圆心.在𝑨𝑪边上取点𝑬和𝒀，使得∠𝑨𝑩𝒀=∠𝑪𝑩𝒀，𝑩𝑬⊥𝑨𝑪，在𝑨𝑩边上取点𝑭和𝒁，使得∠𝑨𝑪𝒁=∠𝑩𝑪𝒁，𝑪𝑭⊥𝑨𝑩，直线𝑰𝑩𝑭和𝑰𝑪𝑬交于点𝑷.证明：𝑷𝑶⊥𝒀𝒁.PFYZEIBICOABC23、四边形𝑨𝑩𝑪𝑫内接于⊙𝑶，𝑨𝑪、𝑩𝑫交于点𝑷，直线𝑨𝑩、𝑪𝑫交于点𝑸.𝑲是𝑷在𝑸𝑶上的射影，𝑲𝑷、𝑩𝑪交于𝑿，𝑴是𝑩𝑪的中点，𝑷′是𝑷关于𝑩𝑪的对称点，𝑲′是𝑲关于𝑴的对称点.𝑷′𝑲′分别交𝑩𝑪于𝒀，交𝑲𝑷于𝒁.证明：△𝑿𝒀𝒁的外接圆与△𝑸𝑩𝑪的外接圆相切.ZYK'P'MXKPQOABCD24、对边不平行的凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中，𝑩𝑨延长线与𝑪𝑫延长线交于点𝑬，𝑨𝑫延长线与𝑩𝑪延长线交于点𝑭，𝑲是△𝑪𝑫𝑭的外接圆与△𝑨𝑫𝑬的外接圆的交点(𝑲≠𝑫).设∠𝑩𝑨𝑫、∠𝑨𝑩𝑪、∠𝑩𝑪𝑫、∠𝑨𝑫𝑪的外角平分线分别为𝒍𝑨、𝒍𝑩、𝒍𝑪、𝒍𝑫，𝒍𝑨和𝒍𝑩、𝒍𝑩和𝒍𝑪、𝒍𝑪和𝒍𝑫、𝒍𝑫和𝒍𝑨分别交于点𝑮、𝑯、𝑰、𝑱.△𝑪𝑫𝑭的外接圆中，弧𝑫𝑭（不含𝑪）的中点为𝑸，直线𝑬𝑯与△𝑨𝑬𝑫的外接圆交于另一点𝑴.设𝑮𝑱中垂线与𝑰𝑯中垂线（不重合）交于点𝑷.证明：𝑷、𝑴、𝑸、𝑲四点共圆.MPIGJHQKFEBCAD25、设𝑫是△𝑨𝑩𝑪外接圆⊙𝑶上任意一点，过𝑫作⊙𝑶的切线𝒍.证明：𝒍关于△𝑨𝑩𝑪三边对称的直线围成的三角形的外接圆与⊙𝑶相切.BCAD26、设𝑶为△𝑨𝑩𝑪内一点，𝑶在𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩上的射影分别为𝑼、𝑽、𝑾.𝑿、𝒀、𝒁分别在𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩上，𝑿′、𝒀′、𝒁′分别是𝑿关于𝑼、𝒀关于𝑽，𝒁关于𝑾的对称点，点𝑿、𝒀、𝒁关于△𝑨𝑩𝑪的密克点为𝑺，点𝑿′、𝒀′、𝒁′关于△𝑨𝑩𝑪的密克点为𝑻.证明：𝑶𝑺=𝑶𝑻.TX'OUSZ'Y'WVABCYXZ27、点𝑫、𝑬、𝑭分别在△𝑨𝑩𝑪的边𝑨𝑩、𝑩𝑪、𝑪𝑨上，满足𝑨𝑫+𝑨𝑭=𝑩𝑪、𝑩𝑫+𝑩𝑬=𝑨𝑪、𝑪𝑬+𝑪𝑭=𝑨𝑩.△𝑨𝑫𝑭、△𝑩𝑫𝑬、△𝑪𝑬𝑭的外接圆与△𝑨𝑩𝑪外接圆的另一个交点分别为𝑨𝟏、𝑩𝟏、𝑪𝟏，𝑷是𝑫、𝑬、𝑭关于△𝑨𝑩𝑪的密克点，证明：𝑷为△𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏的垂心.PC1B1A1EFABCD28、设𝑨𝑨′、𝑩𝑩′、𝑪𝑪′是锐角△𝑨𝑩𝑪的外接圆的三条直径，𝑷为△𝑨𝑩𝑪内任意一点，点𝑷在𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩上的射影分别是𝑫、𝑬、𝑭，𝑿、𝒀、𝒁分别是𝑨′关于𝑫、𝑩′关于𝑬，𝑪′关于𝑭的对称点.证明：△𝑿𝒀𝒁∽△𝑨𝑩𝑪.ZYXC'B'A'FEDAPBC29、设𝑯是锐角△𝑨𝑩𝑪的外接圆的垂心，𝑷是外接圆弧𝑩𝑪上一点，连接𝑷𝑯交弧𝑨𝑪于𝑴，弧𝑨𝑩上一点𝑲满足直线𝑲𝑴平行于点𝑷关于△𝑨𝑩𝑪的西姆松线，设𝑸为外接圆上一点满足𝑸𝑷∥𝑩𝑪.记弦𝑲𝑸交边𝑩𝑪于点𝑱.证明：𝑲𝑱=𝑴𝑱.JKMQHABCP30、设△𝑨𝑩𝑪的内切圆⊙𝑰分别切𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩于点𝑫、𝑬、𝑭，延长𝑬𝑰交𝑫𝑭于𝑮，𝑩𝑬、𝑪𝑭交⊙𝑰于另外的点𝑿、𝒀.设𝑱为△𝑨𝑬𝑭外接圆的另一个交点，△𝑿𝑱𝑰外接圆与⊙𝑰的另一个交点为𝑺，𝑻在⊙𝑰上满足𝑻𝑺⊥𝑨𝑰，连接𝒀𝑻、𝑿𝑺交于𝑷，直线𝑫𝑷与⊙𝑰的另一个交点为𝑸.证明：𝑲𝑸是⊙𝑰的直径.KQPTSYXJGFEDIABC31、在△𝑨𝑩𝑪中，内切圆⊙𝑰分别切𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩于点𝑫、𝑬、𝑭，𝑴、𝑵分别是𝑨𝑩、𝑨𝑪的中点，𝑬𝑭、𝑴𝑵交于𝑺，𝑫𝑺与⊙𝑰的另一个交点为𝑱.证明：𝑱在△𝑨𝑩𝑪的九点圆上.JSNMEFDIABC32、过△𝑨𝑩𝑪内心𝑰任作一直线𝒍，内切圆分别切𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩于点𝑿、𝒀、𝒁，边𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩的中点分别为𝑫、𝑬、𝑭，直线𝒍分别交△𝑩𝑰𝑪外接圆、△𝑪𝑰𝑨外接圆、△𝑨𝑰𝑩外接圆于另一点𝑫′、𝑬′、𝑭′，过点𝑿、𝒀、𝒁分别作平行于𝑫𝑫′、𝑬𝑬′、𝑭𝑭′的直线𝒍𝟏、𝒍𝟐、𝒍𝟑.证明：直线𝒍𝟏、𝒍𝟐、𝒍𝟑交于一点.F'E'D'DFEZYXIABC33、已知△𝑨𝑩𝑪的外接圆为⊙𝑶，𝑨′为点𝑨在⊙𝑶上的对径点.作等边△𝑩𝑪𝑫，使得𝑨、𝑫位于𝑩𝑪的异侧，过点𝑨′作𝑨′𝑫的垂线，分别与𝑨𝑪、𝑨𝑩交于𝑬、𝑭两点.以𝑬𝑭为底，作底角为𝝅𝟔的等腰△𝑬𝑻𝑭，并使得𝑨、𝑻位于𝑩𝑪的异侧.证明：𝑨𝑻经过△𝑨𝑩𝑪的九点圆圆心.TEFDA'ABC34、设△𝑨𝑩𝑪的内切圆⊙𝑰与边𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩分别切于点𝑫、𝑬、𝑭，记⊙𝑰𝑩、⊙𝑰𝑪分别为△𝑨𝑩𝑪的顶点𝑩、𝑪所对的旁切圆，𝑷、𝑸分别为𝑰𝑩𝑬，𝑰𝑪𝑭的中点，若𝑫𝑬、𝑫𝑭与𝑰𝑩𝑰𝑪交于点𝑲、𝑱，𝑬𝑱与𝑭𝑲交于点𝑴，𝑷𝑬与△𝑷𝑨𝑪的外接圆交于另一点𝑿，𝑸𝑭与△𝑸𝑨𝑩的外接圆交于另一点𝒀.证明：𝑩𝒀、𝑪𝑿、𝑨𝑴三线共点.MKYXJQPFEIBICDIABC35、已知凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫内两动点𝑷、𝑸满足∠𝑨𝑷𝑩=∠𝑨𝑸𝑩=∠𝑪𝑷𝑫=∠𝑪𝑸𝑫.证明：动直线𝑷𝑸要么均经过一个定点，要么相互平行.36、在凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中，∠𝑨𝑩𝑪=∠𝑨𝑫𝑪<𝝅𝟐，∠𝑨𝑩𝑪、∠𝑨𝑫𝑪的平分线交于点𝑷，并分别与𝑨𝑪交于点𝑬、𝑭，𝑴为𝑨𝑪的中点，𝑩𝑴、𝑫𝑴与△𝑩𝑫𝑷的外接圆分别交于另一点𝑿、𝒀，𝑬𝑿与𝑷𝒀交于点𝑸.证明：𝑨𝑪⊥𝑷𝑸.QYXPMEABCD37、凸六边形𝑨𝟏𝑨𝟐𝑨𝟑𝑨𝟒𝑨𝟓𝑨𝟔满足𝑨𝟏𝑨𝟐=𝑨𝟑𝑨𝟒=𝑨𝟓𝑨𝟔，𝑨𝟐𝑨𝟑=𝑨𝟒𝑨𝟓=𝑨𝟔𝑨𝟏，点𝑿、𝒀在凸六边形内部且不重合，点𝑿在𝑨𝟏𝑨𝟐、𝑨𝟑𝑨𝟒、𝑨𝟓𝑨𝟔上的投影分别为𝑿𝟏、𝑿𝟐、𝑿𝟑，点𝒀在𝑨𝟐𝑨𝟑、𝑨𝟒𝑨𝟓、𝑨𝟔𝑨𝟏上的投影分别为𝒀𝟏、𝒀𝟐、𝒀𝟑，且满足𝑿𝑿𝟏=𝑿𝑿𝟐=𝑿𝑿𝟑，𝒀𝒀𝟏=𝒀𝒀𝟐=𝒀𝒀𝟑.设△𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝟑、△𝒀𝟏𝒀𝟐𝒀𝟑的欧拉线分别为𝒍𝟏、𝒍𝟐，证明：𝒍𝟏∥𝒍𝟐.Y1Y3Y2YX3X1X2XA4A2A6A3A538、已知凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫内接于⊙𝑶，⊙𝑰切𝑨𝑪、𝑩𝑫及⊙𝑶，𝑬为弧𝑩𝑪的中点，𝑨𝑬与𝑩𝑫相交于点𝑴，𝑫𝑬与𝑨𝑪相交于点𝑵.证明：△𝑬𝑴𝑵外接圆与⊙𝑰相切.NMEABCDI39、锐角△𝑨𝑩𝑪中𝑩𝑪>𝑨𝑪>𝑨𝑩，𝑰、𝑶、𝑯分别为其内心、外心、垂心，𝑫、𝑬分别在𝑩𝑪、𝑨𝑪上使𝑨𝑬=𝑩𝑫，𝑪𝑫+𝑪𝑬=𝑨𝑩.记𝑲为𝑩𝑬与𝑨𝑫交点，证明：𝑲𝑯=𝟐𝑰𝑶.KEDOHIABC40、在锐角△𝑨𝑩𝑪中，𝑨𝑩>𝑨𝑪，设𝜞为其外接圆，𝑯为垂心，𝑭为由顶点𝑨处所引高的垂足，𝑴为边𝑩𝑪的中点.𝑸、𝑲为圆𝜞上的点，使得∠𝑯𝑸𝑨=∠𝑯𝑲𝑸=𝝅𝟐.若点𝑨、𝑩、𝑪、𝑲、𝑸互不相同，且按此顺序排列在𝜞上，证明：△𝑲𝑸𝑯的外接圆与△𝑭𝑲𝑴的外接圆相切.KQFHMABC41、设△𝑨𝑩𝑪内接于⊙𝑶，过𝑨作⊙𝑶的切线交𝑩𝑪于𝑻，𝑮为△𝑨𝑩𝑪的重心，直线𝑻𝑮分别交𝑨𝑩、𝑨𝑪于𝑬、𝑭，𝑨𝑮交⊙𝑶于𝑲，证明：𝑨𝑲平分∠𝑬𝑲𝑭.KFEGTOABC42、在凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中，𝑨𝑩≠𝑩𝑪，𝝎𝟏和𝝎𝟐分别是△𝑨𝑩𝑪和△𝑨𝑫𝑪的内切圆.已知存在一个圆𝝎与射线𝑩𝑨相切（切点不在线段𝑩𝑨上），与射线𝑩𝑪相切（切点不在线段𝑩𝑪上），且与直线𝑨𝑫和直线𝑪𝑫都相切.证明：圆𝝎𝟏和𝝎𝟐的两条外公切线的交点在圆𝝎上.CBDA43、𝑷为△𝑨𝑩𝑪内一点，𝑳、𝑴、𝑵分别为边𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩的中点，且𝑷𝑳∶𝑷𝑴∶𝑷𝑵=𝑩𝑪∶𝑪𝑨∶𝑨𝑩.延长𝑨𝑷、𝑩𝑷、𝑪𝑷分别交△𝑨𝑩𝑪的外接圆于点𝑫、𝑬、𝑭.证明：△𝑨𝑷𝑭、△𝑨𝑷𝑬、△𝑩𝑷𝑭、△𝑩𝑷𝑫、△𝑪𝑷𝑫、△𝑪𝑷𝑬的外接圆圆心六点共圆.FEDPNMLBCA44、给定△𝑨𝑩𝑪，求线段𝑩𝑪上满足下列条件的所有点𝑷：如果𝑿、𝒀是直线𝑷𝑨与△𝑷𝑨𝑩、△𝑷𝑨𝑪外接圆的两条外公切线的交点，则(𝑷𝑨𝑿𝒀)𝟐+𝑷𝑩∙𝑷𝑪𝑨𝑩∙𝑨𝑪=𝟏.YXBCAP45、在凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中，∠𝑨𝑩𝑪=∠𝑪𝑫𝑨=𝝅𝟐，𝑯是𝑨在𝑩𝑫上的射影，边𝑨𝑩上的𝑺和边𝑨𝑫上的𝑻使𝑯在△𝑺𝑪𝑻内部，∠𝑪𝑯𝑺−∠𝑪𝑺𝑩=𝝅𝟐，∠𝑻𝑯𝑪−∠𝑫𝑻𝑪=𝝅𝟐，证明：直线𝑩𝑫和△𝑻𝑺𝑯的外接圆相切.HCABDST46、在△𝑨𝑩𝑪中，⊙𝑶、⊙𝑰分别为其外接圆与内切圆，⊙𝑰与𝑩𝑪切于点𝑫，𝑴为𝑰𝑫中点，𝑨𝟎与𝑨关于点𝑶对称，直线𝑨𝟎𝑴交⊙𝑶于异于点𝑨𝟎的一点𝑿，证明：△𝑨𝑫𝑿的外接圆与直线𝑩𝑪相切.XA0MDIOABC47、已知𝑷是凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫的边𝑨𝑩上的一点，𝝎是△𝑪𝑷𝑫的内切圆，𝑰为其圆心，若𝝎分别与△𝑨𝑷𝑫以及△𝑪𝑷𝑩的内切圆切于点𝑲和𝑳，𝑨𝑪与𝑩𝑫交于点𝑬，𝑨𝑲、𝑩𝑳交于点𝑭.证明：𝑬、𝑰、𝑭共线.FEBALKIDPC48、在锐角△𝑨𝑩𝑪中，𝝎、𝜴、𝑹分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示其内切圆、外接圆及外接圆的半径.圆𝝎𝑨与𝜴内切于点𝑨且与𝝎外切；圆𝜴𝑨与𝜴内切于点𝑨且与𝝎内切.设𝑷𝑨和𝑸𝑨分别是𝝎𝑨和𝜴𝑨的圆心.同样定义𝑷𝑩和𝑸𝑩、𝑷𝑪和𝑸𝑪.证明：8𝑷𝑨𝑸𝑨∙𝑷𝑩𝑸𝑩∙𝑷𝑪𝑸𝑪≤𝑹𝟑ABCPAQAPBQBPCQC49、已知△𝑨𝑩𝑪的垂心为𝑯，外心为𝑶，设𝑨、𝑩、𝑪关于𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩的对称点分别为𝑫、𝑬、𝑭.证明：𝑫、𝑬、𝑭共线当且仅当𝑶𝑯=𝟐𝑹，其中𝑹为△𝑨𝑩𝑪外接圆半径.FEDHOABC50、设∠𝑿𝑨𝒀是一个固定的角，𝑩、𝑪分别是射线𝑨𝑿、𝑨𝒀上的动点，∠𝑿𝑨𝒀内有一动点𝑷满足𝑷𝑨、𝑷𝑩、𝑷𝑪的长度都保持不变.求△𝑨𝑩𝑪面积的最小值.ABCPXY51、设△𝑨𝑩𝑪的内切圆⊙𝑰分别切𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩于𝑫、𝑬、𝑭，𝑲为平面上一点，𝑨𝑲交𝑩𝑪于𝑳，𝑩𝑲交𝑪𝑨于𝑴，𝑪𝑲交𝑩𝑨于𝑵.𝑳𝑼切⊙𝑰于𝑼，𝑴𝑽切⊙𝑰于𝑽，𝑵𝑾切⊙𝑰于𝑾.证明：𝑨𝑼、𝑩𝑽、𝑪𝑾三线共点.UVWLMNDEFIABCK52、设△𝑨𝑩𝑪内接于⊙𝑶，𝑲为弧𝑩𝑨𝑪的中点，𝑱为△𝑨𝑩𝑪中∠𝑩𝑨𝑪内的旁切圆圆心，𝑱𝑲交⊙𝑶于𝑻，𝑴、𝑵分别为𝑨𝑩、𝑨𝑪上一点，使得𝑨𝑴=𝑨𝑵，且𝑴、𝑱、𝑵共线，作△𝑨𝑴𝑵外接圆⊙𝑷，直线𝑩𝑪交⊙𝑷于𝑬、𝑭两点，证明：∠𝑻𝑴𝑵−∠𝑻𝑵𝑴=∠𝑻𝑬𝑱−∠𝑻𝑭𝑱.FEPNMTJKOABC53、设△𝑨𝑩𝑪内接于⊙𝑶，𝑯为△𝑨𝑩𝑪的垂心，𝑫为𝑨𝑯上一点，使得∠𝑩𝑫𝑪=𝝅𝟐，线段𝑩𝑪中垂线交𝑨𝑩、𝑨𝑪于𝑬、𝑭，𝑷为△𝑨𝑬𝑭外心，𝑲为𝑶𝑷上一点，使得𝑶𝑲𝑲𝑷=𝑯𝑫𝑫𝑨，过𝑩、𝑪分别作⊙𝑶的切线相交于𝑻.证明：𝑻𝑲=𝑻𝑩+𝑨𝑲.TKPEFDHOABC54、设𝑲为△𝑨𝑩𝑪内一点，𝑲在𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩上的射影分别为𝑫、𝑬、𝑭，△𝑫𝑬𝑭外接圆⊙𝑷交𝑩𝑪于另一点𝑮，𝑮𝑳⊥𝑬𝑭交⊙𝑷于另一点𝑳，平面上一点𝑱使得四边形𝑱𝑭𝑲𝑬为平行四边形，𝑯为△𝑨𝑩𝑪的垂心.证明：𝑳𝑱平分线段𝑨𝑯.HJLGFEDABCK55、⊙𝑶与⊙𝑷外切于点𝑸，𝑳为两圆的外位似中心，过𝑳的割线𝑨𝑩、𝑪𝑫交两圆于𝑨、𝑩和𝑪、𝑫.𝑴、𝑵分别为𝑩𝑪、𝑨𝑫的中点.证明：𝑸𝑴𝑸𝑵=𝑩𝑪𝑨𝑫.NMCDBLOPQA56、设△𝑨𝑩𝑪内接于⊙𝑶，⊙𝑷内切⊙𝑶于𝑫，分别切𝑨𝑪、𝑩𝑪于𝑬、𝑭两点，⊙𝑸内切⊙𝑶于𝑮，分别切𝑨𝑩、𝑩𝑪于𝑴、𝑵两点，𝑴𝑬、𝑫𝑮交于点𝑳，𝑰为△𝑨𝑩𝑪内心，证明：𝑨𝑳⊥𝑶𝑰.LGNMFEIOABCD57、设△𝑨𝑩𝑪内接于⊙𝑶，∠𝑩𝑨𝑪内的旁切圆为⊙𝑱，分别切𝑩𝑪、𝑨𝑩、𝑨𝑪于𝑫、𝑬、𝑭，𝑭𝑻⊥𝑫𝑬于𝑻，𝑴为𝑫𝑬中点，以𝑫𝑬为直径作⊙𝑴交⊙𝑶于𝑷、𝑸两点，证明：∠𝑷𝑻𝑬=∠𝑸𝑻𝑬.QPMTFEDJOABC58、设𝑫𝟏、𝑫𝟐是等腰△𝑨𝑩𝑪底边𝑩𝑪上两点，满足𝑩𝑫𝟏=𝑪𝑫𝟐，𝑷、𝑸是边𝑩𝑪上相异两点，𝑬、𝑭、𝑺、𝑻分别是𝑫𝟏、𝑫𝟐关于直线𝑨𝑩、𝑨𝑪、𝑨𝑷、𝑨𝑸的光路反射点，证明：𝑬、𝑻、𝑷三点共线当且仅当𝑭、𝑺、𝑸三点共线.TQSFED2ABCD1P59、已知𝑷、𝑸是凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫内部两点，满足∠𝑩𝑨𝑷=∠𝑸𝑨𝑫，∠𝑪𝑩𝑫=∠𝑸𝑩𝑨，∠𝑫𝑪𝑷=∠𝑸𝑪𝑩.证明：√𝑷𝑨∙𝑷𝑪∙𝑸𝑨∙𝑸𝑪+√𝑷𝑩∙𝑷𝑫∙𝑸𝑩∙𝑸𝑫=√𝑨𝑩∙𝑩𝑪∙𝑪𝑫∙𝑫𝑨.QABCDP60、由△𝑨𝑩𝑪的三边向外部作矩形𝑨𝑩𝑨𝟏𝑩𝟐，𝑩𝑪𝑩𝟏𝑪𝟐，𝑪𝑨𝑪𝑨𝟐，定义𝑪′满足𝑪′𝑨𝟏⊥𝑨𝟏𝑪𝟐，𝑪′𝑩𝟐⊥𝑪𝟏𝑩𝟐.类似定义𝑨′、𝑩′两点.证明：𝑨𝑨′、𝑩𝑩′、𝑪𝑪′三线共点.A'B'C'C1B1A1ABCB2C2A2