列车餐饮价格问题

数学与信息科学学院数学建模实训论文 潍坊学院 数学与信息科学学院 数学建模实训论文 实训题目：列车餐饮价格问题 学生姓名、专业、班级： 1、潘甜甜 信息与计算科学 2008级1班 2、李芳芳 信息与计算科学 2008级1班 3、杜晓雨 信息与计算科学 2008级1班 指导教师：王儒智 2010年12月 目录 摘要 2 一、问题重述 3 二、问题分析 3 三、问题假设 3 四、符号说明 3 五、模型建立与求解 4 5．1模型一： 4 5．2模型二： 6 六、模型分析 9 七、参考文献 10 八、附录 10 8．1 附录一： 10 8．2 附录二： 10 摘要 本文通过分析火车上盒饭和方便面的销售情况，对实际火车上快餐销售进行摸拟，根据价格与销售量的关系，运用供求理论建立微分方程模型，求解微分方程，从理论上求解出盒饭和方便面的销售量与价格之间的函数关系。再利用数学公式：效益 销售量 单价 ，计算出火车快餐销售的最大利润。 对于本题，先找出盒饭和方便面销售量与价格之间的函数关系。设 和 分别为价格上涨时，盒饭和方便面的销售量减少率， 和 是盒饭和方便面的成本价，根据微分方程模型，得到盒饭销售量与价格的函数关系： ，同理，亦可得出方便面销售量与价格的函数关系： 。故总收入 为： 由于盒饭和方便面的销售量减少率 和 是未知的，首先假设 和 是固定值，可以根据总收入 的函数公式求出一个最大利润。而根据实际情况，价格较低时，销售量减少率较小；然后随着价格的增大，销售量减少率也增大，直到价格增大到一定程度时，销售量减少率趋于稳定，由此利用一个分段函数表示出价格与销售量减少率之间的关系。根据该分段函数与总收入 的函数，最终确定收入和价格的函数关系： EMBED Equation.3 ，从而得出合适的盒饭价格为12元 ，方便面价格为4.8元，最大利润为310.7元。 关键词：火车快餐、微分方程、供求理论、销售量减少率 一、问题重述 长途列车由于时间漫长，列车需要为旅客提供一天三餐。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。T238次哈尔滨到广州的列车，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。而且列车容量有限，因此提供的用餐量及食品也是有限的，适当提高价格是正常的，但不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。 二、问题分析 根据需求的定义以及我们自然的认识，商品价格越低，人们的需求量越大，因此，我们可以把需求函数近似的看做向右下方倾斜的曲线，也就是价格与需求量之间存在着反向变动的关系，即，在其他条件不变的情况下，需求量随着价格的上升而减少，随着价格的下降而增加。火车提供快餐只是火车的次营业务，因此火车运行商不可能把精力都投放到快餐的供给上来，而且火车车厢容量有限，这样火车快餐供给量基本上是稳定的。但是火车乘客的数量较大，他们对快餐的需求量大大超过了火车快餐的供给量。这样在市场价格情况下，就造成了火车快餐的供不应求。人们对火车快餐的需求量大于其供给量，如果火车快餐保持原价的话，就会出现争抢的局面，而且不利于火车运营商获取超额利润。在这种情况下，火车运营商一方面为了获取超额利润，另一方面为了火车平安稳定的运行，他都要将价格提高。随着价格的慢慢提高，从收入低的旅客们开始慢慢地减少对火车快餐的需求。火车快餐价格提的越高，人们的需求量越小，直到达到供给与需求的均衡点，这样就造成了火车上快餐的价格远远的高于市场上快餐的价格。而选择消费火车快餐的群体一般是那些收入较高或中等收入的群体。 三、问题假设 1、 列车上每餐只提供盒饭和方便面两种食物。 2、 每位乘客每餐只需要一盒盒饭或一袋方便面。 3、 火车快餐每餐的成本 是固定不变的。 四、符号说明 单个盒饭的价格 单袋方便面的价格 盒饭价格上涨时，销售量减少率 方便面价格上涨时，销售量减少率 盒饭价格为 时，每餐盒饭销售量 方便面价格为 时，每餐方便面销售量 总收入 固定成本 五、模型建立与求解 5．1模型一： 因为在火车上，餐饮量不会受到外界太多影响，所以每餐的餐饮销售量不会有太大偏差，所以只考虑一顿饭的总收入；且每餐成本稳定为 ，这样要求最大收益只需考虑一顿饭的最大收入即可。 1、首先找出销售量与价格之间的函数关系： 当盒饭的价格由 上涨到 时，销售量的减少量为 对上式整理得： 当 为盒饭成本价 时，因为此时需求量大于供应量，故而所有的盒饭都卖光，此时 ，于是建立方程组： 解方程组（1.3）得盒饭销售量与价格之间的函数关系： 大体图像如下： 图1盒饭价格与销售量的关系 同理，可以求得方便面销售量与价格之间的关系： 当 为方便面成本价 时， ，于是有： 上式的图像大致为： 图2 方便面价格与销售量的关系 注：（1.4）和（1.6）式中的 和 分别表示盒饭和方便面的成本价，在此假设 ， 。则固定成本 。 2、求出销售量与价格之间的函数关系后再求一顿饭的总收入。 总收入=价格×销售量 将（1.4）和（1.6）式代入（1.7）式得： 要想求总收入 的最大值可以分别求出盒饭、方便面的收入最大值 和 。 对（1.9）和（1.10）式分别求收入对价格的导数： 时 ； 时 当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减，所以 时 达到最大点。同理 时 达到最大点。 由此要确定最大收入，就要知道销售量减少率，求列车快餐的最大收入，可以运用调查问卷的形式来确定销售量减少率 和 的值。 例如：若盒饭销售量减少率 ，则制定盒饭价格 ，此时盒饭收入最大 元；同样方便面销售量减少率 ，则制定方便面价格 ，此时方便面收入最大 元。最大利润=最大收入-固定成本，得最大利润=2923- =2923-2300=623元。 5．2模型二： 由（1.9）和（1.10）式知总收入与快餐的价格及减少率有关。因为不同的消费者对于商品价格的承受能力是不同的，即不同的价格对应的销售量减少率是不同的。所以下面讨论价格与减少率之间的关系。 要确定价格上涨时对销售量减少率的影响，就要考虑消费者的需求和购买行为及价格上涨时消费者的承受能力。 由于价格较低时，可以承受的消费者人数较多，此时减少率较小；而当价格慢慢上升超出大部分消费者承受价格的范围，人数减少的速度增快，即减少率增大；当价格增大到一定程度时，所能消费者的承受能力基本稳定，减少率趋于稳定。根据分析可画出减少率与价格的大致图像： 图3价格与减少率的关系 假设价格与减少率之间存在函数关系： 根据实际假设当盒饭价格为成本价 时，盒饭全部卖出，则盒饭的销售量减少率 ;当盒饭价格 时，减少率达到最大值 ；当 时， 将稳定不再发生变化，如下图： 图4 盒饭价格与减少率的关系 从而得 , , 所以 同样假设当方便面价格为成本价 时，方便面全部卖出，则方便面的销售量减少率 ；当方便面价格 时，减少率达到最大 ；当 时， 将稳定不再发生变化，如下图： 图5 方便面价格与减少率的关系 从而得： ， 所以 将（2.1）式代入（1.9）式得： 将（2.2）式代入（1.10）得： 对 求导，当 时 取得极值。 运用MALAB软件（程序详见附录一）画出盒饭总收入 与价格曲线： 图6 盒饭总收入与价格的关系 由图知 时 取得最大值，即将盒饭价格定为12元时，总收入取得最大值为2215.5元。 同理对 求导，当 时 取得极值。 运用MALAB软件（程序详见附录二）画出方便面总收入 与价格曲线： 图7 方便面总收入与价格的关系 由图知 时 取得最大值，即将方便面价格定为4.8元时，总收入取得最大值为：395.2元。总收入 ， 最大利润 元。 六、模型分析 模型一是通过建立微分方程得到价格与销售量之间的关系，再根据收入=价格 销售量，得到收入与销售量减少率及价格之间的函数关系。该模型的销售量减少率假设为稳定值，可以通过市场调查得出。该模型简单扼要，容易理解，但没有考虑到销售量减少率可能会随着价格的变动而改变。模型二考虑了该因素，进而对模型一进行改进，先求出销售量减少率与价格的变动关系，然后将减少率函数代回模型一，得出总收入与价格的函数关系。模型二较复杂，计算量比较大。整体模型没有考虑到对没有卖出的快餐进行降价销售的情况，而且也没考虑到火车上还提供其他的食物。 七、参考文献 [1]罗守权、卓岩.经济学原理.北京：首都经济贸易大学出版社，2004，第一版 [2]高希均、林祖嘉.经济学的世界.北京：生活.读书. [3]陈仲常、蒲艳萍.经济学理论与实践.重庆大学出版社.2002，第一版 八、附录 8．1 附录一： c=10:0.1:40; W11=200.*c.*exp((0.02.*c-0.2).*(10-c)); W12=200.*c.*exp(0.2.*(10-c)); W1=(c<20&c>10).*W11+(c>20&c<40).*W12; plot(c,W1) 8．2 附录二： c=3:0.1:20; W21=100.*c.*exp((0.06.*c-0.18).*(3-c)); W22=100.*c.*exp(0.36.*(3-c)); W2=(c<=9&c>=3).*W21+(c>9&c<20).*W22; plot(c,W2) PAGE 2 _1354598926.unknown _1354600283.unknown _1354608559.unknown _1354685888.unknown _1354689642.unknown _1354691224.unknown _1354691241.unknown _1354691184.unknown _1354691215.unknown _1354691123.unknown _1354689132.unknown _1354689569.unknown _1354689622.unknown _1354689608.unknown _1354689538.unknown _1354689230.unknown _1354688311.unknown _1354688685.unknown _1354685903.unknown _1354686372.unknown _1354622412.unknown _1354623110.unknown _1354623365.unknown _1354624229.unknown _1354624264.unknown _1354623555.unknown _1354623188.unknown _1354622614.unknown _1354622624.unknown _1354622604.unknown _1354619541.unknown _1354622377.unknown _1354621747.unknown _1354619517.unknown _1354606905.unknown _1354607704.unknown _1354607932.unknown _1354608393.unknown _1354608409.unknown _1354607862.unknown _1354607513.unknown _1354607533.unknown _1354607493.unknown _1354601021.unknown _1354603170.unknown _1354606873.unknown _1354601059.unknown _1354600571.unknown _1354600679.unknown _1354600501.unknown _1354599413.unknown _1354599716.unknown _1354599976.unknown _1354599989.unknown _1354599743.unknown _1354599636.unknown _1354599683.unknown _1354599565.unknown _1354599215.unknown _1354599281.unknown _1354599314.unknown _1354599252.unknown _1354598998.unknown _1354599025.unknown _1354598965.unknown _1354518374.unknown _1354537060.unknown _1354598317.unknown _1354598450.unknown _1354598756.unknown _1354598414.unknown _1354537248.unknown _1354537260.unknown _1354537091.unknown _1354536475.unknown _1354536662.unknown _1354536671.unknown _1354536491.unknown _1354533420.unknown _1354536094.unknown _1354536171.unknown _1354536157.unknown _1354533440.unknown _1354518826.unknown _1354521165.unknown _1354521692.unknown _1354521187.unknown _1354521118.unknown _1354518671.unknown _1354518745.unknown _1354518637.unknown _1354430071.unknown _1354430748.unknown _1354431470.unknown _1354432134.unknown _1354515969.unknown _1354432154.unknown _1354432025.unknown _1354430835.unknown _1354430878.unknown _1354430773.unknown _1354430489.unknown _1354430519.unknown _1354430466.unknown _1354429984.unknown _1354430033.unknown _1354430036.unknown _1354429998.unknown _1354429348.unknown _1354429519.unknown _1354429888.unknown _1354429596.unknown _1354429390.unknown _1354366655.unknown _1354368550.unknown _1354366257.unknown