null第一章 电磁现象的基本规律第一章 电磁现象的基本规律 本章从电磁现象的实验定律出发，如电荷守恒定律、库伦定律、毕奥-沙伐尔定律、法拉第电磁感应定律等进行概括、
总结
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、和提高，得出电动力学的基本方程，即Maxwell方程组。
在电磁运动中有电荷和电场、电流和磁场、电荷和电流、电场和磁场，这四对基本关系，通过对他们的考察分析，从而全面地认识电磁现象的基本规律。null电磁现象的基本规律包括三部分内容：1 、电荷的自身规律，即电荷守恒定律。
2 、电磁场的基本规律，即Maxwell方程组。
3 、带电体与电磁场之间的相互作用，即Lorentz
力公式。
在这一章中我们将分别讨论。§1. 库仑定律 静电场的散度和旋度 §1. 库仑定律 静电场的散度和旋度 （图2.1）（图2.1）同理表示点电荷的作用力： null库仑定律的内容已为大家所熟知，这里要着重指出的是：该定律 在电磁学发展史上的重要地位，库仑定律的发现使人们对电磁现象的，由定性过渡到定量，这是电磁学研究的转折点。特别是现代物理实验已证明，库仑定律反比于 而 的极限为：
，因此库仑定律是目前自然界中最精确的定律之一。
近代物理认为，库仑定律实质上是一个电荷在空间激发电场，该电场对另一电荷产生作用力，反之亦然。以后通过讨论我们将看到，电场具有更深刻的物理意义，它是物质存在的一种形式，为了描述电场的性质，引入电场强度的概念。
(2)电场强度概念的引入
电场强度是一个矢量，它等于作用在单位正电荷上的力。 (2)电场强度概念的引入
电场强度是一个矢量，它等于作用在单位正电荷上的力。 于是电荷2在电荷1的电场中所受的作用力可写成： ， 是电荷处的电场强度，在SI单位制中，电场 强度的单位是伏特每米（V/m）。实验还发现电场满足叠加原理：在几个点电荷同时存在的情况下，空间某点处的电场强度，等于各个点电荷在该点产生的电场矢量和。即： 实验还发现电场满足叠加原理：在几个点电荷同时存在的情况下，空间某点处的电场强度，等于各个点电荷在该点产生的电场矢量和。即： 其中是第i个点电荷到待求场点P(x,y,z)处的矢径。 （3）电场强度叠加原理及各种电荷密度的定义当电荷连续分布在某一空间区域时，电荷体密度定义为：当电荷连续分布在某一空间区域时，电荷体密度定义为：这时区域V内的电荷在R(x,y,z)点的电场强度应为： 式中各量如图2.3所示。 图2.3图2.3与此相类似，如果电荷分布在一薄层内，可以引入面电荷密度 ，它的定义是： 与此相类似，如果电荷分布在一薄层内，可以引入面电荷密度 ，它的定义是： 区域S内的电荷在R(x,y,z)点的电场强度应为： 如果电荷分布在一条线上，可以定义单位长度上的线电荷密度 是： 如果电荷分布在一条线上，可以定义单位长度上的线电荷密度 是： 则电场强度为：null2. 高斯（Gauss）定理和静电场的散度 （由库仑定律证明高斯定理并推出静电场的散度）nullnullnullnullnullnull3. 静电场的旋度（由库仑定律推出静电场的旋度） 3. 静电场的旋度（由库仑定律推出静电场的旋度） 由电场强度出发：
并利用斯托克斯公式得： 所以null上式对任意曲面都成立，故有：
上式表明：静电场的旋度处处为零，是一个无旋场。
1.静电场是有源无旋场，电力线不闭合，从正电荷出发到负电荷终止。
2.静电场是一个保守力场。§2. 毕奥—萨伐尔定律 静磁场的散度和旋度§2. 毕奥—萨伐尔定律 静磁场的散度和旋度nullnullnull2. 毕奥—萨伐尔（Biot-Savart）定律2. 毕奥—萨伐尔（Biot-Savart）定律 真空中磁场的大小用磁感应强度 来描述。在1820年毕奥─沙伐尔总结了实验资料，得出磁感应强度与电流强度之间的关系，后来被称作毕奥─沙伐尔定律。其内容为：通有电流强度为 的电流元 , 在距它为 处产生的磁感应强度为：
如果电流是体电流分布，上式中的电流元 , 应换为 , 于是有：
则在区域V内的闭合电流产生的磁感应强度为：
真空中磁场的大小用磁感应强度 来描述。在1820年毕奥─沙伐尔总结了实验资料，得出磁感应强度与电流强度之间的关系，后来被称作毕奥─沙伐尔定律。null图2.83.安培(Ampere)作用定律3.安培(Ampere)作用定律安培定律的内容是：在磁场中一个线电流元所受到的力为：
在磁场中的一个体电流元所受到的力为：
若真空中有两个稳定的电流元 ，则电流元2受到电流元1的作用力 为：
其中 为电流元1到电流元2的矢径。
同理电流元1受到电流元2的作用力 为：null其中 为电流元2到电流元1的矢径。
而两个闭合回路之间的相互作用力为：
可以证明，闭合回路的电流之间的相互作用力满足牛顿第三定律，即： null图2.94. 稳恒电流磁场的散度和旋度4. 稳恒电流磁场的散度和旋度nullnullnullnullnullnullnullnullnull§3. 法拉第电磁感应定律§3. 法拉第电磁感应定律电磁感应
1831年法拉第(Faraday)首先从实验定量地研究了变化磁场与电场之间的联系，发现在任意一个闭合的导体回路里，当回路所围成的面积中磁通量变化时，回路中将出现电流，这种现象称为电磁感应现象。
感应电动势
在电磁感应现象中，回路中有电流，说明回路中存在电动势，这种电动势称为感应电动势。 电磁感应定律
法拉第首先从实验中确定了感应电动势的大小与穿过回路的磁通量变化率成正比。
楞次（Lenz）从实验中确定了感应电动势的方向，即感应电流的磁通量总是力图补偿原来引起感应电流的那种磁通量的变化，被称之为楞次定律。
把这两个实验定律结合起来，就得到感应电动势的定量表达式：电磁感应定律
法拉第首先从实验中确定了感应电动势的大小与穿过回路的磁通量变化率成正比。
楞次（Lenz）从实验中确定了感应电动势的方向，即感应电流的磁通量总是力图补偿原来引起感应电流的那种磁通量的变化，被称之为楞次定律。
把这两个实验定律结合起来，就得到感应电动势的定量表达式：
这就是电磁感应定律或称法拉第电磁感应定律。（3. 1） 上式中的负号可以表示感应电动势的方向，根据回路L的绕行方向，按右旋规则确定所围曲面S的法线方向，当通过S的磁通量减少时，电动势 的方向才与回路绕行方向一致，如右图所示。null 此定律说明，只要回路中有磁通量的变化 ，不管是什么原因引起的这种变化，回路中都会产生感应电动势。引起磁通量变化的原因有三种：第一种是磁场不随时间变化，但回路的整体或局部运动，这样产生的电动势称为动生电动势；第二种是回路不动但磁场随时间变化，这样产生的电动势称为感生电动势；第三种是前两种情况同时出现 ，因而出现的电动势也是两者叠加。
动生电动势来源于磁场对运动电荷的作用力。
而对于感生电动势，既然这个回路线圈没有动，可是回路中却出现了感应电动势，这表明回路中的电子受到了作用力。唯一的物理起因是回路中出现了变化磁场，所以这种力是由变化磁场引起的。变化的磁场也能对电荷产生作用力，因此可以把这种力也称为电场。这种电场是由变化磁场引起的。
现在研究变化磁场引起的电场所满足的方程式。
用 表示变化磁场引起的电场，即感应电场。
按电动势的定义，导体回路中的感应电动势可以写成：
现在研究变化磁场引起的电场所满足的方程式。
用 表示变化磁场引起的电场，即感应电场。
按电动势的定义，导体回路中的感应电动势可以写成：
再利用闭合回路磁通量的定义：
(3. 2) 代入法拉第电磁感应定律中：这时回路不动，即L，S固定不变，上式右端对时间的微商可移入积分号内。而磁场 一般还是坐标的函数，故对时间的微商应该写为偏微商，于是有：(3. 3) 利用斯托克斯公式，上式左端又可写为：null
要确定一个矢量场还必须知道它的散度方程。实验上没有直
接给出关于 的散度性质，麦可斯韦(Maxwell)从理论上假
定：
这个假定的正确性由理论与实验的对比来证明, 大量事实表
明，这个假定是正确的。再利用散度定理有： （3. 4） （3. 5） null由（3. 4）和（3. 6）式看出，感应电场是有旋、无源的场，
而静电场是无旋、有源的场，两种电场的性质有本质的差
别。
若用 表示静电场，可将这两种场的方程作比较：
（1）静电场
（3. 6） （2）感应电场（2）感应电场 是由电荷所激发的场，是纵场。
是由变化的磁场所激发的场，是横场。
一般情况下的场是由纵场和横场叠加而成，因此电场 的普
遍方程式为：
§4. 真空中麦克斯韦方程组和洛伦兹力 §4. 真空中麦克斯韦方程组和洛伦兹力 前面简述了从一些特殊情况下总结出来的实验定律。
现在我们要把这些特殊规律，经过分析推广，找出电磁运动的普遍规律。
构成电磁理论的基本方程包括三个方面：
首先，电荷自身的运动规律——电荷守恒定律。
其次，电磁场的运动变化规律——麦克斯韦方程。
最后，电磁场对电荷的作用规律——洛伦兹力公式。。 null一、真空中麦克斯韦（Maxwell）方程组
1、已有的方程：
现在总结一下前面所讲述的电磁现象的基本规律如下：
这些方程都是各种特殊条件下才满足的，我们将把它们推广到普遍情况都成立的方程。
2、推广只与电场 有关的方程：
一般的电场应包含静电场和感应电场：
（静止电荷产生的场） ， （稳恒电流产生的场） （变化磁场） 。 其中，静电场 是一个有源、无旋的场，而感应电场 是有旋、无源的场（Maxwell理论假定），所以总电场的性质应
为：其中，静电场 是一个有源、无旋的场，而感应电场 是有旋、无源的场（Maxwell理论假定），所以总电场的性质应
为：是一个既有源又有旋的场。
下面讨论一般情况下磁场应满足的方程：
我们作相关的假设。
由稳恒电流所激发的磁场知： 。 （4. 2） 将其两端同时取散度：将其两端同时取散度：方程左端： ，因此只有在 的情况下此式才
能成立，即仅在稳恒的条件下才成立。在非稳恒时，由电荷守恒定律知：
又因为：
代入到电荷守恒定律中：
将此式与(4.2)式相比较可以给我们提示：稳恒电流可产生静止的磁场，变
化的电场也会产生变化的磁场。（4. 3） ， (4. 4) (4. 5) 令： 为位移电流，修改（4. 2）式 令： 为位移电流，修改（4. 2）式 磁场方程为： ，即位移电流也会产生磁场：且它
们都是无源的场：
此式满足电荷守恒定律的要求，可适用于普遍情况。
位移电流并非真实电荷的定向运动所产生的电流，它的物理实质是说明：变化的电场同样能够激发磁场，位移电流和传导电流的作用相同。因此真空中Maxwell方程组微分形式为：
。 积分形式为：积分形式为：
二．洛伦兹力公式
设一带电体有连续电荷分布，体电荷密度为 ，在静电场 中单位体积的静止电荷上受到的力为：
若带电体运动速度为 ，则在空间形成的电流密度
在稳恒磁场中，单位体积的电流元上受到的力为：若带电体运动速度为 ，则在空间形成的电流密度
在稳恒磁场中，单位体积的电流元上受到的力为：推广以上公式到普遍情况。 电磁场作用在带电体单位体积上的力为：
上式称为洛伦兹力密度公式。第一项是电场力，第二项是磁场力。
对点电荷洛伦兹力公式为：
洛伦兹力公式已被大量的实验证明是正确的。 §5. 介质中电磁现象的基本方程 §5. 介质中电磁现象的基本方程 当空间存在介质时，基本方程又如何？
空间存在介质时，电磁场将与介质内的电荷、电流相互作用，使介质产生极化和磁化，从而改变了原来的电磁场。
介质分导电的介质（导体）和不导电的介质（绝缘体），电介质在外电场的作用下发生极化，使介质内部或表面出现宏观的附加电荷和电流，反过来这些附加的电荷和电流又会激发电磁场，叠加在原来的电场上。磁介质在外加磁场作用下会产生磁化，即介质内部及表面出现了宏观的电流分布，称之为磁化电流，这些电流又激发磁场叠加在原来的磁场上，使原来的电磁场又有所改变。一、介质的极化 极化电荷与极化强度的关系 一、介质的极化 极化电荷与极化强度的关系 在有电场的情况下，介质会产生极化。
引进极化强度矢量来描述，其定义为：
其中 是第 个分子的电偶极矩，求和是对 中的所有分子进行的。
极化电荷：
由于极化，正负电荷间发生了相对位移，每处的正负电荷可能不完全抵消，这样就呈现了宏观电荷，称为极化电荷。（5. 1） nullSldSnull若极化时正负电荷拉开位移为 ，介质分子的数密度为N，通过ds 面跑出去的电荷 ，于是通过任一封闭曲面跑出去的总电荷为： 。
所以封闭曲面S 内出现和q 符号相反的电荷即为：
因为没有极化时介质是中性的，极化时跑出去一个正电荷，面内便出现一个负电荷。
又因为： 。
式中v 是s 包围的体积，所以：
即：
式中的 称为极化电荷密度。
。(5. 2) null极化电流 当电场随时间改变时，会激起极化电流。
设单位体积分子数为N，由于外电场变化引起偶极矩的长度
变化，出现的极化电流密度为：
对于有极分子介质，上式仍然适用。
所以：
称为极化电流密度。
(5. 3) 二．介质的磁化 磁化电流二．介质的磁化 磁化电流介质磁化，通常用磁化强度矢量M来描写。M的定义是单位体积内的磁矩即：
其中 为第i 个分子磁矩。
由磁化引起的电流称为磁化电流（如图1.8） 。(5. 4) null在周界线L上取线元 ,在 附近，磁化可以认为是均匀的，并设每个分子对磁化强度的贡献是相同的。
（图1.8） null
则由 穿过的分子电流对S面的磁化电流强度的贡献是；
式中 是一个分子的磁矩。 是磁化强度，穿过以L为周界的S面的总磁化电流为：
磁化电流是连续分布的 ，设磁化电流密度为 ，有：
由于闭合曲线L是任意取的，故得磁化电流密度为：
(5. 5) (5. 6)三．介质中的Maxwell方程组：三．介质中的Maxwell方程组：介质中的场方程只需要用总的电荷和电流来代替原来的自由电荷和传导电流就可得到，即：
将极化电荷： ，极化电流： ，以及磁化电流： ，
null引入两个新的物理量：
电位移矢量：
磁场强度矢量：
即：
对于线性各向同性介质有：
所以Maxwell方程组为：
对应的积分形式为： (5. 7) (5. 8) (5. 9) null在实际问题中，自由电荷和传导电流往往是预先给出
的。(5. 10) 四．介质的电磁性质方程四．介质的电磁性质方程在场不是很强的情况下，大多数物质对场的反应是线性的。尤其在各向同性的物质内，实验发现P和E，M和H成正比，即：
称为极化率，代入（5. 7）式中得：
称为介质的介电常数， 称为相对介电常数。
同样有：
(5.11) null 称为磁化率，代入(5. 8)式得：
式中 是介质的磁导率， 是相对磁导率。
介电常数和磁导率都是由实验测定。
在各向同性导体中，当电场不是很强时，实验发现J和E成正比。即：
称为电导率。
(5.12) (5.13) nullnull§6. 介质分界面上的电磁场方程§6. 介质分界面上的电磁场方程
在两种介质的交界面上，电磁场会有突变。可使用积分形式的Maxwell方程组。
本节的内容是利用积分形式的Maxwell方程组，来处理介质分界面上出现电磁场跃变时的问题。
一般电磁场作用在两种介质的分界面上 介质的表面会出现面电荷和面电流分布，因此电磁场要在界面上发生跃变，下面具体求出它的变化关系： 一．D和B的边值关系 一．D和B的边值关系 如图1. 15所示，圆柱高为 。
把积分形式方程：
应用到圆柱形曲面上，并注意
到圆柱体积无限小，可将积分写为：
式中D侧表示圆柱侧面的电位移矢量的平均值， 面的周
长。
null因为 ，所以 ，按面电荷密度的定义：
所以 D侧
则：
即：
其中 为界面的法线方向，规定为由介质1指向介质2。
如果界面上没有面电荷，
则：
同理可由方程： ， (6. 1) (6. 2) null重复上面的讨论可推出：
即磁感应强度B的法线分量在分界面上永远是连续的。
二、 和 的边值关系
如图1. 16所示，
则环路积分为：
由于 均为无限小量， 为界面的法线方向，上面的积分可以写为： (6. 3) null设 为环路L所围成的曲面的法线方向， 为 方向，
考虑界面上有面电流的情况。面电流的定义为：
是有限值。 为面电流密度，其物理意义是：单位时间垂直流过单位横截线上的电量，量纲为库仑/米·秒。
又因为 时， ， 都有限，所以 ：
(6. 4) null因此上面方程化简为：
而 ，即：
再利用混合矢量积性质：左= ，由于 为任意取，所以 也为任取。
因此上式写为：
同样，利用公式：
可证得：
所以两种介质边界面上的电磁场为：(6. 5) 。 (6. 6) 1） 2） 3）4）三．其它量的边值关系：三．其它量的边值关系：应用上述方法，不难由：
分别证得：
这里 为界面上束缚电荷面密度； 为界面上分子电流面密度； 为界面上自由电荷面密度； 为界面的法线方向。 (6. 7) (6. 8)(6. 9)null现举例说明如何使用边值关系来解决实际问题。
例1.确定静电场中导体与介质分界面上的自由电荷与束缚电荷分布。
解： 将导体内设为1区，介质设为2区，利用(6. 2)式，并注意到导体内的电场强度为零，则有：
再由(6. 6)式可知电场的切线分量 ，故导体上的自由电荷面密度为：
由(6. 7)式中的
可得界面上的束缚电荷面密度为：null导体介 质例2.有一均匀磁化介质球，磁化强度为M，计算磁化电流的分布。例2.有一均匀磁化介质球，磁化强度为M，计算磁化电流的分布。解： 由(5. 6)式，磁化电流密度 ，现在是均匀磁化，M为常数，所以体磁化电流密度为零，再由(6. 8)式磁化电流面密度的公式：
现在n为介质球面的法线方向，则 ，可得面磁化电流密度为：
null§7 电磁场的能量和能流§7 电磁场的能量和能流本节的主要内容是从场方程来研究电磁场的能量问题，目的是深刻认识电磁场的物质性，并掌握电磁场是如何传输的。
一、磁场的能量和能流
电磁场是一种特殊形态的物质，而能量是运动物质的重要属性。
设：一带电体电荷密度为 ，在电磁场中以速度 运动。则单位时间，电磁场对单位体积的电荷所做的功为：null
又因为：
设介质为均匀各向同性介质：
且介电性质与时间无关：
则：
所以对空间V作积分得：null其各项物理意义：左端：单位时间电磁场对区域V内带电体所作的功。
右端：可以先考察全空间
由能量守恒知：电磁场对电荷作功等于能量减少，所以能量密度为：
当V有限时，上式可改写为：
由能量守恒将： 应理解为：单位时间电磁场流过S面的能量。即：(7. 1) (7. 2) null体积V内能量的减少，应等于电磁场对电荷作功，加上电磁场流出S面的能量。
令：
代表：单位时间内垂直通过单位面积的能量，称为能流密度矢量，亦称Poynting's矢量。
二、电磁场中能量的传输
电磁场具有能量，且能在空间流动，这是它的物质性的重要特征。但其能量并非由导线中的自由电子来传输。(7. 3)nullnull能量是怎样传输的呢？
例如：有一段圆柱形长直导线，通有电流强度I，其半径为a，电导率为 ，求内外电磁场及能流密度矢量 。如图所示：
因为导体内有电流密度为： ， 为导体内场： ，
由边界条件： ，所以 ： null又由边界条件： ,
而因导体内部仅有 方向场，即 ，
所以
而 ， 即为导体表面分布的面电荷，
所以：
而在导线通有电流I，在导线周围将有磁场存在：
所以导线周围能流为：
null即能流将分两部分： ：沿着 方向流入导体内，产生焦耳热。
：沿着 方向向远处传输出去。
为证明其一部分流入导体内的能量，恰好是产生焦耳热，我们取L长导线，则有：
其中R是长为L的导体的电阻，在这段导体中单位时间内损耗的焦耳热为：
这两者完全相等。（R为L长的电阻）。 null既然电磁场能量是由导线周围的电磁场传输的，那为什么电力工业上还要用导线呢？
对稳定的电流或低频电流，导线的主要作用是引导电磁场的能量向着预定的方向传送。
对于高频电磁场 ，不需要导线的引导，也可以在预定的方向上产生很强的电磁场，从而把能量传送到目的地。高斯(Gauss)定理和静电场的散度高斯(Gauss)定理和静电场的散度nullnullnullnull
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