第21卷 第1期
2003年3月
河 北 建 筑 工 程 学 院 学 报
JOURNAL OF HEBEI INSTITUTE OF ARCHITECTURAL ENGINEERING
VOl 21 NO．1
M ar．2003
微分中值定理与积分第一中值定理的关系
姚 力 李香玲
河北大学
数学
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与计算机学院 河北建筑工程学院数理系
摘 要 对微分中值定理和积分第一中值定理的关系进行了探讨．
关键词 微分中值定理；积分第一中值定理
中图号 0 175
微分中值定理是微分学中一个很重要的定理，是导数概念及其各种应用的基础；而积分第一中值
定理在积分学中占有一定地位．本文所论证的即是二者之间的关系．
1 几个定理
定理1(拉格朗日中值定理)若函数F(x)满足：(i)在【a，b】上连续，(ii)在(a，b)上可导 ，
则在(a'b)内至少存在一点 ，使得： ( )
定理2(柯西中值定理)若函数F(x)G(x)在闭区间 b】上连续，在开区间(a，b)上可导，并且F’(x)≠0，
GI(x)≠0，则在(a，b)内至少存在一点 ，使得： 筹笺
定理3 (积分第一中值定理)若fix)在[a，b】上连续，g(x)在[a，b】上不变号且在【a’b】上可积，则在(a，b)
上至少存在一点 ，使f )f
2 拉格朗日中值定理与积分第一中值定理的关系
拉格朗日中值定理即定理1，积分第一中值定理即定理3．
在定理3中，设g(x)~-I，显然g(x)满足定理3题设条件，则定理3可改写如下：
f
定理4若f【x)在【a，b】上连续，则在(a，b)上至少存在一点 ，使 ) ，-
(1)
证明
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由定理4可推出定理1．首先考察定理4与定理1的题设条件．
在这里，因为f(x)为连续函数，则f(x)一定存在原函数，不妨设为F(x)，且F’(x)=f(x)
则f【x)满足：(i)在【a，b】上连续，(ii)在(a，b)上可导． ·
即满足定理1的题设条件，也就是定理4的题设条件比定理1的题设条件强．
下面证明由定理4结论可推出定理1结论．
f 1 由定
理4可知，在(a，b)内至少存在一点 ，使： ) '_ ，上式左边=f( )=F’( )
，^
上式右边=百J-．／(x)dX百_F(b)-F(a)
，即： ( ) 成立，也就是说由定理4可推出定理1．
(2)反过来，若加强定理1的题设条件，将其题设条件(ii)改为：F(x)在【a，b】上可导且F(x)的一阶导数
fix)连续．显然此时定理1的题设条件与定理4的题设条件等价．
本文收稿 日期：2003-Ol-06
第一作者：女，l967年生，讲师，保定市，071000
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第1期 姚 力 李香玲 微分中值定理与积分第一中值定理的关系 99
由定理1可知：在(a，b)内至少存在一点 ，使： ( ，Y(b^)-Y (a)
，
lbf【
由上式可知： <) 昔 成立．即由定理1可推出定理4．
(3)结论．定理4的题设条件比定理1的题设条件强．若加强定理1题设条件(ii)如上所述后 ，定理1与
定理4可认为是等价的．只是其结论表达形式分别是微分形式与积分形式．
3 柯西中值定理与积分第一中值定理的关系
现在加强定理3的题设条件，其表述如下，不妨设为定理5．
定理5若f(x)g(x)在【a，b】上连续，且fl(X)g(x)在【a，b】上无零点，则在 (a,b)中至少存在一点 (t，使
得』 ) ) t)』 ) ；在(a，b)中至少存在一点 。使得』 ) )蚓 ‘：) dx
证明：‘．’f(x)g(x)在 [a,b】上连续且无零点．
．
‘
． 由介值定理f(x)g(x)在 [ 1上不变号．否~lf(x)g(x)在 【a,b1上必有零点．
．
‘
． 由定理3可知：在(a，b)上至少存在 t ：，
使：J e，)』 ∽ 与J jf) (e )J 成立．
(1)证明由定理5可推出定理2．
证明：首先证明定理5中题设条件一定满足定理2题设条件．
’
．‘f(x)g(x)在[a，b】连续 ，．‘．fix)与g(x)一定有连续原函数，不妨设为：
)：：J )甜cl及G∽==j ) c2KF(X)=flx)，G’∽刊 ．其中cl一与c2为常数．
又由定理5题设条件：fix)与g(x)在【a，b】上无零点，则F．(x)= x)4：0且G’(x)=g(x)≠0
从而定理5题设条件一定满足定理2题设条件．下面证明由定理5结论可推出定理2结论．
由定理5在 (a,b)上存在 t与 使：} 如 ，)} (I)
与} jf)g(】f)d g( )I ) ‘ (2)成立．
则由(1)(2)两式： (t)} (】c)西c=g((：)l ) (3)
将(3)式两边整理得： 麓 (4)
)式改写为 (5)
设H(x) ( )G(x)-g( )F(x)，则H(x)在【 】，上有一阶连续导数。且设h(x)=H’(x)
且ph(x) H’(x)=f( 。)G’(x)-g( )F’(x)=f ，)fix)-g( ：)fix)
显然H(a)= (t)G(a)·g(( )F(a)=f( ，)c2-g((：)c1
又H(b)--j( ·)G(6)一g(f ) 6) t)(J： )d c2)一g( t)(J jf) +c1)
由 (4)式可知H(b)= 。)c2一g( )c l H(a)=H(b)
由定理4可知在(a’b)中至少存在一点，『使： (，『)』 0
且p； t)G’(r／)-g(：) (，『)=0 且p：善}渊 (6)
由(5)(6)式。在(a，b)中至少存在一点 ，『使： F(
(6
b
卜
)-
G
F(
(
a
口
))_GF((r
叩
I )
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1O0 铡北建筑T程学院学报 2003年
由定理5可推出定理2．即当定理5成立时．定理2一定成立．
(2)证明由定理2可推出定理5．
若加强定理2题设条件．使F(x)、G(x)在【a，b】连续且存在一阶连续导数．则可由定理2推出定理5．
证明：设-，∽ ∽，g∽=G’∽， ∽=』 g∽出．
显然R(x)在(a，b)上连续且有一阶连续导数． (x)= x)g(x)．则由柯西中值定理：在(a，b)内至少存
在一点 -使：尝
上式左边= 筹 上式右边= 告 ．
最口．~ x)丽g(x)d x 成立． 将上式整理得：J 蚓 J
同理可证得：在(a，b)内至少存在一点 2使』 ：)』 ．由定理2可推出定理5
(3)结论．在加强定理2题设条件后，定理5与定理2可视为同一个定理．只是其结论表达形式分别 ．
是微分形式与积分形式．我们可认为它们是等价的．
下面以一个简单的例子说明微分中值定理与积分中值定理的应用．
例：设F(x)在【a，b】(O
O F(x)、G(x)在【a，b】满足柯西中值定理
由柯西中值定理，在(a，b)至少存在一点 ：∈(a’b)使 瓮 (8)
即： 姜i 口+6) (9)
比较(7)(9)两式得： ( ．)： (6+口)即为所证．
2)再用积分第一中值定理来证
设f(x)--F’(x)
由上述定理4：在(a，b)中至少存在 ．使： 。)-
I
b---a (1o)
另外：设lI∽= ’，∽=2x显然u(x)、V(x)满足定理5条件 订'．1 ●
则有定理5知至少存在一点 ：∈(a，b)使： 叫 · 螂
由(1o)(1 1)两式得： -) (6+口)．即结论成立．
比较(7)式与(1O)式，可以看出(7)式即是(1O)式，同样(8)式就是(11)式．只是(7)式与(8)式是微分形
(下转第104页)
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河北建筑工程学院学报 2003年
Oscillatory Theory of a Class of Nonlinear
Second Order Neutral Equations
Yu Xiuping M i Yuzhen Yang Hongyu’
1)College of Mathematics and Computer，Hebei University
2)Department ofMathematics and Physics，Hebei Institute ofArchitecture and Civil Engineering
3)Department ofMechanical Engineerrlng，Zhang~iakou Occupation and Technology College
Abstract In the paper，oscillatorry theory of a class of nonlinear second order neutral equations
witll continuous deviating arguments is analyzed．Some known results in the literatures are gen‘
eralized．
Key words neutral equation；oscillation；continuous distributed delay
(上接第100页)
式，由微分中值定理推出；(1O)式与(I1)式是积分形式，由积分第一中值定理推出，但在本质上是等价
的．
综上所述，微分中值定理与积分中值定理确实可以相互推出，这是因为微分与积分本是可逆运算·
另外，在加强题设条件后，可认为二者是等价的．
The Relationship Between Differential Mid-·value
Theorem and the Frist Intergration
M id．．value Theorem
Yao Li Li Xiangling
1)College ofMathematics and Computer Science，Hebei University
2)Department of Mathematics and Physics，Hebei Institute of Architecture and Civil Engineering
Abstract This paper has studied the relationship between the differential mid—value theorem an d
the first intergration mid-value theorem．
Key words differential mid··value theorem；first intergration mid·-value theorem ’
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浙公网安备 33021202002483