nullnull 选修4-4坐标系与参数方程 第一讲 坐标系三. 简单曲线的极坐标方程null问题提出1.在极坐标系中,点M的极坐标是怎样构成的?点M的极坐标是极径ρ和极角θ组成的有序数对(ρ,θ).null 2.以直角坐标系原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点M的直角坐标(x,y)与极坐标(ρ,θ)的互化公式是什么?x=ρcosθ, y=ρsinθ.null 3.在平面直角坐标系中,方程f(x,y)=0是曲线C的方程应具备的条件是什么?(1)曲线C上任意一点的坐标都是方程 f(x,y)=0的解;(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点 都在曲线C上. 4.在极坐标系中,对一条曲线C,它也有相应的极坐标方程.因此,如何建立曲线的极坐标方程,如何根据曲线的极坐标方程
分析
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曲线的有关性质,也就成为一个需要研究的课题.null探究:圆的极坐标方程 null思考:设该圆与极轴的另一个交点为A,点M(ρ,θ)为圆上除点O,A以外的任意一点,那么极径ρ和极角θ之间满足什么关系?ρ=2acosθ思考3:点O,A的极坐标可以分别是什么?它们都满足等式ρ=2acosθ吗?null思考:由此可知,圆上任意一点的极坐标
(ρ,θ)中至少有一个满足等式ρ=2acosθ;
反之,极坐标适合该等式的点都在这个圆上吗?都在这个圆上null思考:等式ρ=2acosθ叫做圆C的极坐标方程.一般地,在极坐标系中,对于平面曲线C和方程f(ρ,θ)=0,在什么条件下,方程f(ρ,θ)=0是曲线C的极坐标方程? (1)曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0;(2)坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上.null思考:在极坐标系中,圆心坐标为C(a,π)(a>0),半径为a的圆的极坐标方程是什么?圆心坐标为C(a, )(a>0),半径为a的圆的极坐标方程是什么? ρ=-2acosθ ρ=2asinθnull思考:一般地,在极坐标系中,圆心坐标为C(a,α)(a>0),半径为r的圆的极坐标方程是什么?特别地,以极点为圆心,半径为r的圆的极坐标方程是什么?ρ=r null思考:一般地,求曲线的极坐标方程的基本步骤是什么?(1)建立极坐标系,设动点坐标; (2)找出曲线上的点满足的几何条件;(3)将几何条件用极坐标表示; (4)化简小结. 下结论建立极坐标系设点(,)找,的关系化简 F(,)=0null练 习练 习求下列圆的极坐标方程
(1)中心在极点,半径为2;
(2)中心在C(a,0),半径为a;
(3)中心在(a,/2),半径为a;
(4)中心在C(0,0),半径为r。
=2 =2acos =2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - 0)= r2null 极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是多少 练 习练习3练习3以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 Cnullnull3.极坐标方程A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆表示的曲线是( )4.圆的圆心坐标是( ) A. B. C. D. null小 结 a.在极坐标系中,点的极坐标是多值的,若点M在曲线C上,则点M的有些极坐标可能不适合曲线C的方程.(1)曲线的极坐标方程概念
(2)怎样求曲线的极坐标方程
( 3)圆的极坐标方程null 3.极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化,当研究对象与角和距离有关时,用极坐标方程解决比较方便,这是一个重要的解题技巧.在极坐标系中,当研究的问题用极坐标方程难以解决时,可转化为直角坐标方程求解.