null第二章
对偶理论与灵敏度分析第二章
对偶理论与灵敏度分析窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船
对偶是一种普遍现象null第一节 问题的提出:假设工厂考虑不进行生产而把全部可利用的资源都让给其他企业，工厂希望给这些资源定出一个合理的价格，即使别的单位愿意购买，又使本工厂能得到生产这些产品所能获得的最大收益。
null二、对偶问题（1）对称LP问题的定义（2）对称LP问题的对偶问题第一类对称形式第二类对称形式null例1：写出下列LP问题的对偶问题对偶null（3）对偶问题的对偶推导过程变形对偶null对偶变形null写出下列LP问题的对偶问题：例2：解:
上述LP问题的
对偶问题为：null三、非对称LP问题的对偶问题例3：写出下列LP问题的对偶问题nullnullnull直接写出LP问题的对偶问题例3nullnull第二节 LP问题的对偶理论定理1：弱对偶定理nullnull推论1： 若LP问题有无界解，则其对偶问题无可行解；
若LP问题无可行解，则对偶问题一定无解。推论2：极大化问题的任何一个可行解所对应的目标
函数值都是其对偶问题的目标函数值的下界。极小化问题的任何一个可行解所对应的目标
函数值都是其对偶问题的目标函数值的上界。推论3：null例4 考虑下面一对LP问题其对偶问题为：null定理2：最优性
准则
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证明：null例5null定理3：强对偶定理若(L),(D)均有可行解,则(L),(D)均有最
优解,且(L),(D)的最优目标函数值相等证明：nullnullnull推论：在用单纯形法求解LP问题（L）的最
优单纯形
表
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中松弛变量的检验数的相
反数就是其对偶问题（D）的最优解证明：null解：化为
标准
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型例5 求下列问题对偶问题的最优解null以[1]为枢轴元素进行运算，x1为换入变量， x3为换出变量以[4]为枢轴元素进行旋转运算，x2为换入变量，x5为换出变量null此时达到最优解。X*=(4,2), MaxZ=14。null定理4：互补松驰定理null例6 考虑下面问题null解:则，null第三节 对偶问题的经济学解释： -------------------影子价格标准化null1、定义二、影子价格2、含义null-14 0 0 -3/2 -1/8 0null例8 做目标函数2x1+3x2的等值线，与阴影部分的边界相交于Q(4,2)点，表明最优生产计划为：生产I产品4件，生产II产品2件。Q(4,2)x1x24x1=164x2=12x1+2x2=844083Z=14Q(4.25,1.875)
Z=14.125Q(4,2.5)
Z=15.5Q(4,2)
Z=14null （2）告诉管理者花多大代价购买进资源或卖出资源是合适的
3、影子价格的作用（1）告诉管理者增加何种资源对企业更有利
（3）为新产品定价提供依据null第四节 对偶单纯形法一、步骤:建初始表 结束选出出基和进基变量进行运算YNnull例9用对偶单纯形法求解下列LP问题解：原问题变形为null0 -1 -2 -3 0 0 04 0 -3 -2 -1 0 0null10 0 0 -5 -1 0 -3null三、几个问题的讨论
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