江 汉 石 油 学 院 学 报
198 9年3月 JO U 丑N A 乙 O F JIA N G H A N P刀r 天O L召U材 IN S刀T U TE 第1 1卷 第1期
使刚度矩阵带宽最小的节点
标号算法 、 程序及应用’
余 雄 鹰
傲械系力学教研室)
摘 要 本文介绍了目前常用的总体刚度矩阵带宽最小化的 R C M 算法 , 开发出了可在
旧M / 尸C 及其兼容机上运行的 「O R下RA N 程序 丫x y, 它与现有程序相比具有输入简单和应用
范围广等优点, 可适用于对用任意类型单元 (包括组合单元 )离散的连续体进行优化节点标号 ,
使得由此而形成的总体刚度矩阵的带宽为最小 .
关键词 刚度矩阵; 带宽; 最小化; 节点标号
八 启分 ,扮
U 目幼 口
在对连续体进行有限元
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
时 , 若总体刚度矩阵以等带宽方式存贮 , 则总体刚度矩阵
的带宽是一个重要参数 , 其大小直接影响到所需存贮空间的大小 、 计算速度的快慢和计算
结果精度的高低 . 而总体刚度矩阵的带宽取决于对离散连续体的节点标号
方案
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和节点自由
度数 , 它与所有单元节点差中的最大值成正比 , 与节点的自由度成正 比 . 当单元类型选定
后 , 节点的自由度数也就定了 , 因此带宽要取决于节点标号方案 . 也就是说 , 要使带宽最
小 , 就要进行这样的节点标号 , 它能使得所有单元节点标号的最大差值为最小 . 文献[l] 介
绍了 R CM 算法 , 并给出了用 A L G O L 语言编制的程序和算例 , 效果很好 . 但在使用该程
序时, 输人数据的准备工作较复杂 , 尤其对于具有大量单元和节点的情况更是如此 并且
它只适用于对用单一单元离散的连续体进行优化节点标号 , 对组合单元情况就不适用了 .
另外 , 目前 A L G O L 语言已用得很少 . 实际使用该程序不方便. 为了克服上述不足 , 采用
FO R T R A N 语言编制了前处理程序和带宽最小化节点标号程序 , 并拓宽了文献 [ll 中程序
的应用范围 , 使其能适合多种单元类型及其组合的情况 . 本程序输人简单 , 逻辑性强 , 计
算速度快而且易读 .
1 R C M 算法
‘
R CM 算法是基于图论理论 , 由 C ut h ill 和 M ck ee 提出并由 G co rge 改进而得到的 . 实
际上 , 当一连续体被离散并标号后 , 该离散体即为一标号图 G . 为了说明问题 , 本文直接
引用文献【11 所描述的算法 , 涉及到的有关图论概念可参考文献【1】和[2] . 其步骤如下 :
* 1 9 8 8年6月收稿 ;
江 汉 石 油 学 院 学 报 第 11 卷
(I) 选图 G 中低度的顶点 U 作根 , 形成根在 U 的层次结构 L u( 仍 .
(2 ) 用连续正整数对 L u( G) 按如下步骤重新标号 :
¹ 取根 U 为第 1 层 , 编号为 l; º 对第 2 层各点 , 按度的增加次序编号为 2 , 3,
⋯ , 灿 ; » 对于第 i 层 , 先取 i = 3 , 按度的增加次序先对第 3层内邻接于点 2 的顶点编
号, 从护 1开始 , 直至邻接于 凡2 的顶点编完号为止 . 以后逐层进行 , 直至全部顶点编号结束 .
(3 ) 对新的标号图G 计算其带宽、
(4) 重新选择 G 的其它低度顶点 U 作根 , 重复(l ) , (2) , (3) , 然后取带宽序列中达到
最小带宽的那个编序作为最终编序 .
(5 ) 将 由(4 )所得最终编序反编号 , 即吞的顶点编号。 一 i + 1用 i代换 , 这里 1== 1, 2
一 , ‘ n 为G 的顶点数 .
需要指出的是 , 文献【1]所给出的、 确定标号图 G 中低度顶点 U 的方法较为复杂 , 实
际上在离散的周围或
表
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面上的节点一般均为低度顶点 .
2 程序框图及说明
程序 Y x Y 的框图如图 1所示 , 其中的变量名和数组名与程序中使用的相同 , 具体意
义见说明 .
2. 1 程序框图(见图 1)
2. 2 变量说明
(l) 输人数据 :
人心一一低度顶点个数 ;
万矛- 一单元数 ;
刃刃‘一节点数 ;
刃矛‘. 一节点自由度 (对组合单元 , 取最大值) ;
乃了一一所有节点度的最大值 ;
五了万一一全部单元节点个数的最大值 ;
万刀仍心)一一低度顶点标号数组 ;
L O C (万E , 材扔一一每一单元节点的总体标号数组 , L O c( L 刀指的是第弹元第J个节点的标号 , 对组合单元 , 若单元 I 的节点数 IJ 小于 汤了万 , 则
数组 L O C 的第 I 行第 刀十1至 五r万列的元素均补以零 .
(2 ) 输出数据 :
五了刀刀一一原始节点标号的总体刚度矩阵带宽 ;
五了刀一一新的节点标号的总体刚度矩阵带宽 ;
万尤(刃万)一一对应于原始节点标号的新的节点标号数组 .
3 算 例
有了程序 Y X Y , 就可以对任意离散结构进行任意标号 , 通过程序 Y x Y , 可得出使
第 , 期 余雄鹰 : 使刚度拒阵带宽最小的节点标号算法、 程序及应用
总体刚度矩阵带宽最小的节点标号 . 下面我们通过 3 ,个算例来加以说明, 这 3 个算例在
IS M / PC 机上均在 2 秒钟内完成.
例 1 . 空间受剪弯曲板 如图 2 所示 , 一其离散单元为四节点四边形单元和三节点三角
形单元 , 节点自由度为 6 , 新节点标号如图 3 所示 , 带宽分别为 54 和 30 , 减少 44 . 4 % ‘
例 2 . 空间三维刚架 如图 4 所示 , 其离散单元为二节点三维空间刚架单元 , 节点自
由度为 6 , 新节点标号如图 5 所示 , 带宽分别为 54 和 24 , 减少 44 . 4% .
例 3 . 空间梁 、 析架及受剪弯曲板的组合结构 如图 6所示 , 板元为四节点四边形单
元 , 梁元为二节点兰维空间刚架单元 , 朽架元为二节点三维杆单元 , 最大节点自由度为
6
. 新节点标号如图 7 所示 , 带宽分别为 138 和 % , 减少 30 . 4 % .
输人原始数据 :
变量: 刃口,刀万 .入尹 .刃万 ,M .对万
数组洲刀(N0 ), L 口侧刃万 ,衬闭 用连续正整数对 L y 编号
求每一节点相邻的节点号并
存贮在一维数组 刃双万万 , 刃幻中
求新节点标号的总体
刚度矩阵的带宽M 7’
对每一点的相邻节点号从
,J倒大重新排列,产生矩阵
N注(刃万.川
M Z》M B护
求原始点标号的总体
刚度矩阵的带宽材刀B
MB十M r
反编号
对每一节点的相邻节点 , 以
它们的度(即相邻节点个数)
的大小从小到大重新排列 低度顶点用完否?
取MB = I丫
取一低度顶点 U 为
抵形成层次结构 L 。
二 吸丫
愉出数据:
变量:材刀刀j f刀
教组 :刃双万幻
图 l
84 江 汉 石 油 学 院 学 报 第 11 卷
恤
尸 、、
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图 6
系
第 1 期 余雄鹰 : 使刚度矩阵带宽最小的节点标号算法 、 程序及应用 8 5
4 源程序
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矛
每
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D IM E N SIO N LO C(2 8
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,
8)
,
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,
N l(1 12 )
,
N B (2)
,
N P(33 )
,
N K (3 3)
O PE N (1
,
FIL E , 乍IN G 勺
R E A D (l
, *
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,
N N
,
M
,
N o
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,
M N
,
N B
,
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,
J)
,
J= l,M N )
,
I , l
,
N E )
M B B = 0
N 4 ~ M N
*
N E
D O 10 1 = l
,
N N
n 二 0
K K = 0
D O 2 5 11 = 1
,
N 4
N l(I 1)二 0
C O N T IN U E
D O 1S J = l
,
M
N A (I
,
J) = 0
C O N T I] 阿U E
D O 20 ) , l
,
N E
L 二 0
D O 3 5 K = l
,
M N
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,
K )
.
E Q
.
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C O N T IN U E
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,
L
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,
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,
N E
.
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D O 4 0 L L ~ l
,
L
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C O N T IN U E
n = 11+ L
3 0 C ON T IN U E
2 0 C ON T刀陌U E
D O 50 ) = l
,
11-- 1
D O 6 0 JJ = J+ l
,
11
IF (N l(JJ 卜N l(J)) 13氏120 , 60
120 N l(JJ) = l
G O T O 6 0
130 IF (N l(JJ )
.
E Q二】) G O T O 60
IA 二 N l(J’)
N l(J)= N’I (J乃
N l(J刀= IA
60 CO N T IN U E
50 CO N T I⋯N U E
D O 70 JJ = l
,
11
IF (N l(JJ )
.
E Q
.
I)G O T O 70
IF(N l(JJ )
.
E Q一 l)G O T O 70
K K = K K + l
N A (I
,
K K )二 N l(JJ )
7 0 C O N T I] 阿U E
N D (D , K K
M R R , N A (瓦N D (D卜1+ 1
IF (M R R
.
G T
.
M B B )M B B = M R R
10 C ON T IN U E
M B B = M B B
*
N F
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C A L L BW M IN (M
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N N
,
N O
,
N F
,
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,
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N D
,
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C * T O O U T PU T R E SU L T S
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14 0 F O R MA T (/ 6X
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1 CO R R E SPO N D IN G T O O N E
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。 江 汉 石 ·油 学 院 学 报 第 11 卷
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D O 80 1 , l
,
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1)工T . 0 )G O T O 80
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N K (J’) 二砂(J) 、
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第 1期 余雄鹰 : 使刚度矩阵带宽最小的节点标号算法卜 程序及应用 · 87 ·
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M B . M B
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参 考 文 献
1 徐次达 . 华伯浩. 固体力学有限元理论 、 方法及程序. 北京: 水利电力出版社 , 一 19 8 3 : 95
2 范逢曦 . 图论方法及应用 . 太原 : 山西科学教育出版社 . 19 8 7 : 55 ~ 60
呼 体文责任编挥
: 巫长瑚
N O D A L S CH EM E
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It fi ts fo r o Pti m iz in g n o d a l sc h e m e to c o n ti n u ity id e a ll ze d
w ith a n y k in d o f e le m e n ts in e lu d in g e o m li n e d elem en ts w hieh ean m a k e th e b a n d w id th o f
to ta l ri g id m a tr议 m in im u m .
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K eyw o r d s ri g id m a tr议; b a n d w id th ; m in im u m ; n o d al sc h e m e
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