多元函数的极值matlab实验

实验六　多元函数的极值 【实验目的】 1． 多元函数偏导数的求法。 2． 多元函数自由极值的求法 3． 多元函数条件极值的求法. 4． 学习掌握MATLAB软件有关的命令。 【实验内容】 求函数 的极值点和极值 【实验准备】 1．计算多元函数的自由极值 对于多元函数的自由极值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义多元函数 步骤2.求解正规方程 ,得到驻点 步骤3.对于每一个驻点 ,求出二阶偏导数 步骤4. 对于每一个驻点 ,计算判别式 ,如果 ,则该驻点是极值点,当 为极小值, 为极大值;,如果 ,判别法失效,需进一步判断; 如果 ,则该驻点不是极值点. 2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值 设函数 在有界区域 上连续，则 在 上必定有最大值和最小值。求 在 上的最大值和最小值的一般步骤为： 步骤1. 计算 在 内所有驻点处的函数值； 步骤2. 计算 在 的各个边界线上的最大值和最小值； 步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在 内的最大值和最小值。 3．函数求偏导数的MATLAB命令 MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。 diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。 jacobian(f,x)　求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。 可以用help diff, help jacobian查阅有关这些命令的详细信息 【实验方法与步骤】 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 1 求函数 的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,y的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即 再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。求解正规方程的MATLAB代码为： >>clear; >>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y') 结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数： >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2) 结果为 A=2*x^2 B =-8 C =4 由判别法可知 和 都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上， 和 是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。 >>clear; >>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3; >>mesh(X,Y,Z) >>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') 结果如图6.1 图6.1 函数曲面图 可在图6.2种不容易观测极值点与鞍点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值. >>contour(X,Y,Z, 600) >>xlabel('x'),ylabel('y') 结果如图6.2 图6.2 等值线图 由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点 和 .根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点 周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点. 练习２ 求函数 在条件 下的极值..构造Lagrange函数 求Lagrange函数的自由极值.先求 关于 的一阶偏导数 >>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,k) 得 再解正规方程 >>clear; syms x y k >>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k') 得 进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值. 练习3 抛物面 被平面 截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离. 这个问题实际上就是求函数 在条件 及 下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数 求Lagrange函数的自由极值.先求 关于 的一阶偏导数 >>clear; syms x y z u v >>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,z) >>diff(l,u) >>diff(l,v) 得 再解正规方程 >>clear; >>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0', 'x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v') 得 上面就是Lagrange函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数 在有界闭集 ，上连续，从而存在最大值与最小值），故由 求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为 ，最短距离为 。 练习4 求函数 在上半圆 上的最大值和最小值。 首先画出等高线进行观测，相应的MATLAB程序代码为： >>clear; >>x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^2+Y.^2-4*X-2*Y+7; >>contour(X,Y,Z,100) >>xlabel('x'),ylabel('y') 结果如图6.3 图6.3 等值线 观测图6.3可看出，在区域 内部有唯一的驻点，大约位于 在该点处汉书趣的最小值。在圆弧与直线的交点处取得最大值，大约位于 。下面通过计算加以验证。 求函数在区域 内的驻点，计算相应的函数值。求z关于x,y的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^2+y^2-4*x-2*y+7; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果得 解正规方程 >>clear; [x,y]=solve('2*x-4=0','2*y-2=0','x','y') 得驻点为(2,1),相应的函数值为2。 求函数在直线边界 上的最大值和最小值。将 代入原函数，则二元函数变为一元函数 EMBED Equation.3 首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为： >>x=-4:0.01:4; y=x.^2-4*x+7; >>plot(x,y); >>xlabel('x'),ylabel('z') 结果如图6.4所示 图6.4 函数图 由图6.4可看出，当 时函数取得最大值， 时函数取得最小值。下面用计算验证。对函数求导 >>clear; syms x ; >>z=x^2-4*x+7; diff(z,x) 得 ，可知驻点为 ，而边界点为 ，计算着三个点上的函数值可得当 时函数取得最大值39， 时函数取得最小值3。 求函数在圆弧边界线上 的最大值和最小值。此边界线可用参数方程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。则二元函数变为一元函数 首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为： >>t=0:0.01*pi:pi; z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; >>plot(t,z); >>xlabel('t'),ylabel('z') 结果如图6.5所示 图6.5 函数图 由图6.5可看出，当 时函数取得最小值， 时函数取得最大值。下面用计算验证。对函数求导 >>clear; syms t ; >>z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; diff(z,t) 得 ,解正规方程 >>clear; >>t=solve('16*sin(t)-8*cos(t)=0','t') >>numeric(t) %求出t的数值 得 ，边界点为 ，计算着三个点上的函数值可得当 时函数取得最小值0.5111， 时函数取得最小值39。 综上所述，在点(2,1)处函数取得最小值2，在点(-4,0)处函数取得最大值39。 【练习与思考】 1. 求 的极值，并对图形进行观测。 2. 求函数 在圆周 的最大值和最小值。 3. 在球面 求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。 4. 求函数 在平面 与柱面 的交线上的最大值。 5. 求函数 在三条直线 所围区域上的最大值和最小值。 PAGE 7 _1124873832.unknown _1124885476.unknown _1124886309.unknown _1124887633.unknown _1124888148.unknown _1124889093.unknown _1124889693.unknown _1124890212.unknown _1124890258.unknown _1124890318.unknown _1124890339.unknown _1124890235.unknown _1124890000.unknown _1124890087.unknown _1124889972.unknown _1124889387.unknown _1124889496.unknown _1124889305.unknown _1124888678.unknown _1124888880.unknown _1124888653.unknown _1124887831.unknown _1124887892.unknown _1124888055.unknown _1124887863.unknown _1124887676.unknown _1124886987.unknown _1124887076.unknown _1124887055.unknown _1124886702.unknown _1124886944.unknown _1124886394.unknown _1124885593.unknown _1124886287.unknown _1124885777.unknown _1124885829.unknown _1124885488.unknown _1124885530.unknown _1124876158.unknown _1124884326.unknown _1124885445.unknown _1124885462.unknown _1124884523.unknown _1124884617.unknown _1124884406.unknown _1124884040.unknown _1124884295.unknown _1124876189.unknown _1124874293.unknown _1124874832.unknown _1124875294.unknown _1124875415.unknown _1124875673.unknown _1124876005.unknown _1124876143.unknown _1124875866.unknown _1124875578.unknown _1124875316.unknown _1124874819.unknown _1124873999.unknown _1124874277.unknown _1124873879.unknown _1124781884.unknown _1124782057.unknown _1124870782.unknown _1124870794.unknown _1124861548.unknown _1124781975.unknown _1124782012.unknown _1124781937.unknown _1124781773.unknown _1124781840.unknown _1124781853.unknown _1124781797.unknown _1124781591.unknown _1124781622.unknown _1124778961.unknown