第3章 地图投影的基本理论

《《地图学地图学》》电子课件第第三三章章地图投影的基本理论地图投影的基本理论§§33.1.1地图投影的基本概念地图投影的基本概念一、一、地图投影的实质地图投影的实质地球椭球体 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。x=f1(ϕ,λ)y=f2(ϕ,λ)2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论2页/共56页第地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。如何转换?2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第3页/共56页二、投影变形二、投影变形由于地球椭球面是不可展的曲面，要把它完整地表示到平面上，必须有条件地进行局部拉伸和局部缩小，所以必然会产生变形。投影变形表现在以下三个方面：（1）长度变形（2）面积变形（3）角度变形2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第4页/共56页三、主比例尺和局部比例尺三、主比例尺和局部比例尺地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。可表达为（d为图上距离，D为实地距离）d1=DM根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：主比例尺：在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有变形处的比例尺。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第5页/共56页地图比例尺的表示1.数字式比例尺如1:100002.文字式比例尺如百万分之一3.图解式比例尺直线比例尺斜分比例尺复式比例尺4.特殊比例尺变比例尺无级别比例尺2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第6页/共56页§§33.2.2变形椭圆变形椭圆变形椭圆（底索指线）：地球面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），投影到平面上后，一般成为微分椭圆，特殊情况下为一个圆。通过对这个微分椭圆的研究，可以分析地图投影的变形状况。地球面上一微分圆的任意两相互垂直的直径，投影到平面上一般成为微分椭圆的两共轭直径。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第7页/共56页x′y′设=m为经线长度比；=n为纬线长度比xyx′y′把x=y=mn代入微分圆方程：x222+yr=xy′′22并令r=1,整理得：+=1mn22此式是以椭圆中心为原点，以相交成θ角的经、纬线(共轭直径）为坐标轴的椭圆方程式。由此可以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：地球面上一微分圆，投影到平面上一般成为微分椭圆（特殊情况下仍为圆）。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第8页/共56页由于斜坐标系应用上不太方便，我们引入主方向的概念：在地球面上某点的两相互垂直的微分线段，投影到平面上仍保持垂直且具有极大、极小长度比的二方向，称为主方向。我们取主方向作为微分椭圆的坐标轴，建立直角坐标系。主方向的长度比即是极值长度比，用变形椭圆的长、短半径a和b表示。xy′′22则椭圆方程式为：+=1ab222010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第9页/共56页为了求证经纬线长度比（m、n）与极值长度比（a、b）的关系，也就是证明阿波隆尼定理，下面我们从任一方向的长度比开始推证：OM′r′设μ==OMr由右图得：rxy′222=+′′其中：xax′=yby′=而：xr=cosβyr=sinβ于是：xar′=cosβybr′=sinβ代入上式：rra′2222=+(cosβb22sin)β222222r′最后得：μ==abcosββ+sinr22010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第10页/共56页22222对于：μ=+abcosββsinD（1）当β=0，则μ=a，代表极大长度比。D（2）当β=90，则μ=b，代表极小长度比。从而证明了：极大、极小长度比的方向是互相垂直的二方向。（）如果经线的方向角为，即，则μ=m1β0β=β022222ma=+cosβ00bsinβDD（2）则纬线的方向角为β0+90，即ββ=+090，则μ=n22222na=+sinβ00bcosβ两式相加得：mnab22+=+22从而证明了阿波隆尼定理中的第一条。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第11页/共56页在和ΔOMDΔOMD′′′中1Sxy=ΔOMD21Sxy=−′′sin(180Dθ)ΔOMD′′′2又xmx′=yny′=1所以Smnxy=sinθΔOMD′′′21sinSmnxyθPm==ΔOMD′′′2=nsinθ1S1ΔOMDxy22010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第12页/共56页在和ΔOMDΔOMD′′′中1Sxy=ΔOMD21Sxy=′′ΔOMD′′′2又xax′=yby′=由于斜角坐标系中的微分椭1圆与直角坐标系中的微分椭圆是SΔOMD′′′=abxy2同一个微分椭圆，所以PP12=1abxymnsinθ=abSP===ΔOMD′′′2ab从而证明了阿波隆尼定理中2S1ΔOMDxy的第二条。22010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第13页/共56页阿波隆尼定理(Apollonius):椭圆内两共轭半径的平方和等于其长短半径的平方和；两个共轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短半径的乘积。据阿波隆尼定理，有：Lmnab22+=+22（１）Kbmnsinθ=ab（２）θa由（1）±（2）×2得：OmnKab+=m22+n+2sinmnθab−=m22+n−2sinmnθ椭圆内任一条直径d的平行弦中点在椭圆内的轨迹形成另一直径d′，则d′称为d的共轭直径。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第14页/共56页§§33..33投影变形的基本公式投影变形的基本公式一、长度比公式一、长度比公式长度比和长度变形：投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。μ表示长度比，Vμ表示长度变形。不变d's=0μ=Vμ=μ−1>0变大ds<0变小长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第15页/共56页二、面积比公式二、面积比公式面积比和面积变形：投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。P表示面积比Vp表示面积变形=0不变d'Fabπ>0变大P===⋅2abVpp=−1dFπ1<0变小P=a·b=m·n(θ=90)P=m·n·sinθ(θ≠90)面积比是变量，随位置的不同而变化。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第16页/共56页三、角度变形公式三、角度变形公式角度变形：投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形，用|β－β′|表示。以ω表示角度最大变形。设M点的坐标为（x、y），M′点的坐标为(x′、y′)，则：ytanβ=xy'tanβ'=x'x'y'=a=bxy2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第17页/共56页ybyb′tanβ'===tanβxaxa′将上式两边各减和各加tanβ即：bbtanβ−=−tanββ'tantanβ=−(1)tanβaabbtanβ+=+tanββ'tantanβ=+(1)tanβaa将两式相除，得：sin(β−−β')ab=sin(ββ++')ab2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第18页/共56页ab−sin(β−=βββ')sin(+')ab+显然，当（β+β′）=90°时，sin（β+β′）达到最大值1，则最大角度变形：ab−sin(ββ−=')ab+ω以ω表示角度最大变形：ββ−'=2ωab−sin=2ab+ωmn22+−2sinmnθ若已知m,n,θ，则：sin=22smn22++mninθ2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第19页/共56页ωωb根据sin22+=cos1得：tan(90D−=β)tanβ22ab2cotβ=tanβω⎛⎞ab−2abacos=−1⎜⎟=2⎝⎠ab+ab+aωtanβ=±（2）sinbωab−tan==2ω2cos2ab把上式代入（1）式：2ba⎛⎞把ββ+='90D代入（1）式：tanβ'=±⎜⎟ab⎝⎠btanβ'=tanβb（1）tanβ'=±（3）aa2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第20页/共56页根据：ββ+='90Dωββ−='2ω两式相加得：β=45D+4ω两式相减得：β′=45D−4把β和β′分别代入（2）和（3）式得：ωatan(45D+=±)（4）4bωbtan(45D−=±)（5）4a2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第21页/共56页3.3.44地图投影的分类地图投影的分类一、按投影的变形性质分类等角投影:投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零ω=0（或a=b，m=n）。等积投影:投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变形为零Vp=0（或P=1，ab=1）。任意投影:投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影（a=1或b=1）。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第22页/共56页2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第23页/共56页二、按投影方式分类（一）几何投影:将椭球面上的经纬线用几何的方法投影到辅助面上，然后再展开成平面。1.按辅助投影面的类型划分方位投影:以平面作为投影面的投影。圆柱投影:以圆柱面作为投影面的投影。圆锥投影:以圆锥面作为投影面的投影。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第24页/共56页2.按辅助投影面和地球（椭球）体的位置关系划分正轴投影:辅助投影平面与地轴垂直，或者圆锥、圆柱面的轴与地轴重合的投影。横轴投影:辅助投影平面与地轴平行，或者圆锥、圆柱面的轴与地轴垂直的投影。斜轴投影:辅助投影平面的中心法线或圆锥、圆柱面的轴与地轴斜交的投影。3.按辅助投影面与地球（椭球）面的相切或相割关系划分切投影:辅助投影面与地球（椭球）面的相切。割投影:辅助投影面与地球（椭球）面的相割。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第25页/共56页2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第26页/共56页（二）条件投影：是在几何投影的基础上，根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。1.方位投影：纬线投影为同心圆，经线投影为同心圆的半径，即放射的直线束，且两条经线间的夹角与经差相等。2.圆柱投影：纬线投影成平行直线，经线投影为与纬线垂直的另一组平行直线，两条经线间的间隔与经差成比例。3.圆锥投影：纬线投影成同心圆弧，经线投影为同心圆弧的半径，两经线间的夹角小于经差且与经差成比例。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第27页/共56页4.多圆锥投影：纬线投影成同轴圆弧，中央经线投影成直线，其他经线投影为对称于中央经线的曲线。5.伪方位投影：纬线投影成同心圆，中央经线投影成直线，其他经线投影为相交于同心圆圆心且对称于中央经线的曲线。6.伪圆柱投影：纬线投影成一组平行直线，中央经线投影为垂直于各纬线的直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。7.伪圆锥投影：纬线投影成同心圆弧，中央经线投影成过同心圆弧圆心的直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第28页/共56页2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第29页/共56页2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第30页/共56页三、地图投影的命名1.地球（椭球）与辅助投影面的相对位置（正轴、横轴、斜轴）。2.地图投影的变形性质（等角、等面积、任意性质三种，等距离投影属任意性质投影，还有透视投影）。3.辅助投影面与地球相割、相切。4.作为辅助面的可展面的种类（方位、圆柱、圆锥）。2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第31页/共56页第三章结束2010年10月24日9时2分第三章地图投影的基本理论第32页/共56页