1．计算下列二重积分：（1），其中D由抛物线与直线所围成的区域；（2），其中；（3），其中为图21-9中阴影部分；（4），其中；解（1）==（2）==（3）=（4）==2．求由坐标平面及所围成的角柱体的体积.解：角柱体如图所示，阴影部分为角柱体在平面上的投影区域.于是.3．（1）计算二重积分，其中D是由及所围成的区域。（2）计算二重积分，其中D由围成。（1）解：。（2）解:（结合图形）4．计算二重，其中是由所围成的区域。解：作图y=-x3分区域D为D1和D2，利用对称性知：，，则I==2=2=。5．计算第二型曲线积分，为任意包含原点（不通过原点）的有界闭区域的边界曲线，逆时针方向。解:P=，Q=，所围区域D，由于函数Q和P在区域D内的原点不连续，且不具有连续的一阶偏导数，作，边界为，规定方向为顺时针方向。Q=,P=且则由格林公式有，由于是逆时针方向，令，其中从0变化到，则6．利用Green公式计算下列积分：，其中L是圆周的上半部分，方向从（0,0）到点（2,0）；解：记O（0，0），A（2,0）.位于轴上的线段与L合起来形成封闭曲线，封闭曲线所围的区域设为D，且的方程为记则，于是利用Green公式得=.因此===.7．应用格林公式计算下列曲线积分；（1），其中L是以为顶点的三角形，方向取正向；（2），其中m为常数，AB为由到经过圆上半部的路线.（3）应用格林公式计算曲线积分:其中L为上半圆周从(a,0)到的一段.解(1)作图：AB的方程为:,BC的方程为:CA的方程为:,设,则把三角形域分成两部分和,于是原式===(2)在轴上连接点与点这样就构成封闭的半圆形,且在线段上,于是而.由格林公式得:因此,原式=.（3）解以为半径的上半圆域D,应用格林公式有=+0=而8．验证下列积分与路线无关，并求它们的值：（1）（2）（3）沿在右半面的路线；（4）沿不通过原点的路线；（5）其中为连续函数。解（1）因P=所以P与Q满足
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
条件，故积分与路线无关。于是，取路线为则有（2）因为所以.故由定理21.12知该积分与路线无关.因此(3)因，从而.因此,积分与路线无关,所以(4)当时是全微分,故积分与路线无关,且原式=(5)因为连续函数,则与分别是的原函数,于是可见,积分与路线无关,从而9．求下列全微分的原函数:(1)(2)(3)（4）解(1)由于从而积分与路线无关.故其原函数为.(2)由于,从而积分与路线无关,因此被积式为全微分,设则.(3)为的全微分===（4）曲线积分和路径无关，存在10．用极坐标计算下列二重积分:(1),其中;(2),其中;(3),其中为圆域:;(4),其中为圆域:.(5)计算，其中D是由所围成的闭区域解：（1）.(2)应用极坐标变换后积分区域从而=(3)由对称性有=（4）(5)解：11．（1）计算下列三重积分：其中V是由和所确定.（2）其中由曲面=、z=围成的闭区域；（3），其中v是由曲面与z=4所围的区域；解(1)由于被积函数为,因此可以把三重积分化为“先二重后一重”的累次积分。又由于区域V用平行于xy平面的平面截得的是一个圆面，即从而（2）解：令x=rcos,y=rsin,z=z（3）解：令x=rcos,y=rsin,z=z12．计算下列第一型曲面积分：（1）其中S是上半球面（2）其中S为立体的边界曲面；（3）其中S为柱面被平面所截取的部分；（4）其中S为平面在第一卦限中的部分.（5）其中是球面。解(1)因从而=(2)面积S由两部分组成,其中它们在Oxy面上的投影区域都是由极坐标变换可得==(3)(4)（5）解：由题意可知，D是关于x,y,z轴对称13．计算下列第二型曲面积分：（1），其中S为由六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向；（2），其中S是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向；（3），其中S是由平面所围的四面体面并取外侧为正向；解(1)因为=,=,=所以,原积分=+=.(2)由对称性知须计算其中之一即可由于故原积分=(3)由积分对称性知原式14．应用高斯公式计算下列曲面积分：（1），其中S是单位球面的外侧；（2），其中S是立方体表面的外侧；（3），其中S是锥面与平面z=h所围空间区域的表面，方向取外侧；（4），其中S是单位球面的外侧；（5），其中S是单位球面的外侧。（6）利用高斯公式计算曲面积分,其中S是边长为a的正方体外侧。（7）利用高斯公式计算曲面积分，其中S是上半球面外侧。（8）利用高斯公式计算曲面积分，其中S是的上半球面外侧。（9）利用高斯公式计算曲面积分，其中上的部分，并取上侧。解（1）（2）（3）解：，，，，，利用柱面坐标变换：（4）解：利用球面坐标变换：（5）原式（6）解：，，，，，（7）解：取，方向向下其中：（因为）（8）取，方向向下其中：利用球面坐标变换：（因为）（9）解：取，，，，，，其中：利用柱面坐标变换：15．求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：（1）；（2）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）解：（1）由于，所以收敛半径，即收敛区间为，但当时，有均发散，所以级数在时也发散，于是这个级数的收敛区域为。（2）由于，所以收敛半径，但当时，，由于级数收敛，所以级数在也收敛，于是这个级数的收敛区域为。（4）由于，所以收敛半径，这个级数的收敛区域为。（5）由于=，所以收敛半径，于是这个级数的收敛区域为。（6）由于=，所以收敛半径，因而级数的收敛区间为，即，当时，级数为=收敛，当时，级数为，而由于～且发散，故此时原级数发散，于是可得级数的收敛区域为。（7）因为，又，所以，从而收敛半径，又当时,，可见级数在时发散，故这个级数的收敛区域为。16．应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）：（1）；（2）；（3）（4）解：（1）因为=，且时，与都是发散级数，所以幂级数的收敛区域为，设其和函数为，于是当时，逐项求导数可得，所以，（）（2）由于=，且当时，这个幂级数发散，所以幂级数的收敛区域为，设其和函数为，则===，因为当时，=所以=，从而（）（3）因为，且当时，这个级数发散，所以幂级数的收敛区域为，设其和函数为，则=，因而=（）所以（）(4)因为=1，所以收敛半径=1，当时级数与都收敛，故这个幂级数的收敛区域是，设=则当时，，，从而可得因此故17．确定下列幂级数的收敛域，并求和函数：（1）；（3）；解：（1）因为=所以，当时，与都发散，所以收敛域为，令则==，所以=（3）设，则当时，=所以，18.（1）判断的收敛性解：，收敛收敛（2）判断的收敛性解：，收敛收敛（3）判断的收敛性解：，为调和级数，发散发散（4）判断的收敛性解：，为调和级数，发散发散（5）判断的收敛性解：，收敛收敛（6）判断的收敛性解：，收敛收敛（7）判断的收敛性解：收敛，收敛
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