可分离变量的微分方程举例一、可分离变量的微分方程回顾?例1dy解：x=2即，dy=2xdx两端对x积分dxy=∫2xdx=2x+cdy问题:求解=2xy2若两端积分：dxy=∫2xy2−dx含有未知函数，不好求积分1解决:使方程变形为：dy2=xdx(≠0，y)y211两端积分−=x2+cy=−yx2+c验证的确是原方程的通解。定义若'y=(f,x)y(1)M(,)或xydx+(,)Nx=y0(1')dy能化成gy()dy=(f)x（）dx2则原方程称为可分离变量的微分方程。~~~~~~~~~~~~~~~~~~Mx()()()()M1y2dy=1N2xN是不是可ydx分变量方程?'()()?y=fxgy思考：Mx()()()()M1y2dy=1N2xNydxy'()()=fxgy是不是可分变量方程?'xy−ylny=0secx2tanydxsec+y2tanxdy=0dy=10x+ydxdydyxy=y2+x2dxdx若y(=y)x是(2的解，代入)(2得恒等式：)gy(x(y))x'(dx)=f(x)dx两端对x积分g()y∫∫dy()=fx+dx(()0)(3)c≠gy这说明方程（2）的解满足（3）反之，可验证由(3确定的隐函数就是)(1的解)Fx令(,)()()yg=∫∫ydy−f−xdxc:验证(3)是(的通解。1)设F(,x)=y0确定的隐函数y=y()xdyFf()x又∵=−x=(g()y≠0)dxFyg()yg即y()()dy=fxdx由于F(,x)=y0含有任意常数,c，故为(1的通解)解法:将(3两边求积分)gy∫∫()()dy=fx+dxC−−确定的函数就是(1的通解)二、举例dy例1求微分方程=2xy满足y=1的特解dxx=0dy解方程分离变量后:2=xdx(≠y0)y222x+c11cxyln=x+c1y=e=ee2Δ2y=e±ce1x=cex(可正可负c)y=0显然满足方程,是它的解−漏解2y∴=cex(取任意常数c)注以后积分中,lny就写成lny只要记住最后,的常数可正可负即可例2解微分方程x(xy+)dx2+(y−2x)y=0dy例2解微分方程x(xy+)dx2+(y−2x)y=0dy解原微分方程为：x(1+y)dx2+(y1−2x)=dy0yx分离变量后:dy=dx1+y2x2−1ln(1+y)2=ln(x2−1+)cln1+y2=(cx21−)(c≠0)例3放射性元素铀的衰变速度与未衰变的原子的含量M成正比,已知MM=,求铀含量t=00M随的变化规律tM=(M).t(:衰变放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少,这种现象称之)dMdM解∵v=由题意=−kM(1)dtdtdM（k>0−称衰变常数;负号是由于<0）dtMM=(2−)初始条件t=00方程(1分离变量后)积分得dM=k−dt∫∫M−kt即M=ln−k+c1⇒M=(ce3)初始条件(2)中代入(得，3c)=M0−kt故M=M0e例4设降落伞从跳伞塔下落,所受空气阻力R与速度v成正比，离塔时速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系。解设下落速度为v=(v),t降落伞受重力P=mg阻力kv(比例系数k)由牛顿第二定律dvm=mg−kv可分离变量−dtv=0t=0dv1分离变量=dt，两端积分mg−kvmk1t−t−kc1−lnmg−(=kvc)+mg−kvM=ekm1kkcmg−te1v=ce+m=()c−−通解−kkmg将初始条件v=0⇒c=−t=0kkmg−t∴v=(1−em)kmgmg先加速,以后逐渐t↑v→()v
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
增量确定h与之间的微分关系的方法t−−微小增量分析法)h∵S=1cm2,h∴0dV.=62gh2dt,(1)100cmh+dhr设在微小的时间间隔[t,t+Δt],o水面的高度由h降至h+Δ,hdV则=−πr2,dh100=∵r(−2100−h2)=h200h2−,∴dV(=200−πh−h2)dh,(2)比较(1)和(2)得(:−πh200−h20dh=.)62gh2dt,(−πh200−h20dh=.)62gh2dt,即为未知函数的微分方程.可分离变量πdt=−(200h−h3),dh0.62g2π4002t=−(h3−h5),+C0.62g235π14|∵h=100∴,C=×10×5,t=00.62g215π所求规律为t=(7×105−103h3+h53).4.65g2πh=0时,t=⋅7×105s(−)流尽所需时间−4.65g2
浙公网安备 33021202002483