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(07)一•填空(每空3分，共30分)1设乂人=0.231是真值Xt=0.229的近似值，则XA有位有效数字。TOC\o"1-5"\h\z若f(x)=6x7x43x1，则f[20,21,...27^，f[20,21,...28^。3-A=0]■则冋=；凡=；IIA2=cond2(A)=。4.求方程x二f(x)根的牛顿迭代格式是。5•设x=10_5%，则求函数f(x)二的相对误差限为。々10、6.A=12a，为使其可分解为LL|Lt(L为下三角阵，主对角线元素>0)，a的取值范I。a2>围应为。7.用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是。(注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。)二.推导与计算(一)对下
表
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构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。(12分)x012f(x)123f'(x)3（二）已知x=；i；（X）和门（X）满足丨®■（X）-3:::1。请利用：•:'（X）构造一个收敛的简单迭代函数T「(x)，使Xki-?(Xk),k=0,1,……收敛。(8分)（三）利用复化梯形公式计算I二；e&dx，使其误差限为0.510»，应将区间[0，1]等份。（8分）-10a01(四)设A=b10b,detA老，推导用0a5一代法收敛的充分必要条件。（10分）a,b表示解方程组AX=f的Seidel（G-S）迭（五）确定节点及系数，建立如下GAUSS型求积公式f（x）0—^dx：4f（X1）宀f（X2）。（10分）0/X[y=f（x,y）（六）对微分方程初值问题/、Iyg=y°h（1）用数值积分法推导如下数值算法：yn1=yn/•—（fn「4fn•f-J,其中3f二f（X,yJ,（i二n-1,n,n1）。（8分）（2）试构造形如y^n=a0yn+a,yn.+h（0fn+bfn4）,的线形二步显格式差分格式，其中fn=f（Xn,yn）,fn=二f（Xn_1,yn_1）。试确定系数a0,a1,b0,b1，使差分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并指明方法是多少阶。（14分）(考试时间2小时30分钟)(08)一、填空(每空3分，共30分)•若开平方查6位函数表，则当x=30时，；尹1的误差限为•若f(x)=anXn1,(an=1),则f[x0,x!,...xn]=。•若x3,0兰x兰1S(x)=M32是3次样条函数，则—(x—1)3+a(x—1)2+b(x—1)+c,1兰X兰3a=,b=,c=。(12\A=，则A11=;IAll2=;Cond2(A)=。€2丿————12-考虑用复化梯形公式计算0e-xdx，要使误差小于0.510^，那么［0,1］应分为个子区间。G(x)二x，a(x2-5),要使迭代法x-：G(x)局部收敛到x”二\'5，即在邻域|x-•5卜：1时，贝Ua的取值范围是。、计算与推导1、用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中2-10-12-1A=0-12.00-1010-12■110b=0（12分）2、已知一组试验数据t12345y4.006.408.008.809.22请确定其形如yt的拟合函数。(13分)at+b3、确定系数，建立如下GAUSS型求积公式f(x)0dx=Af(xjA?f(x2)。(13分)0\x4、证明用Gauss-seidel迭代法求解下列方程组30-2xi1021〉：2二*时，对任意的初始向量都收敛；若要求■-21讥」I1J||x*-x(k)沪Y10一4，需要迭代几次(推导时请统一取初始迭代向量x(0)=(000)T)？(13分)5、试用数值积分法或Taylor展开法推导求解初值微分问题y‘=f(xy),y0x=)的如下中点公式：yn.2=yn■2h(x-1,y-1及其局部截断误差。(14分)bd6、试推导！！f(x,y)dydx的复化Simpson数值求积公式。(5分)ac(考试时间2个半小时)(09)、（填空（每空3分，共36分）x3+x20兰x兰12x32“1,1*2是以0,1，2为节点的三次样条函数,b=,c=2•设f(x)=4x32x-1，则差商f[0,1,2,3]=，f[0,1,2,3,4]=。3.函数f（x）=3x3•2x2-4x*5在［-1,1］上的最佳2次逼近多项式是佳2次平方逼近多项式是，当a满足条件时，A可作LU分解；当a满足条件时,A可作/20012-0，则A,cond(A)2二6.求方程x=cosx根的newton迭代格式是。7.用显式Euler法求解y二-80y,y(0)=1,要使数值计算是稳定的，应使步长0
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内证明'I1.在线性方程组AX=b中，A=a'aala。证明当11aY1时高斯-塞德尔法收敛,211而雅可比法只在a时才收敛。222.给定初值Xo=0,—以及迭代公式a(10分)Xk1二x/2-ax",(k=0,1,2•…，a=0)证明该迭代公式是二阶收敛的。(7分)3•试证明线性二步法yn.2(b-1)yn1-byn£(b3)fn.2(3b1)fn]4当b=-1时，方法是二阶，当b=-1时，方法是三阶的。(14分)(12)、填空题（每空2分，共40分）x*的相对1•设x*=0.231是真值x=0.228的近似值，则x*有位有效数字,误差限为L2(x)=3.过点（-1,0）,（2,0）和（1,3）的二次拉格朗日插值函数为计算L2(0)=4.设f(x^3x32x^4x5在1-1,1上的最佳二次逼近多项式，最佳二次平方逼近多项式为5.高斯求积公式°..xf(x)d^A0f(x0)A(f(xj的系数A°二A1=，节点x0=,x1=6•方程组Ax=b,A二D-L-U,建立迭代公式x(k①=Bx(k)•f，写出雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵，BJacobiBGauss_Seidel，其条件数Cond(A)28.设A〔1311，计算矩阵A的范数，||A|h=,l|A||2=9.求方程xf(x)根的牛顿迭代格式是10.对矩阵A=作LU分解，其L=,U=、
计算题
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(每题10分，共50分)1.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足：p(0)=0,p⑼二0,p(1)=1,p(1)=1,p(2)=1,并写出其余项表达式(要求有推导过程)。12.若用复合梯形公式计算积分Jexdx，问区间［0,1］应分成多少等分才能使截断误差不超0垢过一10?若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间［0,1］应该分成多少等份？由2F表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。x00.250.50.751xe11.281.642.112.7110.40.43.线性方程组Ax=b，其中A=0.410.8,b=[1,2,3]T,（1）建立雅可比迭代法卫.40.81一和高斯-赛德尔迭代法的分量形式。（2）问雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛吗4.已知如下实验数据（Xj,yJ,i=0,1/,4,用最小二乘法求形如y=a°的经验公并计算最小二乘法的误差。Xi12345yi44.5688.55.用改进的欧拉公式（预估-校正方法），解初值问题3=x2•100y2,y（0）=0，取步长dxh=0.1,计算到x=0.2（保留到小数点后四位）。三、证明题（共10分）1.如果A是对称正定矩阵，则A可唯一地写成A=LLt，其中L是具有正对角元的下三角阵。（考试时间2个半小时）07答案填空1.23.4;4;Xn-f(焉)1-f(Xn)5.0.005n-,3::a：：、.31亠3yx2-、推导与计算(一)方法1先确定2次插值N(x)二f(0)f[0,1](x-0)f[0,1,2](x-0)(x-1)再设该Hermit插值为H3(x)二N(x)k(x-0)(x-1)(x-3)将导数要求代入即可确定k值(略)32得：H3(x)=-2x6x-3x132{方法2直接设H3(x)二axbxcxd将插值要求代入得方程组(略)解得各待定系数IL得H3(x)二-2x36x2-3x1}推导余项：根据条件要求设余项R(x)二f(x)-H3(x)二K(x)x(x-1)2(x-2)构造关于t的辅助函数2：(t)=f(t)-H3(t)-K(x)t(t-1)(t-2)其是充分光滑的，且满足「(0)=(1)=(2)=(x)=0,「(1)=0故有4个零点反复运用Roll定理，有;:(4)()=f⑷()-K(x)4!(0，2)f⑷心二K(x)二4f⑷(-)故R(x)二-」x(x-1)2(x-2)「(0,2)且依赖于x和节点0,1,24!由x=(x)可得x-3x=(x)-3x(二)1.--即x=一一(④(x)-3x)21故设Tf(x)(：(x)-3x)因瞥(x^=^P7xn^j<1故迭代格式xn4=:；(xn)是收敛的(三)令|Rn[f]|=—U°h2fU)兰丄勺0"其中人=口122n解得hY1.73610'-(略)1将h=-代入取整即得n=578n578等分。a0110abb10010a2bab50050-R牛是需P(Bg)=故需将区间(四)G-S迭代阵Bg=b03ab0令det(・I-BG)=2('-埜)=01001001的正交多项式、、X解出既ab::^0°(五)方法1设「(X)=(X-X0)(X-Xi)为［0,1］上带权11则有0——(x)dx=01x(x)dx=0xI1、1X0X1--(XgXj=-匸整理得35-5&0X!)--111解出x0(^2.65),x1(32^65)又该公式应对f(x)=1,x准确成立，代入有f1[2=A^+Ai卜。=1+-廊2解之得3[3"0X0+AX1卜=1三廊故可构造出Gauss积分公式为。｛方法2直接用代数精度验证法列方程组求解方程组每个待定系数｝积分公式(六)(1)将y二f(X,y)两边同时在区间［Xn」，Xni］上积分得Xn+y(xn彳)-y(Xn4)f(x,y)dx右边用积分的Simpson公式展开得xn1［f(x,y)dx叱(略)将y(xj用相应数值值y代替Xn丄h既推出公式yn1二ynd-(fn14f^fnj)3(2)方法1因前提是yn=y(Xn),ynd=y(Xnd)故利用Tarlor公式24y(Xn1)二y(Xn)y(Xn)hy(Xn)占y(Xn)—y⑷()—234(XnY＜人1)yn1=a°y(Xn)aiy(Xnji)h(bof(Xn,y(Xn))bif(Xn」，y(Xnj)))h3=(a°aJy(Xn)(qb。bJhyX)(2—bjh2y(x.)(_a「3bJ石y(x.)23・呼y()3!考察局部截断误差Rn.1=y(Xn1)-yn1，使44Rn->(4)()^4!y()-3b1h4y()=O(h4)可得-印+b0+0=101—bi=丄22-a13b-^=1解之得玄一4*5^422。故所给格式为h4其局部截断误差的主项为hyn卅=—4yn+5yn」+h(4fn+2fnJ44y⑷()罟y()一2!y()，其是3阶方法。｛方法2直接套课本中公式，但此时-：J0=ai,二1二a0,'0=b1,■1=b0,P2=0而k=2令Co=G=c2=c3=0歹y方程组可解出各系数。其局部截断误差的主项为C4h4y⑷(Xnjr'hJ⑷(Xn),其是3阶方法。3、填空（每空3分，共36分）1.b=-2,c=32.3.4.5.6.(09)f[0,1,2,3]=4,f[0,1,2,3,4]=0.P2(x)=X2-孑x5,p2(x)=2x2-2,cond(A)2119"Tx3Xk-cosxkXk1=Xk--Xk1sin7.00,®=detA=1•2a3-3a2>0联立解之得一a11aY1此条件下，A对称正定，G-S法收敛。2对Jacbi法，求出其迭代阵为_0-aJ=—a0-a令det(A1-J)=(几一a)2(k+2a)=0于一a一a0一1i是可知，当-(J)=2a<1，即a时，雅可比法才收敛。12.(a)即f(x)=a-—，其牛顿迭代格式为Xk1=兀(2-axk),(k=0,1,2•…，a=0)x(b)显然，迭代函数为「(x)=x(2—ax)7(-^-.-即是:(x)的不动点。aaa容易求出：■V)=0,：//()=-2a-0所以该迭代公式是二阶收敛的aa3.证此方法的局部截断误差hTn2=y(Xn2h)(b-1)y(Xnh)-by(Xn)-：[(b3)y/(Xn2h)(3b1)^区)]4将其各项函数在xn处泰勒展开并合并同类项得TOC\o"1-5"\h\z137Tn.2(b1)h3y/〃(Xn)-(b)h4y(4)(Xn)O(h5)-于是，当b—1时8241Tn2---(b1)h3y///(Xn)O(h4)，方法是2阶的；当b--1时37Tn2=(ub)h4y⑷(Xn)O(h5)，方法是3阶的。824一填空题(每空2分，共40分)1.20.025或0.02162.303.一|(X1)(X_2),327L21194.X-x52xX4_555.0.280.390.290.826.Hj二D」(LU),HG_S=(D-L)」U7.18.IA11l=3_,IIA|"9、2916.32Xk-f(Xk)00、23、10.L=210,U=01-4<3-5h0—24‘9.xk1=xk1-f'(Xk)、计算题(每空10分，共50分)(1)=1,1.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足：P(0)=0,P'(0)=0,P(1)=1,P(2)=1，并写出其余项表达式。解：由题意P(x)=x2(ax2+bx+c)，由插值条件得方程组abc=14a3b2c=14(4a2bc)=1求解，得a=1/4,b=-3/2,c=9/4。所以2123丄9P(x)=x2(x2x)241插值余项为R(x)f⑸()x2(x-1)2(x-2)5!1若用复合梯形公式计算积分oexdx，问区间［0,1］应分成多少等分才能使截断误差不超」1上过一10“？若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间［0,1］应该分成多少等分？由2下表数据用复合辛普森公式计算该积分。x00.250.50.751xe11.281.642.112.71解：由于f(x)二ex，贝Uf"(x)二f⑷(x)二ex在区间［0,1］上为单调增函数，b-a=1，设区间分成n等分，则h=1/n.,故对复合梯形公式，要求TOC\o"1-5"\h\zb—a2''*1121_5*RT(f)=|hf()|(―)e10,(0,1)1212n22e5即n2105,n一212.85，因此n=213，即将区间［0,1］分成213等分时，用复合梯形6计算，截断误差不超过110』。2若用复合辛普森公式，则要求农⑴=!-180<2丿1(丄)皂_丄10*,n218024(0,1)4e4n10,n一3.7066，因此n=4，即将区间［0,1］分成8等分时，用复合梯形计算,144TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark22"\o"CurrentDocument"上截断误差不超过一10。2h4」S4(h)二'[f(xj4f(xkJf(XkJ]二6心迭0.5(f(x。)4f(xJ•f%)f(X2)*f(X3)f(X4))=1.7125610.40.43.线性方程组Ax=b，其中A=0.410.8,b=[1,2,3]T,(1)建立Jacobi迭代'0.40.81一法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2)问Jacobi迭代和Gausse-Seidel迭代法都熟收敛吗？解:(1)Jacobi迭代法的分量形式花皿=(1-O.4X2⑹-0似3角X2(k1)=(2-0.4为("-0.8x3(k)),k=0,1,2,…，x(0)为任意初始值。(k1)(k)(k)X3(3—0.4X[--0.8x2)IGauss-Seidel迭代法的分量形式'x!(k+^(^0.4x2(k^0.4x3(k))X2(k1)=(2-0.4%*°-0.8x3(k)),k=0,1,2，…，x(0)为任意初始值。X3(k1)=(3-0.4x1(k1)-0.8x2(k1))Jacobi迭代法的迭代矩阵广0—0.4-0.4Bj=D」(L+U)=—0.40-0.8「0.4-0.80|■I-Bj|=(，-0.8)(208-0.32)：：(Bj)=1.09282031，故Jacobi迭代法不收敛。Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵■0-0.4-0.4ABg』=(D-L)」U=00.16—0.64<00.0320.672’=0.8<1，故G-S迭代法收敛。4.已知实验数据(Xk,yQ,k=1,2,…,5，如下表，用最小二乘法求形如y=a。•的经验公式，并计算均方误差。Xi12345yi44.5688.5解:令$（x）=a0a1x■：0二1,J二x,故4（;：o,「°）八仁5i兰4（;：0,：1）八Xi=15i=04（;：1,0）八Xi=15izzO4（;：1,1）八x2i=55i=04（;：0,f）fi=31i=Q4（;：1,f）八Xifi=105.5i=0由法方程得线性方程组5a0十15印=31J5a0+55a1=105.5解得a。=2.45,a1=1.25于是所求拟合曲线为S（x）=3.71431.2429X2-范数的误差||、I/、/（Xi）-yj2=0.675=0.82165.用改进的欧拉公式(预估-校正方法)计算到x=0.2(保解初值问题凹=x2・100y2,y(0)=0,h为步长，(1)取步长h=：0.1,dx留到小数点后四位)。解：(1)由改进的欧拉公式yn+=yn+hf(Xn,yn)th-yn1=ynf(Xn,yn)f(Xn1,y.1)22因为h=0.1,y°=0，f(x,y)=x100y所以x0=0,X"i=0.1,x2=0.2y1=y0hf(x0,y0~0，h屮二y石[f(x°,y°)f(%,y1)=0.0005y2=y1hf(x1,yj=0.0015h—y2|x£2二％2【f(X1,y1)f(X2,y2)]=0.0030三、证明题(共10分)L是具有正对角元1、证明：如果A是对称正定矩阵，则A可唯一地写成A二LLT，其中的下三角阵。因为A对称正定，A的所有顺序主子式不为零。A有唯一的Doolittle分解A=LU其中'Uliai2UiiU22ai3Uii*23...U22二DU0U11*2nU22D为对角阵，U0为单位上三角矩阵。又因为A是对角正定矩阵TLDU0=A=At=U：DL由分解的唯一性L二uT，代入分解式子a=ldlt又A对称正定知道Di0,i=2,,n5、\-U11、刑U11D=U22+=\U22+Ju?2+1unn」1VunnJIJunn」Di」U11=D1,u11二D'D"所以11A=LD2(LD2)T=LLT，1其中LD2为对角元为正的下三角矩阵。
浙公网安备 33021202002483