江苏省南京市金陵中学高一上学期期中考试数学试卷(解析)

2016-2017学年江苏省南京市金陵中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题）1．已知集合A={1，2，5}，B={1，3，5}，则A∩B=．2．函数的定义域为．3．已知f（x）=x2﹣1，则f（2x）=．4．函数y=的值域为．5．函数f（x）=lg（x2﹣9）的单调增区间是．6．已知，则f（4）=．7．若关于x的方程lgx=5﹣2x的解x0∈（k，k+1），k∈Z，则k=．8．幂函数f（x）的图象经过，则f（2）=．9．已知函数f（x）=x5+px3+qx﹣8满足f（﹣2）=10，则f（2）=．10．已知函数f（x）=，则=．m0.311．若m∈（1，2），a=0.3，b=log0.3m，c=m，则用“＞”将a，b，c按从大到小可排列为．12．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上单调递减，且f（﹣4）=0，则使得x|f（x）+f（﹣x）|＜0的x的取值范围是．13．设f（x）=1﹣2x2，g（x）=x2﹣2x，若，则F（x）的最大值为．14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+2t）≥4f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．二、解答题15．（1）计算：2lg4+lg；（2）已知=3，求的值．16．设全集为R，集合A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），记函数f（x）=的定义域为集合B（1）分别求A∩B，A∩∁RB；（2）设集合C={x|a+3＜x＜4a﹣3}，若B∩C=C，求实数a的取值范围．17．已知定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+2x﹣1（1）求f（﹣3）的值；（2）求函数f（x）的解析式．18．2016年10月28日，经历了近半个世纪风雨的南京长江大桥真“累”了，终于停下来喘口气了，之前大桥在改善我们城市的交通状况方面功不可没．据相关数据统计，一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到280辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时．研究表明，当30≤x≤280时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤280时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．19．已知函数f（x）=+m为奇函数，m为常数．（1）求实数m的值；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）若关于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，求实数a的取值范围．20．已知函数g（x）=x2﹣ax+b，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为﹣1，设f（x）=．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式f（3x）﹣t•3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（|2x﹣2|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市金陵中学高一（上）期中数学试卷参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 与 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 解析一、填空题（共14小题）1．（2016秋•南京期中）已知集合A={1，2，5}，B={1，3，5}，则A∩B={1，5}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】根据交集的定义可知，交集即为两集合的公共元素所组成的集合，求出即可【解答】解：由集合A={1，2，5}，集合B={1，3，5}，得A∩B={1，5}，故答案为：{1，5}．【点评】此题考查了两集合交集的求法，是一道基础题2．（2015春•武汉校级期末）函数的定义域为（0，1]．【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0建立不等式组，解之即可求出所求．【解答】解：要使函数有意义则由⇒0＜x≤1故答案为：（0，1]．【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以及根式函数的定义域和不等式组的解法，属于基础题．3．（2016秋•南京期中）已知f（x）=x2﹣1，则f（2x）=4x2﹣1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】定义法；函数的性质及应用．【分析】直接将f（x）=x2﹣1中x替换成2x即可．【解答】解：由题意：f（x）=x2﹣1则f（2x）=（2x）2﹣1=4x2﹣1故答案为：4x2﹣1．【点评】本题考查了函数带值计算问题，比较基本，属于基础题．4．（2016秋•南京期中）函数y=的值域为[0，2]．【考点】二次函数的性质；函数的值域；函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】求出函数的定义域，进而结合二次函数的图象和性质，分析函数的最值，进而可得函数的值域．【解答】解：要使函数y=的解析式有意义，﹣x2+4≥0，解得：﹣2≤x≤2，当x=±2时，﹣x2+4取最小值0，此时函数y=取最小值0，当x=0时，﹣x2+4取最大值4，此时函数y=取最大值2，故函数y=的值域为[0，2]，故答案为：[0，2]．【点评】本题考查的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 是函数的最值，函数的值域，二次函数的图象和性质，难度中档．5．（2016秋•南京期中）函数f（x）=lg（x2﹣9）的单调增区间是（3，+∞）．【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令t=x2﹣9＞0，求得函数的定义域，且f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：令t=x2﹣9＞0，求得x＜﹣3，或x＞3，故函数的定义域为{x|x＜﹣3，或x＞3}，且f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．6．（2015秋•徐州期中）已知，则f（4）=23．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数的解析式，直接求解函数值即可．【解答】解：知，则f（4）=f（）=2×10+3=23．故答案为：23．【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，是基础题．7．（2016秋•南京期中）若关于x的方程lgx=5﹣2x的解x0∈（k，k+1），k∈Z，则k=2．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】方程的解即对应函数f（x）=lgx+2x﹣5的零点，由f（2）＜0，f（3）＞0知，方程f（x）=0的零点在（2，3）上，又方程f（x）=0的零点在∈（k，k+1）上，k∈Z，可得k值．【解答】解：令f（x）=lgx+2x﹣5，则方程lgx+2x﹣5=0的解x=x0∈（k，k+1），k∈Z，即函数f（x）的零点，在（k，k+1）上，k∈Z，∵f（2）=lg2+4﹣5＜0，f（3）=lg3+6﹣5＞0，∴函数f（x）的零点在（2，3）上，∴k=2，故答案为2．【点评】本题考查方程的解与函数零点的关系及用二分法求方程的近似解．解答关键是函数思想，和方程思想的应用，属于基础题型．8．（2016秋•南京期中）幂函数f（x）的图象经过，则f（2）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题．【分析】通过幂函数的图象经过的点满足方程，求出玫瑰色的解析式，然后求解函数值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）的图象经过，∴，解得α=﹣2，幂函数为f（x）=x﹣2．f（2）=2﹣2=．故答案为：．【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，基本知识的应用，考查计算能力．9．（2016秋•南京期中）已知函数f（x）=x5+px3+qx﹣8满足f（﹣2）=10，则f（2）=﹣26．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】由已知得f（﹣2）=﹣32﹣8p﹣2q﹣8=10，从而﹣32﹣8p﹣2q=18，由此能求出f（2）．【解答】解：∵函数f（x）=x5+px3+qx﹣8满足f（﹣2）=10，∴f（﹣2）=﹣32﹣8p﹣2q﹣8=10，∴﹣32﹣8p﹣2q=18，f（2）=32+8p+2q﹣8=﹣18﹣8=﹣26．故答案为：﹣26．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．（2016秋•南京期中）已知函数f（x）=，则=．【考点】函数的值．【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】先求出f（）==﹣3，从而=f（﹣3），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣3，=f（﹣3）=．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．m0.311．（2013秋•赣榆县校级期末）若m∈（1，2），a=0.3，b=log0.3m，c=m，则用“＞”将a，b，c按从大到小可排列为c＞a＞b．【考点】有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．【专题】综合题．【分析】由m∈（1，2），根据对数式的性质得到b=log0.3m＜0，由指数函数的单调性得到0＜a＜1，c＞1，则a，b，c的大小可以比较．【解答】解：因为m∈（1，2），所以b=log0.3m＜0，0＜a=0.3m＜0.30=1，c=m0.3＞m0=1，所以c＞a＞b．故答案为c＞a＞b．【点评】本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数值的大小比较，解答此题的关键是明确指数函数的单调性，同时，对于logab，若a，b均大于0小于1，或均大于1，logab＞0；若a，b中一个大于0小于1，另一个大于1，则logab＜0，此题是基础题．12．（2016秋•南京期中）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上单调递减，且f（﹣4）=0，则使得x|f（x）+f（﹣x）|＜0的x的取值范围是{x|x＜0且x≠﹣4}．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性、单调性画出函数f（x）的示意图，将不等式等价转化，由图象求出不等式解集．【解答】解：∵f（x）在（﹣∞，0]上为减函数，且f（x）为R上的偶函数，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，又f（4）=0，∴f（﹣4）=f（4）=0，画出f（x）的示意图如图所示：∵f（x）为R上的偶函数，∴x|f（x）+f（﹣x）|＜0等价于2x|f（x）|＜0，由图可得，不等式的解集是{x|x＜0且x≠﹣4}，故答案为：{x|x＜0且x≠﹣4}．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，不等式的等价转化，考查数形结合思想．13．（2015秋•徐州期中）设f（x）=1﹣2x2，g（x）=x2﹣2x，若，则F（x）的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】求出F（x）的解析式，在每一段上分别求最大值，综合得结论．【解答】解：有已知得F（x）==，上的最大值是，在x≥3上的最大值是﹣1，y=x2﹣2x在上无最大值．故则F（x）的最大值为故答案为：．【点评】本题考查了分段函数值域的求法，在对每一段分别求最值，比较每一段的最值，最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值，考查运算能力，属中档题．14．（2013秋•赣榆县校级期末）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+2t）≥4f（x）恒成立，则实数t的取值范围是[2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】由当x≥0时，f（x）=x2，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=﹣x2，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足4f（x）=f（2x），再根据不等式f（x+2t）≥4f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+2t≥2x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．【解答】解：当x≥0时，f（x）=x2∵函数是奇函数∴当x＜0时，f（x）=﹣x2∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足4f（x）=f（2x），∵不等式f（x+2t）≥4f（x）在[t，t+2]恒成立，∴x+2t≥2x在[t，t+2]恒成立，即：t≥x在[t，t+2]恒成立，∴t≥（t+2），∴t≥2，实数t的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．二、解答题15．（2016秋•南京期中）（1）计算：2lg4+lg；（2）已知=3，求的值．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据对数的运算性性质和指数幂的运算性质计算即可，（2）根据指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：（1）原式=lg（16×）+π﹣=1+π，（2）∵=3，∴x+x﹣1=7，∴=（）（x+x﹣1﹣1）=3（7﹣1）=18．【点评】本题考查了对数的运算性质和指数幂的运算性质，属于基础题．16．（2016秋•南京期中）设全集为R，集合A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），记函数（fx）=的定义域为集合B（1）分别求A∩B，A∩∁RB；（2）设集合C={x|a+3＜x＜4a﹣3}，若B∩C=C，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【专题】定义法；集合．【分析】（1）求函数f（x）的定义域得到集合B，根据集合的基本运算即可求A∩B，（∁RB）∩A；（2）根据B∩C=C，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）全集为R，集合A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），函数f（x）=，其定义域需满足，解得：2≤x≤6．故得集合B=[2，6]．则∁RB═（﹣∞，2）∪（6，+∞），那么：A∩B={x|3＜x≤6}．（∁RB）∩A═（﹣1，2）∪（3，6）．（2）集合C={x|a+3＜x＜4a﹣3}，∵B∩C=C，∴C⊆B，当C=∅时，满足题意，此时4a﹣3≤a+3，解得：a≤2；当C≠∅时，要使C⊆B成立，则需要，解得：2＜a≤．综上所得：实数a的取值范围（﹣∞，]．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．17．（2016秋•南京期中）已知定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+2x﹣1（1）求f（﹣3）的值；（2）求函数f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】综合题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）根据题意和奇函数的性质求出f（﹣3）的值；（2）根据奇函数的性质可得f（0）=0，设x＜0则﹣x＞0，由条件和奇函数的性质求出x＜0的表达式，再用分段函数表示出来即可．【解答】解：（1）因为定义在R上的奇函数f（x），满足当x＞0时，f（x）=x2+2x﹣1，所以f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（9+6﹣1）=﹣14；（2）因为定义在R上的奇函数f（x），所以f（﹣0）=﹣f（0），即f（0）=0，设x＜0，则﹣x＞0，因为当x＞0时，f（x）=x2+2x﹣1，所以f（﹣x）=x2﹣2x﹣1=﹣f（x），即当x＜0时，f（x）=﹣x2+2x+1，综上得，f（x）=．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质的应用，利用函数奇偶性的定义将变量进行转化是解决本题的关键，考查转化思想，属于中档题．18．（2016秋•南京期中）2016年10月28日，经历了近半个世纪风雨的南京长江大桥真“累”了，终于停下来喘口气了，之前大桥在改善我们城市的交通状况方面功不可没．据相关数据统计，一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到280辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时．研究表明，当30≤x≤280时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤280时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】（1）设v（x）=ax+b．利用x的范围，列出方程组求解a，b，即可得到函数的解析式．（2）求出车流量f（x）=v（x）•x的表达式，然后求解最大值即可．【解答】解：（1）由题意，得当0≤x≤30时，v（x）=50；当30＜x≤280时，设v（x）=ax+b．由已知，解得a=﹣0.2，b=56，故函数v（x）的表达式为v（x）=；（2）f（x）=x•v（x）=，当0≤x≤30时，f（x）≤1500．2当30＜x≤280时，f（x）=﹣0.2（x﹣140）+3920，∴x=140，f（x）max=3920∴车流密度x为140，f（x）=x•v（x）可以达到最大为3920．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，二次函数的性质以及最值的求法，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．19．（2016秋•南京期中）已知函数f（x）=+m为奇函数，m为常数．（1）求实数m的值；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）若关于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】证明题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）由函数f（x）=+m为奇函数，f（0）=0，可得实数m的值；（2）f（x）=﹣1在R上为减函数，证法一：设＜，作差判断出（）＞（），可得：故（）﹣在上为减函数；x1x2fx1fx2fx=1R证法二：求导，根据f′（x）=﹣＜0恒成立，可得：f（x）=﹣1在R上为减函数；（3）若关于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，即关于x的不等式f（x）＞a有解，求出函数值的上界，可得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=+m为奇函数，∴f（0）=1+m=0．解得：m=﹣1，当m=﹣1时，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，故m=﹣1；（2）由（1）得，f（x）=﹣1在R上为减函数，理由如下；证法一：设x1＜x2，则（）﹣（）﹣﹣+，fx1fx2=11=∵，＞0，，故f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴故f（x）=﹣1在R上为减函数；证法二：∵f（x）=﹣1∴f′（x）=﹣＜0恒成立，故f（x）=﹣1在R上为减函数；（3）若关于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，即关于x的不等式f（f（x））+f（﹣a）＜0有解，即关于x的不等式f（f（x））＜﹣f（﹣a）=f（a）有解，即关于x的不等式f（x）＞a有解，当x→∞时，f（x）→1，故a＜1【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，存在性问题，转化思想，难度中档．20．（2016秋•南京期中）已知函数g（x）=x2﹣ax+b，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为﹣1，设f（x）=．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式f（3x）﹣t•3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（|2x﹣2|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数g（x）=x2﹣ax+b，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为﹣1，可得实数a，b的值；（2）若不等式f（3x）﹣t•3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，t≤在x∈[﹣2，2]上恒成立，进而得到实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（|2x﹣2|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，则方程t2﹣（4+3k）t+（3+2k）=0有两个根，其中一个在区间（0，2）上，一个在区间[2，+∞），进而可得实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵函数g（x）=x2﹣ax+b，其图象对称轴为直线x=2，∴=2，解得：a=4，当x=2时，函数取最小值b﹣4=﹣1，解得：b=3，（2）由（1）得：g（x）=x2﹣4x+3，f（x）=x﹣4+若不等式f（3x）﹣t•3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，则t≤在x∈[﹣2，2]上恒成立，当x，即﹣时，取最小值﹣，3=x=log321故t≤﹣，（3）令t=|2x﹣2|，t≥0，则原方程可化为：t+﹣4+﹣3k=0，即t2﹣（4+3k）t+（3+2k）=0，若关于x的方程f（|2x﹣2|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，则方程t2﹣（4+3k）t+（3+2k）=0有两个根，其中一个在区间（0，2）上，一个在区间[2，+∞），令h（t）=t2﹣（4+3k）t+（3+2k），则，即，解得：k∈[﹣，+∞）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数恒成立问题，方程根的个数，转化思想，难度中档．