新高考理科数学考前三十天集训计算题专训（十五）17．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin2AasinAC0．（1）求角A；3311（2）若a3，△ABC的面积为，求的值．2bc【解析】解：（1）由bsin2AasinAC0得bsin2AasinBbsinA，⋯⋯3分π又0Aπ，所以sinA0，得2cosA1，所以A．⋯⋯6分333π1π33（2）由△ABC的面积为及A得bcsin，即bc6，⋯⋯8分23232又a3，从而由余弦定理得b2c22bccosA9，所以bc33，⋯⋯10分11bc3所以．⋯⋯12分bcbc218．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，oBAD60，PDADAB2，CD4，E为PC的中点．（1）证明：BE//平面PAD；（2）求直线PB与平面BDE所成角的正弦值．【解析】（1）证明：设F为PD的中点，连接EF，FA．1因为EF为△PDC的中位线，所以EF∥CD，且EFCD2．2又AB∥CD，AB2，所以AB∥EF，故四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF．又AF平面PAD，BE平面PAD，所以BE∥平面PAD．⋯⋯4分（2）解：设G为AB的中点，因为ADAB，BAD60o，所以△ABD为等边三角形，故DGAB；因为AB∥CD，所以DGDC；又PD平面ABCD，所以PD，DG，CD两两垂直；⋯⋯6分uuuruuuruuur以D为坐标原点，DG为x轴、DC为y轴、DP为z轴建立空间直角坐标系uuuruuurDxyz，则P0,0,2，B3,1,0，E0,2,1，DE0,2,1，DB3,1,0；uuurnDE02yz0设n(x,y,z)为平面DBE的一个法向量，则uuur，即，nDB03xy03令y1，则n,1,2，⋯⋯9分3uuuruuuruuurnPB6又PB3,1,2，所以cosn,PBuuur，nPB4即直线PB与平面BDE所成角的正弦值为6．⋯⋯12分419．（本小题满分12分）PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5
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采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取18天的数据作为样本，将监测值绘制成茎叶图如下图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）在这18个数据中随机抽取3个数据，求其中恰有2个数据为空气质量达到一级的概率；2183（）在这个数据中随机抽取个数据，用表示其中不．超标数据的个数，求的分布列及数学期望；（3）以这18天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中约有多少天的空气质量为二级．21C4C147【解析】解：（1）概率P3；⋯⋯3分C1868（2）由题意，服从超几何分布：其中N18，M10，n3，k3k03C10C8C10C87的可能取值为0、1、2、3．由Pk3，得P03，C18C1810212213C10C835C10C815C105P13，P23，P33；⋯⋯6C18102C1834C1834分所以的分布列为：0123735155P10210234347351555Mn5得期望E0123或用公式E．⋯⋯910210234343N3分611（3）由题意，一年中空气质量为二级的概率P，360120，1833所以一年（按360天计算）中约有120天的空气质量为二级．⋯⋯12分20．（本小题满分12分）x2y2135已知椭圆C：1ab0经过点A,，且两个焦点F1，F2的坐a2b224标依次为1,0和1,0．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设E，F是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，直线OE的斜率为k1，直线OF的斜率为k2，求当k1k2为何值时，直线EF与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．【解析】解：（1）由椭圆定义得22221351352a10104，2424x2y2即a2，又c1，所以b23，得椭圆C的标准方程为1．⋯⋯4分43（2）设直线EF的方程为ykxb，E(x1,y1)，F(x2,y2)，直线EF的方程与椭圆方程联立，消去y得(34k2)x28kbx4b2120，2228kb4b12当判别式34kb0时，得x1x2，x1x2，⋯⋯6分34k234k2设k1k2m，因为点E，F在直线ykxb上，得(kx1b)(kx2b)mx1x2，22整理得(km)x1x2bk(x1x2)b0，2224b128kb2212k12m即(km)bk()b0，化简得b；⋯⋯8分34k234k234m22b2b12k12m原点O到直线EF的距离d，d，2221k1k(34m)k34m1m由已知有d是定值，所以有，解得m1，⋯⋯10分34m34m即当k1k21时，直线EF与以原点为圆心的定圆相切，1212此时d，定圆的标准方程为x2y2．⋯⋯12分7721．（本小题满分12分）a已知函数fxlnxx2a1x．2（1）若函数fx在区间2,内单调递增，求a的取值范围；（2）设x1，x20x1x2是函数gxfxx的两个极值点，证明：agx1gx2lna恒成立．21【解析】（1）解：fx的定义域为0,，fxaxa1，⋯⋯1分x1若满足题意，只要fxaxa1≥0在2,恒成立即可，xx11即ax1≥恒成立，又x2,，所以a≥．⋯⋯4分x2a2（2）证明：gxfxxlnxxax，则gx的定义域为0,，21ax2ax1gxaxa，若gx有两个极值点x1，x20x1x2，xx221则方程axax10的判别式a4a0，且x1x21，x1x20，a211得a4，又0x1x2，x1x1x2，即0x1，⋯⋯7分aaa2a2a所以gx1gx2lnx1x1ax1lnx2x2ax2lnx1lnax1ax1，222a122设htlntlnatat，其中tx10,，由hta0得t，⋯2ata9分212a221又0，所以ht在区间0,内单调递增，在区间,内aaaaaa2aa单调递减，即ht的最大值为h2ln2lna2lna，a22a从而gx1gx2lna恒成立．⋯⋯12分2
浙公网安备 33021202002483