第七章 7.1.1 条件概率

第七章　§7.1　条件概率与全概率公式7.1.1　条件概率学习目标XUEXIMUBIAO1.结合古典概型，了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一　条件概率的概念一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.思考　P(A|B)，P(B)，P(AB)间存在怎样的等量关系？知识点二　概率乘法公式对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝为概率的乘法公式.P(A)P(B|A)知识点三　条件概率的性质设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.1P(B|A)＋P(C|A)1－P(B|A)1.在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P(A|B).(　　)2.对事件A，B，有P(B|A)＝P(A|B).(　　)3.若P(B|A)＝P(B)，则事件A，B相互独立.(　　)4.P(B|A)相当于事件A发生的条件下，事件AB发生的概率.(　　)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√√2题型探究PARTTWO一、条件概率的定义及计算命题角度1　利用定义求条件概率例1　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；解　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.解　方法一　由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，方法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20，反思感悟利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A).(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示A，B同时发生.跟踪训练1　从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率.解　设A＝“抽到的两张都是假钞”，B＝“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为P(A|B).命题角度2　缩小 样本 保单样本pdf木马病毒样本下载上虞风机样本下载直线导轨样本下载电脑病毒样本下载 空间求条件概率例2　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.解　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个.在这15个情形中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，延伸探究1.在本例条件下，求乙抽到偶数的概率.解　在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的情形有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，2.若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A).解　甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个.反思感悟利用缩小样本空间法求条件概率的方法(1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB.(2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件.跟踪训练2　抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率.解　n(A)＝6×2＝12.由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8知n(B)＝10，其中n(AB)＝6.二、概率的乘法公式例3　一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次.求：(1)第一次取得白球的概率；解　设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.反思感悟概率的乘法公式(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想.(2)该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.跟踪训练3　已知某品牌的手机从1m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率.解　设Ai＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.即这样的手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.三、条件概率的性质及应用例4　在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.解　记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)反思感悟条件概率的性质及应用(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”.(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率.跟踪训练4　有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为___.解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C且B与C互斥.故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)3随堂演练PARTTHREE12345√123452.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是A.0.665B.0.564C.0.245D.0.285√解析　记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.123453.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45√4.投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和小于等于6的概率为___.12345解析　设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“两颗骰子点数之和小于等于6”，123451.知识清单：(1)条件概率：P(B|A)＝.(2)概率乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)·P(A|B).(3)条件概率的性质.2.方法归纳：转化化归、对立统一.3.常见误区：分不清“在谁的条件下”，求“谁的概率”.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR基础巩固12345678910111213141516√12345678910111213141516√√123456789101112131415163.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是√解析　记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，123456789101112131415164.某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是A.0.2B.0.33C.0.5D.0.6√解析　记“数学不及格”为事件A，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.123456789101112131415165.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝“两个点数互不相同”，B＝“出现一个5点”，则P(B|A)等于√解析　出现点数互不相同的共有6×5＝30(种)，出现一个5点共有5×2＝10(种)，123456789101112131415166.袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是____，两次都取到白球的概率是_____.解析　第一次取到白球，则还剩下4个小球，2个白球，2个黑球，7.设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是_____.123456789101112131415160.5解析　设该动物活到20岁为事件A，活到25岁为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，又P(AB)＝P(B)，8.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是______.123456789101112131415160.72解析　“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活才成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.123456789101112131415169.某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人.全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人.从该班任选一人作学生代表.(1)求选到的是第一组的学生的概率；解　设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”.12345678910111213141516(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率.解　方法一　要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B).不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择.1234567891011121314151610.设b和c分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数.(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；12345678910111213141516解　方程有实根，Δ＝b2－4c≥0，∴b2≥4c，又b，c∈{1,2,3,4,5,6}，∴当b＝2时，c＝1，当b＝3时，c＝1,2，当b＝4时，c＝1,2,3,4，当b＝5时，c＝1,2,3,4,5,6，当b＝6时，c＝1,2,3,4,5,6，共19种情况.12345678910111213141516(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率.解　把“出现5点”记为事件A，“方程有实根”记为事件B，满足b2≥4c的有序数对记为(b，c)，则事件A包含的事件有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，事件AB包含的有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种，综合运用1234567891011121314151611.7名同学从左向右站成一排，已知甲站在中间，则乙站在最右端的概率是√解析　记“甲站在中间”为事件A，“乙站在最右端”为事件B，12.已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为A.75%B.96%C.72%D.78.125%12345678910111213141516√解析　记“任选一件产品是合格品”为事件A，12345678910111213141516记“任选一件产品是一级品”为事件B，由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B).由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%，故P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝96%×75%＝72%.1234567891011121314151613.一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取1支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为√12345678910111213141516解析　记“第i(i＝1,2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i＝1,2).由题意可知，要求的概率为P(A2|A1).14.某项射击游戏 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为_____.123456789101112131415160.4解析　记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4.拓广探究1234567891011121314151615.从1～100共100个正整数中任取一数，已知取出的一个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为____.12345678910111213141516解析　设事件C为“取出的数不大于50”，事件A为“取出的数是2的倍数”，事件B是“取出的数是3的倍数”，1234567891011121314151616.如图，三行三列的方阵有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率.12345678910111213141516解　设事件A＝“任取的三个数中有a22”，事件B＝“三个数至少有两个数位于同行或同列”，