新高考数学二轮复习学案训练汇编——分层训练24正弦定理和余弦定理理北师大版新高考数学二轮复习学案训练汇编分层训练(二十四)正弦定理和余弦定理A组基础达标一、选择题sinAcosB1．在△ABC中，若＝，则B的值为()abA．30°B．45°C．60°D．90°sinAcosBB[由正弦定理知：＝，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.]sinAsinB2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定bcC[由正弦定理得＝，sinBsinC340×bsinC2∴sinB＝＝＝3＞1.c20∴角B不存在，即满足...
新高考数学二轮复习学案训练汇编分层训练(二十四)正弦定理和余弦定理A组基础达标一、选择题sinAcosB1．在△ABC中，若＝，则B的值为()abA．30°B．45°C．60°D．90°sinAcosBB[由正弦定理知：＝，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.]sinAsinB2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定bcC[由正弦定理得＝，sinBsinC340×bsinC2∴sinB＝＝＝3＞1.c20∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]π3．△ABC中，c＝3，b＝1，∠B＝，则△ABC的形状为()6A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形2D[根据余弦定理有1＝a＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D.]4．在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．42222A[由余弦定理得AB＝AC＋BC－2AC·BC·cosC，即13＝AC＋9－2AC×3×cos2120°，化简得AC＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]5．(2018·南昌一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，则△ABC的面积为()【133】11A.B．24C．1D．221A[因为cos2A＝sinA，所以1－2sinA＝sinA，则sinA＝(舍负)，则△ABC的21111面积为bcsinA＝×2×＝，故选A.]2222二、填空题6．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则其最大内角的余弦值为________．1－[因为c＞b＞a，所以在△ABC中最大的内角为角C，则由余弦定理，得cosC＝4222a＋b－c4＋9－161＝＝－.]2ab2×2×34227．如图3-7-1所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝32，3AD＝3，则BD的长为________．图3-7-1223[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，3222∴在△ABD中，有BD＝AB＋AD－2AB·ADcos∠BAD，222∴BD＝18＋9－2×32×3×＝3，3∴BD＝3.]8．(2017·全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝________.【134】π[因为a＝2，c＝2，622所以由正弦定理可知，＝，sinAsinC故sinA＝2sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.3π又A∈(0，π)，所以A＝.41221从而sinC＝sinA＝×＝.22223ππ由A＝知C为锐角，故C＝.]46三、解答题9．(2018·银川质检)如图3-7-2，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC－c＝2b.图3-7-2(1)求角A的大小；(2)若c＝2，角B的平分线BD＝3，求a.[解](1)∵2acosC－c＝2b，∴由正弦定理得2sinAcosC－sinC＝2sinB，2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC，∴－sinC＝2cosAsinC.1∵sinC≠0，∴cosA＝－.22π又A∈(0，π)，∴A＝.3ABBD(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，sin∠ADBsinAABsinA2∴sin∠ADB＝＝.BD2π又AB＜BD，∴∠ADB＝.4ππ∴∠ABC＝，∠ACB＝.66∴AC＝AB＝2，由余弦定理得22a＝BC＝AB＋AC－2AB·ACcosA＝6.10．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；33(2)若c＝7，△ABC的面积为，求△ABC的周长．2[解](1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.1π可得cosC＝，所以C＝.23133(2)由已知得absinC＝.22π又C＝，所以ab＝6.322由已知及余弦定理得a＋b－2abcosC＝7，222故a＋b＝13，从而(a＋b)＝25.所以△ABC的周长为5＋7.B组能力提升22211．在△ABC中，sinA≤sinB＋sinC－sinBsinC，则A的取值范围是()ππA.0，B．，π66ππC.0，D．，π33222C[由已知及正弦定理有a≤b＋c－bc，222由余弦定理可知a＝b＋c－2bccosA，22221于是b＋c－2bccosA≤b＋c－bc，∴cosA≥，2在△ABC中，A∈(0，π)．π由余弦函数的性质，得0＜A≤.]312．(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2AA[∵等式右边＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB，等式左边＝sinB＋2sinBcosC，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.由cosC>0，得sinA＝2sinB.根据正弦定理，得a＝2b.故选A.]13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sinA，sinB，sinC成等差数列，且a＝2c，则cosA＝________.【135】1－[因为sinA，sinB，sinC成等差数列，所以2sinB＝sinA＋sinC.4abc因为＝＝，sinAsinBsinC所以a＋c＝2b，3又a＝2c，可得b＝c，29222222c＋c－4cb＋c－a41所以cosA＝＝＝－.]2bc3242×c214．(2018·兰州模拟)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若tanA＋tanC＝3(tanAtanC－1)．(1)求角B；(2)如果b＝2，求△ABC面积的最大值．[解](1)∵tanA＋tanC＝3(tanAtanC－1)，tanA＋tanC即＝－3，∴tan(A＋C)＝－3，1－tanAtanC又∵A＋B＋C＝π，∴tanB＝3，π∵B为三角形内角，∴B＝.3222a＋c－b1(2)在△ABC中，由余弦定理得cosB＝＝，2ac222∴a＋c＝ac＋4，22∵a＋c≥2ac，∴ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立，113∴△ABC的面积S＝acsinB≤×4×＝3，222∴△ABC面积的最大值为3.
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