2022年湖北省荆州市中考数学试卷附真题答案

2022年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）化简a﹣2a的结果是（　　）A．﹣aB．aC．3aD．02．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（　　）．与．与．与．与AadBbdCcdDacA．﹣1＜x＜1B．x＜﹣1或x＞13．（3分）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（　　）C．x＜﹣1或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞17．（3分）关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0实数根的情况，下列判断正确的是（　　）A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根C．没有实数根D．有一个实数根A．60°B．70°C．80°D．90°8．（3分）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交4．（3分）从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（　　）队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（　　）A．平均数B．中位数C．最大值D．方差5．（3分）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（　　）A．﹣B．2﹣πC．D．﹣A．+＝B．+20＝9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（　　）C．﹣＝D．﹣＝206．（3分）如图是同一直角坐标系中函数y1＝2x和y2＝的图象．观察图象可得不等式2x＞的解集为（　　）A．B．C．D．310．（3分）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中．（分）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高＝，底面直径＝，球的最高点到点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反153AB20cmBC12cm瓶底面的距离为，则球的半径为　　（玻璃瓶厚度忽略不计）．复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBn∁nDn的面积是（　　）32cmcmA．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）2211．（3分）一元二次方程x﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）＝k，则k的值是　　．16．（3分）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+22与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常12．（3分）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为　　．加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是　　．（只需写一种情况）三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）已知方程组的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．18．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝（）﹣1，b＝（﹣2022）0．13．（3分）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是　　．19．（8分）为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完CD．若CE＝AE＝1，则CD＝　　．整的统计图表．等级成绩（x）人数A90＜x≤m100B80＜x≤2490C70＜x≤1480Dx≤701021．（8分）荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高AB（含底座），先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°，再由点C向城徽走6.6m到E处，测得顶端A的仰角为45°．已知B，E，C根据图表信息，回答下列问题：三点在同一直线上，测角仪离地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（参考数据：sin32°≈0.530，（1）表中m＝　　；扇形统计图中，B等级所占百分比是　　，C等级对应的扇形圆心角为　　cos32°≈0.848，tan32°≈0.625）．度；（2）若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有　　人；（3）若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人，学校将从这4人中随机选出2人参加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．22．（10分）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．20．（8分）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣﹣﹣01234…图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．y…12410﹣4﹣2﹣﹣1…（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△重叠；ABC请根据图象解答：（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．（1）【观察发现】①写出函数的两条性质：　　；　　；②若函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2）满足x1+x2＝0，则y1+y2＝0一定成立吗？　　．（填“一定”或“不一定”）（3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；（2）【延伸探究】如图2，将过A（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l（4）直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．与函数y＝﹣（x≤﹣1）的图象交于点P，连接PA，PB．①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．23．（10分）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24﹣x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x．（1）求证：DE是半圆O的切线：（2）当点E落在BD上时，求x的值；2022年湖北省荆州市中考数学试卷∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，参考答案与试题解析∵AB＝AC，一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）∴∠ACB＝∠ABC，1．【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】利用合并同类项的法则进行求解即可．∵∠BAC＝40°，【解答】解：a﹣2a＝（1﹣2）a＝﹣a．∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°，故选：A．【点评】本题主要考查合并同类项，解答的关键是对合并同类项的法则的掌握．∴∠1+∠2＝70°．2．【分析】根据在数轴上，互为相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等判断即可．故选：B．【解答】解：∵c＜0，d＞0，|c|＝|d|，【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，解答的关键是由平行线的性质得∠1+∠2＝∠ACB．∴c，d互为相反数，4．【分析】由于共有13名排球队员，挑选7名个头高的参加校排球比赛，故应考虑中位数的大小．故选：C．【解答】解：共有13名排球队员，挑选7名个头高的参加校排球比赛，所以小明需要知道自己是否入选．【点评】本题考查了相反数，实数与数轴，掌握相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等是解题的关键．我们把所有同学的身高按大小顺序排列，第7名学生的身高是这组数据的中位数，3．【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠所以小明知道这组数据的中位数，才能知道自己是否入选．ABC，从而可求解．故选：B．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，【点评】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5．【分析】根据甲、乙的速度比是3：4，可以设出甲和乙的速度，然后根据甲比乙提前20min到达基地，可以列出相应的方程．∵l1∥l2，【解答】解：由题意可知，甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，∴l1∥l2∥CD，+＝，8．【分析】作AF⊥BC，由勾股定理求出AF，然后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE得出答案．【解答】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，即+＝，设切点为F，连接AF，则AF⊥BC．故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．6．【分析】结合图象，数形结合分析判断．【解答】解：由图象，函数y1＝2x和y2＝的交点横坐标为﹣1，1，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，∴当﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即2x＞，∴CF＝BF＝1．故选：D．在Rt△ACF中，AF＝＝，【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质，利用数形结∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE合思想解题是关键．＝×2×﹣7．【分析】由根的判别式的符号来判定原方程的根的情况．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0根的判别式Δ＝（﹣3k）2﹣4×1×（﹣2）＝9k2+8＞0，＝﹣，∴x2﹣3kx﹣2＝0有两个不相等实数根，故选：D．故选：．B【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积﹣扇形的面积是解题的关键．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：9．【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠＝∠＝°，得到∥，根据平行线分线段成比例定理得到：＝：＝：，①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；AOCAQP90COPQOQAOCPAC12根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，③当Δ＜0时，方程无实数根．∵OP∥AB，上面的结论反过来也成立．∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∴四边形A1BCC1是矩形，∵P（1，1），∴A1C1＝BC，A1C1∥BC，∴PQ＝OQ＝1，同理，B1D1＝AB，B1D1∥AB，∴AO＝2，∴A1C1⊥B1D1，∴tan∠OAP＝＝＝．∴S1＝ab，故选：C．∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，∴C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，∴S2＝C1×B1D1＝ab，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到……OQ：AO＝CP：AC＝1：2是解题的关键．依此可得Sn＝，10．【分析】连接A1C1，D1B1，可知四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的一半，则S1＝ab，再根据三故选：A．角形中位线定理可得C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，则S2＝C1×B1D1＝ab，依此可得规律．【点评】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，通过计算S1、S2发现规律是解决问题的关【解答】解：如图，连接A1C1，D1B1，键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k的值．【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．∴x2﹣4x＝﹣3，13．【分析】根据的范围，求出3﹣的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可．∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，【解答】解：∵1＜＜2，∴（x﹣2）2＝1，∴1＜3﹣＜2，∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，∵若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，∴k＝1，∴a＝1，b＝3﹣﹣1＝2﹣，故答案为：1．∴（2+a）•b＝（2+）（2﹣）＝2，【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．故答案为：2．12．【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠A＝∠C，AB＝CD，根据全等三角形的判定可得出结论．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．【解答】解：添加BE＝DF．14．【分析】如图，连接BE，根据作图可知MN为AB的垂直平分线，从而得到AE＝BE＝3，然后利用勾股定理∵四边形ABCD是平行四边形，求出BC，AB，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．∴AB∥CD，∠A＝∠C，AB＝CD，【解答】解：如图，连接BE，∴∠E＝∠F，∵CE＝AE＝1，∵BE＝DF，∴AE＝3，AC＝4，∴BE+AB＝CD+DF，而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，即AE＝CF，∴AE＝BE＝3，在△AEG和△CFH中，在Rt△ECB中，BC＝＝2，，∴AB＝＝2，∴△AEG≌△CFH（ASA）．∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，故答案为：BE＝DF（答案不唯一）．∴CD＝AB＝．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．【点评】本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，同时也利用勾股定理进行计算．16．【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．15．【分析】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM＝AD【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，【解答】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，当k＝0时，函数解析为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，设球的半径为rcm，当k≠0时，此函数是二次函数，由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），∵它们的图象与x轴都只有一个交点，由垂径定理得：AM＝DM＝AD＝6（cm），∴它们的顶点分别在x轴上，在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，∴＝0，即62+（12﹣r）2＝r2，解得：k＝﹣1，解得：r＝7.5，∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，即球的半径为7.5cm，∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，故答案为：7.5．综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．【点评】本题考查了新定义，利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，理解题意，利用分类讨论的∵a＝（）﹣1＝3，b＝（﹣2022）0＝1，思想是解题是关键．∴原式＝三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）＝．17．【分析】用加减消元法求出方程组的解，代入2kx﹣3y＜5即可得到k的取值范围．【解答】解：①+②得：2x＝4，【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质，将分式通分和约分．∴x＝2，19．【分析】（1）由D的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，即可解决问题；①﹣②得：2y＝2，（2）由全校共有学生人数乘以成绩为A等级的学生所占的比例即可；∴y＝1，（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，再由概率公式求解即可．代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5，【解答】解：（1）抽取的学生人数为：10÷＝60（人），∴k＜2．答：k的取值范围为：k＜2．∴m＝60﹣24﹣14﹣10＝12，【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元扇形统计图中，B等级所占百分比是：24÷60×100%＝40%，C等级对应的扇形圆心角为：360°×＝84°，方程转化为一元是解题的关键．故答案为：12，40%，84；18．【分析】把除化为乘，再用乘法分配律，约分后计算同分母的分式相加减，化简后将a、b的值代入即可得到（）估计其中成绩为等级的共有：×＝（人），答案．2A1400280【解答】解：原式＝[﹣]•故答案为：280；（3）画树状图如下：＝•﹣•＝﹣＝共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，＝，∴甲、乙两人至少有1人被选中的概率为＝．【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及统计表和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列∴DG＝FG+DF＝（x+6.6）米，出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之在Rt△AGF中，∠AFG＝45°，比．∴AG＝FG•tan45°＝x（米），20．【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；在Rt△AGD中，∠ADG＝32°，（2）根据菱形的定义画出图形即可．∴tan32°＝＝≈0.625，【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；∴x＝11，（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．经检验：x＝11是原方程的根，∴AB＝AG+BG＝11+1.5＝12.5（米），∴城徽的高AB约为12.5米．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定，菱形的判定，属于中考常考题型．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助21．【分析】延长DF交AB于点G，则∠AGF＝90°，DF＝CE＝6.6米，CD＝EF＝BG＝1.5米，设FG＝x米，线是解题的关键．先在Rt△AGF中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，再在Rt△AGD中，利用锐角三角函数的定义列出22．【分析】（1）①根据函数图象可得性质；关于x的方程，进行计算即可解答．②假设x1＝﹣，则y1＝1，再根据x2求出y2的值，可知y1+y2＝0不一定成立；【解答】解：延长DF交AB于点G，（2）①首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x，设直线AB与y轴交于C，利用平行线之间的距离相等，可得△PAB的面积＝△AOB的面积，从而得出答案；则∠AGF＝90°，DF＝CE＝6.6米，CD＝EF＝BG＝1.5米，②设直线l与y轴交于D，同理得△PAB的面积＝△ABD的面积，即可解决问题．设FG＝x米，【解答】解：（1）①由图象知：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；故答案为：函数有最大值为，当＞时，随的增大而增大（答案不唯一）；4x0yx∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝＝，②假设x1＝﹣，则y1＝1，∴△PAB的面积为；∵x1+x2＝0，②设直线l与y轴交于D，∴x＝，2∵l∥AB，∴y2＝﹣8，∴△PAB的面积＝△ABD的面积，∴y1+y2＝0不一定成立，故答案为：不一定；（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，由题意知，CD＝n，当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x+3﹣3＝﹣x，∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD设直线AB与y轴交于C，＝＝．∴△PAB的面积为．【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，三角形的面积等知识，利用平行线进行等面积转化是解题的关键．23．【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；则△PAB的面积＝△AOB的面积，（2）①构建方程即可求出该产品第一年的售价；②根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，【解答】解：（1）根据题意得：w＝（x﹣8）（24﹣x）﹣60＝﹣x2+32x﹣252；∴∠DAO＝90°，（2）①∵该产品第一年利润为4万元，∵将△OAD沿OD折叠，得到△OED，∴4＝﹣x2+32x﹣252，∴∠OED＝∠DAO＝90°，解得：x＝16，∴OE⊥DE，答：该产品第一年的售价是16元．∵OE是半径，②∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，∴DE是⊙O的切线；∴，（2）解：如图2中，当点E落在BD上时，解得11≤x≤16，设第二年利润是w'万元，w'＝（x﹣6）（24﹣x）﹣4＝﹣x2+30x﹣148，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝15，又11≤x≤16，∴x＝11时，w'有最小值，最小值为（11﹣6）×（24﹣11）﹣4＝61（万元），在Rt△ADB中，∠DAB＝90°，AD＝3，AB＝4，答：第二年的利润至少为61万元．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或∴BD＝＝＝5，函数解决问题，属于中考常考题型．∵S△ADB＝S△ADO+S△BDO，24．【分析】（1）证明OE⊥DE，可得结论；∴×3×4＝×3×x+×5×x，（2）图2中，当点E落在BD上时，利用面积法构建方程求出x即可；∴x＝．（3）图2中，当点E落在BD上时，利用面积法求出AJ，AE，再利用相似三角形的性质求解即可；（4）当⊙O与CD相切时，x＝3，当⊙O经过点C时，x2＝（4﹣x）2+32，解得x＝，结合图形，判断即可．（3）解：图2中，当点E落在BD上时，观察图象可知，当＜x＜3或＜x≤4时，半圆O与△BCD的边有两个交点．【点评】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．∵DA＝DE，OA＝OE，∴OD垂直平分线段AE，∵•AD•AO＝•DO•AJ，∴AJ＝，∴AE＝2AJ＝，∵AG是直径，∴∠AEG＝∠ABF＝90°，∵∠EAG＝∠BAF，∴△AEG∽△ABF，∴y＝＝（）2＝＝（0＜x＜4）；（4）当⊙O与CD相切时，x＝3，当⊙O经过点C时，x2＝（4﹣x）2+32，∴x＝，