2021年人教版高中数学选择性必修第三册5.3.2《函数的极值与最大(小)值》（2）导学案 (含答案)

5.3.2 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数的极值与最大(小)值（2）导学案1．了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；2．掌握求函数最值的方法及其应用；3．体会数形结合、化归转化的数学思想．重点：求函数最值的方法及其综合应用难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系1.求函数y=f(x)的极值的一般方法：解方程f'(x)=0.当f'(x0)=0时：如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0，那么f(x0)为极大值；如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0，那么f(x0)为极小值；2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的____；(2)将函数y＝f(x)的______与____处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______．极值；各极值；端点；最大值；最小值1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(　)(2)开区间上的单调连续函数无最值．(　)(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小值就是最大(小)值．(　　)(4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点．(　　)新知探究我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大的值，但是，在解决实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。探究1：函数y=f(x)的在区间[a,b]的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？探究2：那么f(x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢?探究3：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．连续不断问题1：函数的极值与最值的区别是什么？二、典例解析例6:求在[0,3]的最大值与最小值.求函数最值的着眼点1从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.2单调区间取端点,当图象连续不断的函数fx在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.跟踪训练1.　求下列各函数的最值．(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).例7:给定.（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）画出函数的大致图像；（3）求出方程=()的解的个数.函数的图像直观地反映了函数的性质，通常可以按如下步骤画出函数的大致图像（1）求出函数的定义域；（2）求导数及函数的零点；（3）用零点将的定义域为若干个区间，列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 给出在各个区间上的正负，并得出单调性与极值；（4）确定图像经过的一些特殊点，以及图像的变化趋势；（5）画出的大致图像.例8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分,其(单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm.(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?1．优化问题生活中经常遇到求、、等问题，这些问题通常称为优化问题．利润最大；用料最省；效率最高2．解决优化问题的基本思路函数；导数跟踪训练2．请你 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一个帐篷．如图所示，它的正视图和侧视图都是由矩形和三角形构成的图形，俯视图是正六边形及其中心与顶点的连线构成的图形．试问：当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？并求出最大体积．1．函数y＝eq\f(lnx,x)的最大值为(　　)A．e－1　B．e　　　C．e2　　　D．102．设函数f(x)＝x3－eq\f(x2,2)－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．3．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值．4.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．参考答案：知识梳理1．解析：(1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．(3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误．(4)正确．[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√学习过程新知探究探究1：极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；极小值：f(x1)、f(x3)、f(x5)；探究2：最大值：f(a);最小值：f(x3)探究3：最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)问题1：函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．典例解析例6:解：因为令0,解得：又因为f(0)=4,f(3)=1所以,当x=0时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值4，当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值-.跟踪训练1.[解]　(1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：x－2(－2，－1)－1(－1，1)1(1，2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－1↗11↘－1↗11从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，得cos2x＝eq\f(1,2)，又∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴2x∈[－π，π]．∴2x＝±eq\f(π,3).∴x＝±eq\f(π,6).∴函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的两个极值分别为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,6)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,6).又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(π,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\f(π,2).比较以上函数值可得f(x)max＝eq\f(π,2)，f(x)min＝－eq\f(π,2).例7:解：（1）函数的定义域为因为令0,解得：、的变化情况如表所示所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增。当时，有极小值=（2）令=0，解得：当时，0;当时，0.所以的图像经过特殊点A(),B,C.当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而当时，,根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示（3）方程=()的解的个数为函数的图像与直线的交点个数。由（1）及图可得，当时，有最小值所以，方程=的解得个数有如下结论；当<时，解为0个当或时，解为1个当<0时，解为2个例8.解：由题意可知，每瓶饮料的利润是=所以令0,解得=2.当时，<0;当时，0.因此，当半径>2时，0,单调递增，即半径越大，利润越高；当半径2时，<0,单调递减，即半径越大，利润越低。（1）半径为6cm时，利润最大（2）半径2cm时，利润最小，这时<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润时负值。跟踪训练2．解：依题意，该帐篷的下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥，如图所示．设帐篷的顶点为O，底面中心为O1，OO1为xm，帐篷的体积为V(x)m3，且10，V(x)为增函数；当20，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.所以，当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．