数学分析教程 上册 常庚哲 史济怀 习题解答

练习题1.1January21,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.1.1反反反证证证法法法。。。设设设r=mn是是是有有有理理理数数数，，，w是是是无无无理理理数数数。。。若若若r+w=pq，，，则则则w=pq�mn=pn�qmqn为为为有有有理理理数数数，，，与与与题题题设设设相相相悖悖悖联联联系系系“““有有有理理理数数数域域域”””的的的概概概念念念，，，即即即加加加减减减乘乘乘除除除四四四则则则运运运算算算封封封闭闭闭，，，用用用反反反证证证法法法。。。1.1.2根根根据据据“““对对对任任任意意意实实实数数数，，，总总总有有有rn!x”””，，，仿仿仿照照照本本本节节节的的的方方方法法法构构构造造造一一一个个个有有有理理理数数数列列列pq<r1+r22<p+1qq!1即即即得得得证证证；；；利利利用用用此此此有有有理理理数数数列列列和和和例例例1的的的结结结论论论构构构造造造p<pp2+1<p+1无无无理理理数数数列列列（（（当当当q充充充分分分大大大时时时，，，p也也也充充充分分分大大大）））即即即得得得证证证。。。1.1.3反反反证证证法法法。。。3p2=mn于于于是是是m3=2n3,利利利用用用奇奇奇偶偶偶性性性：：：m为为为偶偶偶数数数则则则m3=(2p)3=2n3，，，4p3=n3n也也也为为为偶偶偶数数数；；；而而而mn约约约分分分为为为最最最简简简形形形式式式后后后不不不可可可能能能都都都为为为偶偶偶数数数。。。1.1.4反反反证证证法法法。。。利利利用用用例例例1的的的结结结论论论，，，�p2+p3�2=5+2p6不不不是是是完完完全全全平平平方方方数数数，，，即即即得得得证证证。。。1.1.5(0,0)是是是有有有理理理点点点。。。反反反证证证法法法。。。直直直接接接展展展开开开，，，x2�2p2x+y2=0，，，按按按照照照第第第1题题题结结结论论论，，，上上上式式式左左左边边边是是是无无无理理理数数数，，，而而而右右右边边边是是是零零零。。。1.1.6当当当ab�0时时时，，，取取取等等等号号号；；；当当当ab>0时时时，，，jjaj�jbjj<max(jaj;jbj)<jaj+jbj=ja+bj。。。1.1.7a，，，b符符符号号号相相相同同同，，，则则则ab>0。。。1.1.8数数数轴轴轴上上上，，，x到到到�1的的的距距距离离离小小小于于于其其其到到到1的的的距距距离离离。。。1.1.9归归归纳纳纳法法法。。。n=2时时时成成成立立立，，，设设设jnPi=1aij6nPi=1jaij，，，于于于是是是jnXi=1aij=jnXi=1ai+an+1j6jnXi=1aij+jan+1j6nXi=1jaij+jan+1j=n+1Xi=1jaij1.1.10按按按a<b;a>b;a=b讨讨讨论论论即即即证证证。。。max(a,b)=a+b2+ja�bj2 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 表表示示示从从从a;b的的的中中中点点点出出出发发发，，，向向向前前前（（（数数数轴轴轴正正正向向向）））一一一半半半的的的a;b间间间距距距，，，正正正好好好是是是a;b中中中较较较大大大者者者。。。min(a,b)=a+b2�ja�bj2表表表示示示从从从a;b的的的中中中点点点出出出发发发，，，向向向后后后（（（数数数轴轴轴负负负向向向）））一一一半半半的的的a;b间间间距距距，，，正正正好好好是是是a;b中中中较较较小小小者者者。。。1.1.11证证证明明明：：：m6aibi6Mbim6ai6MbimnXi=1bi6nXi=1ai6MnXi=1bi1因为b1;b2;���;bn都是正数，nPi=1bi>0,所以m6a1+a2+���+anb1+b2+���+bn6M1.1.12归归归纳纳纳法法法。。。n=2显显显然然然；；；设设设(1+x)n>1+nx,又又又x>�1,则则则(1+x)n(1+x)>(1+nx)(1+x)>1+(n+1)x1.1.13由由由对对对称称称性性性，，，只只只需需需考考考察察察06x<y，，，原原原式式式等等等价价价于于于xm(yn�xn)+ym(xn�yn)60(xm�ym)(yn�xn)602练习题1.2January24,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.2无无无尽尽尽小小小数数数1.2.1直直直接接接证证证明明明；；；任意有理数pq，对于确定的q，可按其除q的余数将整数分成q类；由除法过程，进位后的被除数必然属于某一同余类，从而至多经过q次，余数就会重复出现，所以pq不是有尽小数就是无尽循环小数；任意无尽循环小数a=0:_a1���_an，则a�10�n=0:0���0|{z}n个0_a1���_an，两式相减得a�10n�110n=0:a1���an，于是a=a1���an10n�1=a1���an9���9|{z}n个9为有理数。1.2.2实实实数数数一一一一一一对对对应应应!长长长度度度一一一一一一对对对应应应!无无无尽尽尽小小小数数数（（（公公公理理理）））由上题有理数()循环小数（有尽小数看做0循环），故无理数()无尽不循环小数。1.2.30:24999���=0:25=14，，，0:_37_5=375999=125333，，，4:_51_8=4518999=41427=12227注意0:_9=1，可用极限来定义无尽不循环小数。1.2.4反反反证证证法法法；；；无尽不循环的性质很明显，对任意固定的n，总可以有连续n位是0，也可以有连续n位是1，于是只要假设存在循环节，总能找出反例。1.2.5（（（1）））反反反证证证法法法；；；若s6=0，则p2=�rs为有理数（注意有理数域的概念，习题1.1）；（2）设法化为（1）的情况；平方，r+sp2=�tp3，�r+sp2�2=��tp3�2。1.2.6归归归纳纳纳法法法；；；(1+a1)���(1+an)(1+an+1)>(1+a1+���+an)(1+an+1)=1+a1+���+an+an+1+nXi=1aian+1条件a1;a2;���;an同号使得上式P中各项均为正。11.2.7从从从结结结论论论出出出发发发；；；直接应用上题结论，两式右边即得证；观察（1）式左边恰是（2）式右边的倒数，若1Q(1�a)>Q(1+a)即得证；而Y(1�a)Y(1+a)=nYi=1�1�a2i�<12练习题1.2January24,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.2无无无尽尽尽小小小数数数1.3数数数列列列极极极限限限1.3.1“““"�N”””（（（1）））11+pn<1pn<"，，，取取取n>1"2（（（2）））sinnn61n<"，，，取取取n>1"（（（3）））原原原式式式单单单调调调递递递减减减，，，故故故可可可取取取2n，，，(2n)!(2n)2n<nn(2n)n(2n)2n=�12�n<"，，，由由由例例例3知知知可可可取取取n>ln"ln12（（（4）））j(�1)n�1nj<1n<"，，，取取取n>1"（（（5）））j2n+35n�10�25j=j75n�10j<"，，，取取取n>15�7"+10�（（（6）））j0:9���9�1j=10�n<"，，，取取取n>ln1"ln10（（（7）））j1+2+���+nn2�12j=j(n+1)n2n2�12j=12n<"，，，取取取n>12"（（（8）））j12+22+���+n2n3�13j=jn(n+1)(2n+1)6n3�13j=3n2+n6n3<3n2+n26n3=23n<"，，，取取取n>23"（（（9）））jarctann��2j=�2�arctann<"，，，arctann>�2�"，，，取取取n>tan��2�"�（（（10）））�2�"<arctann2=n2arctannn2+n26n2arctann1+n2<arctann<�2+"，，，取取取n>max�tan(��2");tan��2�"� 1.3.2按按按定定定义义义；；；jjanj�jajj6jan�aj<"，即得证；逆命题不成立，如an=(�1)n1.3.3按按按定定定义义义；；；取"=12，若k2(A�";A+")，则k�1<A�"<k<A+"<k+1，则(A�";A+")中不含其它整数。1.3.4按按按定定定义义义重重重新新新叙叙叙述述述即即即可可可；；；（（（1）））不不不能能能；；；如如如f�1;1;�1;1;���g即即即an=(�1)n，，，取取取a=11（（（2）））不不不能能能；；；如如如��12;12;�12;12;��� 即即即an=12(�1)n，，，取取取a=0（（（3）））可可可以以以；；；极极极限限限定定定义义义中中中任任任意意意正正正数数数"的的的“““任任任意意意”””强强强调调调的的的是是是任任任意意意小小小，，，"<1约约约束束束不不不起起起作作作用用用；；；（（（4）））可可可以以以；；；1k<"，，，1k本本本身身身是是是无无无穷穷穷小小小（（（k!1）））（（（5）））可可可以以以；；；即即即从从从某某某项项项起起起，，，后后后面面面各各各项项项全全全在在在(a�";a+�)中中中，，，取取取"=minf";�g即即即可可可。。。1.3.5对对对于于于数数数列列列fang，，，有有有"0>0;使使使得得得8n2N�;9n0>n;s:t:jan�aj>"0或者说fang有无限项在区间(a�"0;a+"0)以外。1.3.6从从从结结结论论论出出出发发发（（（观观观察察察法法法）））；；；或或或利利利用用用递递递推推推公公公式式式；；；（1）整理条件易得an+bn+cn=an�1+bn�1+cn�1=���=a+b+c暂不考虑存在性，对条件两边取极限，可以解出limn!1an=limn!1bn=limn!1cn=a+b+c3从此结论出发，按定义anjan�a+b+c3j=13j2an�bn�cnj<"于是考察an�bn;an�cn由原条件易得an�bn=�12(an�1�bn�1)等比数列jqj<1，得证。（2）将三个条件循环代入得an=12(bn�1+cn�1)=12�an�2+cn�22+an�2+bn�22�=12�an�2+cn�2+bn�22�=12(an�2+an�1)求通项公式，通常以两个等比数列为坐标；令q2�12q�12=0解得q1=�12;q2=1于是�an+12an�1 为公比是q=1的等比数列，fan�an�1g为公比是q=�12的等比数列，于是an=2�an+12an�1�+(an�an�1)3代入通项公式，再求极限即得证。fang的通项公式也可以由两个等比数列之一用初等方法推出。2练习题1.4January25,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.2无无无尽尽尽小小小数数数1.3数数数列列列极极极限限限1.4收收收敛敛敛的的的性性性质质质1.4.1唯唯唯一一一性性性、、、有有有界界界性性性、、、子子子列列列、、、四四四则则则运运运算算算、、、无无无穷穷穷小小小、、、夹夹夹逼逼逼准准准则则则、、、保保保号号号性性性（（（1）））不不不能能能判判判定定定；；；如如如fng+fng;fng+f�ng，，，f(�1)ng�f(�1)ng;fng�fng（（（2）））发发发散散散；；；反反反证证证法法法，，，利利利用用用四四四则则则运运运算算算性性性质质质bn=(an+bn)�an（（（3）））发发发散散散；；；反反反证证证法法法，，，利利利用用用四四四则则则运运运算算算性性性质质质bn=anbnan（（（4）））不不不能能能判判判定定定；；；如如如f0g�fng;�1n ��n2 （（（5）））不不不能能能判判判定定定；；；如如如sinn612n+sinn61n+sinn，，，n612n+n61n+n1.4.2按按按定定定义义义；；；充分靠后时an+1;an2(a�";a+")故1�2"a�"<a�"a+"<an+1an<a+"a�"<1+2"a�"当a6=0时，2"a�"是任意小；若a=0，则任取一个jqj<1的等比数列或an=�1n��f�1;�1;1g;�an+1an�=�nn+1��f1;�1;�1g极限不存在。1.4.3仅仅仅用用用本本本节节节前前前的的的知知知识识识求求求解解解（（（1）））lim3n+(�2)n3n+1+(�2)n+1=lim13+13(�23)n1+(�23)n=13（（（2）））lim�1+2+���+nn+2�n2�=limn(n+1)�n(n+2)2(n+2)=lim�n2(n+2)=lim�12(1+2n)=-121（（（3）））limpn�pn+1�pn�=limpn(pn+1�pn)(pn+1+pn)pn+1+pn=limpnpn+1+pn=lim1p1+1n+1=12（（（4）））化化化简简简pn2+n�n=�pn2+n�n��pn2+n+n�pn2+n+n=npn2+n+n=1q1+1n+1当n充分大时，13<1p1+1n+1<12�13�1n<0@1q1+1n+11A1n<�12�1n由夹逼准则得原式lim�pn2+n�n�1n=1（（（5）））同同同上上上，，，当当当n充充充分分分大大大时时时，，，12<1�1n<1（（（6）））考考考虑虑虑(n)1n!1，，，lim(n2�n+2)1nn1nn1n=lim�n�1+2n�1n=lim�1�1n+2n2�1n，，，同同同上上上；；；（（（7）））同同同上上上，，，当当当n充充充分分分大大大时时时，，，12<arctann<�2（（（8）））同同同上上上，，，162sin2n+cos2n=1+sin2n62（（（9）））化化化简简简limh�n2+1�18�(n+1)14ih�n2+1�18+(n+1)14i(n2+1)18+(n+1)14=lim�n2+1�14�(n+1)12(n2+1)18+(n+1)14同理=lim�n2+1�12�(n+1)h(n2+1)18+(n+1)14ih(n2+1)14+(n+1)12i同理=limn2+1�(n+1)2h(n2+1)18+(n+1)14ih(n2+1)14+(n+1)12ih(n2+1)12+(n+1)i分子为�2n=lim�2h(n2+1)18+(n+1)14ih(n2+1)14+(n+1)12i(n2+1)12+(n+1)n=lim�2h(n2+1)18+(n+1)14ih(n2+1)14+(n+1)12ih�1+1n2�12+1+1ni=01.4.4求求求极极极限限限（（（构构构造造造：：：拆拆拆项项项、、、添添添项项项）））（（（1）））lim1+a+a2+���+an�11+b+b2+���+bn�11�a1�b1�b1�a=lim1�an1�bn1�b1�a=1�b1�a（（（2）））lim�1�12+12�13+���+1n�1n+1�=lim�1�1n+1�=1（（（3）））lim�1+12��1+13�����1+1n��1�12��1�13�����1�1n�=limn+121n=122（（（4）））lim21+22+31+2+3���2+3+���+n1+2+3+���+n=lim4�13�25�24�3���(2+n)(n�1)(1+n)�n=lim2+n31n=13（（（5）））讨讨讨论论论当当当n为偶数时，lim1nj(1�2)+(3�4)+���+(n�1�n)j=lim1nj�1�n2j=12当n为奇数时，lim1nj1+(�2+3)+(�4+5)+���+(�(n�1)+n)j=lim1nj1+1�n�12j=12（（（6）））化化化简简简lim11�x(1�x)(1+x)�1+x2��1+x4�����1+x2n�1�=lim11�x�1�x2n�=11�x1.4.5求求求极极极限限限（（（例例例5）））（（（1）））结结结合合合本本本节节节内内内容容容，，，从从从条条条件件件06a6b猜猜猜测测测出出出题题题意意意图图图可可可能能能是是是考考考夹夹夹逼逼逼准准准则则则；；；(bn)1n6(an+bn)1n6(2bn)1n得极限为b；（（（2）））直直直接接接推推推广广广；；；取取取A=maxfa1;a2;���;amg(An)1n6(an1+an2+���+anm)1n6(mAn)1n得极限为A。1.4.6直直直接接接放放放缩缩缩；；；明显应该用夹逼准则nan�1<[nan]6nan以下为四则运算，略。1.4.7平平平均均均值值值不不不等等等式式式H6G6A（（（例例例4）））夹逼准则n1a1+1a2+���+1an6npa1a2���an6a1+a2+���+ann左边为�1a1+1a2+���+1ann��1当a6=0时，显然得证；当a=0时，0<npa1a2���an6a1+a2+���+ann右边的极限为0，得证。其实对于a=+1也是成立的，n1ano!0则nq1a11a2���1an=1npa1a2���an!0于是npa1a2���an!+11.4.8利利利用用用上上上题题题结结结论论论（（（题题题目目目本本本身身身已已已经经经给给给出出出提提提示示示）））（（（1）））na1;a2a1;a3a2;���;an+1ano符符符合合合4.7的的的条条条件件件；；；（（（2）））fa;a;a;���;ag符符符合合合（（（1）））的的的条条条件件件；；；例例例5的的的新新新证证证法法法，，，但但但其其其依依依据据据4.7的的的证证证明明明依依依然然然用用用到到到了了了夹夹夹逼逼逼准准准则则则；；；（（（3）））f1;2;3;���;ng符符符合合合（（（1）））的的的条条条件件件；；；1.3例例例4的的的新新新证证证法法法，，，但但但其其其依依依据据据4.7的的的证证证明明明依依依然然然用用用到到到了了了均均均值值值不不不等等等式式式来来来放放放缩缩缩；；；（（（4）））�1;12;13;���;1n 符符符合合合4.7的的的条条条件件件。。。31.4.9同同同例例例4，，，“““移移移动动动平平平均均均”””。。。1.4.10按按按提提提示示示；；；pn+p�pn=(pn+p�pn)(pn+p+pn)pn+p+pn=ppn+p+pn!0;p=1;2;3;���;p；有限个0相加仍为01.4.11按按按提提提示示示；；；n=2a3b5c7d11e13f���质数的个数是无穷的，所以8">0;9A为第r个质数;s:t:1A<"于是存在N1=2�3�5�����Ar�1�AP(N1)N1=r2�3�5�����A易知r<A，所以考虑当A充分大时，r也足够大（r>4），r<(r�1)!P(N1)N1=r2�3�5�����A<1�2�3�����(r�1)2�3�5�����Ar�1�A<1A<"再证从N1往后的所有整数都小于"易知：记B为第r+1个质数，则完全同上的有P(N2)N2=r+12�3�5�����A�B<1B<1A<"质数的个数是无穷的，上式可“蛙跳”至无穷，于是只须证明N1到N2之间的整数n满足结论；n<N2)P(n)<r+1对于N1<n<N2P(n)n<r+1N1<"因为当A充分大时，r也足够大（r>4），r+1<(r�1)!完全同上，得证。1.4.12按按按提提提示示示先证等式r1+kn2�1=1n20@k1+q1+kn21Ar1+kn2�1!r1+kn2+1!=kn2于是xn=nXk=11n20@k1+q1+kn21A=1n2nXk=10@k1+q1+kn21A其中1n>kn2=1nkn>1n2k1+q1+1n6k1+q1+kn26k1+q1+1n2得证。4练习题1.5January26,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.2无无无尽尽尽小小小数数数1.3数数数列列列极极极限限限1.4收收收敛敛敛的的的性性性质质质1.5无无无穷穷穷大大大无界、无界子列、子列、加法和乘法1.5.1放放放缩缩缩法法法；；；当n充分大时（n>4）P(n)=(n�4)n2+(5n�6)>n2P(�n)=�n3�4n2�5n�6<�n31.5.2也也也是是是习习习题题题1.4.7在在在a为为为无无无穷穷穷大大大情情情况况况下下下的的的特特特例例例；；；1+2+3+���+nn=(1+n)n2n=1+n21.5.3也也也是是是习习习题题题1.4.7在在在a为为为无无无穷穷穷大大大情情情况况况下下下的的的特特特例例例；；；12+22+32+���+n2n2=n(n+1)(2n+1)6n2=�1+1n�2n+161.5.4分分分子子子有有有理理理化化化；；；n�pn�pn+1��pn+pn+1�pn+pn+1=n(n�(n+1))pn+pn+1=pn(�1)1+q1+1n<�pn21.5.5放放放缩缩缩法法法；；；1pn+1+1pn+2+���+1pn+n>npn+n11.5.6观观观察察察法法法；；；an+1=an+1an=an�1+1an�1+1an=���=a1+1a1+1a2+1a3+���+1an可考虑调和级数；显然fang是递增的正数列，若能证明an<n即可；归纳法an+1=an+1an<n+1an而由均值不等式易知an=an�1+1an�1>2san�11an�1=2得证。本本本题题题也也也是是是1.11节节节例例例2的的的一一一个个个实实实例例例：：：limann存在说明an!+1；只须说明fang满足1.11节例2的条件即可；同上an>2an+1=an+1an6an+a1用归纳法an+m+1=an+m+1an+m6an+am+1an+m6an+am+1am=an+am+1得证。调调调和和和级级级数数数发发发散散散，，，其其其和和和趋趋趋于于于+1的的的证证证明明明；；；¶1.6节例2a2k=1+12+�13+14�+�15+16+17+18�+�19+���+116�+���+�12k�1+1+���+12k�>1+12+�14+14�+�18+18+18+18�+�116+���+116�+���+�12k+12k+���+12k�=1+12+12+12+12+���+12|{z}k个12=1+k2·1.8节例4an+p�an=1(n+1)�+1(n+2)�+���+1(n+p)�>1n+1+1n+2+���+1n+p>pn+p于是总有a2n�an>nn+n=12单调递增的数列fang不是基本列，不存在极限，故无界，从而fang!+1¸1.7节习题8、习题102练习题1.6January26,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.2无无无尽尽尽小小小数数数1.3数数数列列列极极极限限限1.4收收收敛敛敛的的的性性性质质质1.5无无无穷穷穷大大大1.6单单单调调调数数数列列列单调有界数列必有极限、闭区间套定理1.6.1利利利用用用定定定理理理1.8证证证明明明；；；（（（1）））当当当n充充充分分分大大大时时时，，，0<n+92n�1<1，，，fxng是是是递递递减减减的的的，，，有有有下下下界界界0（（（2）））0<1�1n+1<1，，，fxng是是是递递递减减减的的的，，，有有有下下下界界界0（（（3）））1+12n+1>1，，，fxng是是是递递递增增增的的的，，，只只只须须须证证证明明明有有有上上上界界界；；；¶等比数列；由递推公式xn+1=xn�1+12n�易知xn=x1+x122+x223+���+xn�12n考虑等比数列，而fxng是递增的正数列，只留下xnxn632+xn22+xn23+���+xn2nxn632+xn221�12n�11�12<32+xn2xn<3·均值不等式；xn=Gn6An=�1+12+1+122+���+1+12nn�n=�1+12+122+���+12nn�n<�1+1n�n<e1注（1.7节）en=�1+1n�n=nXk=0Ckn�1n�k=nXk=0n!k!(n�k)!1nk=nXk=01k!n(n�1)���(n�k+1)nk=nXk=01k!�1�1n��1�2n�����1�k�1n�单调递增必有极限；¸取对数，积化和；由ln(1+a)<a或（不用到更后面的知识）由�1+1n�n<e及lnx的单调性得ln�1+1n�<1n结合ex的单调性，于是xn=expPln�1+12n�<expX12n<e1.6.2明明明显显显fxng递递递增增增;xn+1=p2+xn>xn,�1<xn<2而x1=p2xn<2)xn+1=p2+xn<p2+2=2由归纳法知xn<2不仅证明了fxng递增，同时证明了fxng有界，得证。1.6.3按按按定定定义义义；；；只须证明递增情况；设fakng收敛于A，即8">0;9N12N+;s:t:当n>N1时;A�"<akn<A+"由于kn>nan6akn<A+"当n>N2>kN1时n>kN1an>akN1>A�"取N=maxfN1;N2g即得证。21.6.4按按按提提提示示示；；；0<an(1�an)614<(1�an)an+1而0<an<1an<an+1单调递增有上界，设liman=A，则A(1�A)6146(1�A)A解出A=121.6.5直直直接接接写写写出出出；；；an+1>an(n+1)!1n+1>n!1n(n+1)!>n!1+1nn+1>n!1n(n+1)n>n!(n+1)n>nn>n!3练习题1.7February1,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.2无无无尽尽尽小小小数数数1.3数数数列列列极极极限限限1.4收收收敛敛敛的的的性性性质质质1.5无无无穷穷穷大大大1.6单单单调调调数数数列列列1.7自自自然然然对对对数数数底底底limn!1�1+1n�n=e(1)1.7.1要要要求求求严严严格格格按按按定定定义义义及及及四四四则则则运运运算算算等等等；；；（（（1）））limn!1�1+1n�2�n=limn!1�1+1n�2�n�2limn!11+1n�1limn!11+1n�1=e（（（2）））limn!1�1�1n+3�n=limn!1�n+2n+3�n=limn!111+1n+2!n=limn!11�1+1n+2�n+2�1+1n+2�2=1e（（（3）））limn!1�1+n2+n�n=limn!111+1n+1!n=limn!11�1+1n+1�n+1�1+1n+1�=1e（（（4）））limn!1�1+2n�n=(limm!1�1+1m�m�1+1m�m=e2;n=2mlimm!1�1+1m+12�m�1+1m+12�m�1+22m+1�=e2;n=2m+1�1+1m+1�m<�1+1m+12�m<�1+1m�m1（（（5）））limn!1�1+3n�n=8>><>>:limm!1�1+1m�m�1+1m�m�1+1m�m=e3;n=3mlimm!1�1+1m+13�m�1+1m+13�m�1+1m+13�m�1+33m+1�=e3;n=3m+1limm!1�1+1m+23�m�1+1m+23�m�1+1m+23�m�1+33m+2�2=e3;n=3m+2�1+1m+1�m<�1+1m+13�m<�1+1m�m（（（6）））limn!1�1+12n2�4n2=limn!1�1+12n2�2n2�1+12n2�2n2=e21.7.2k是是是有有有限限限数数数；；；仿仿仿照照照上上上题题题（（（4）））（（（5）））小小小题题题讨讨讨论论论，，，将将将原原原数数数列列列不不不重重重不不不漏漏漏分分分成成成k个个个子子子列列列，，，可可可证证证明明明这这这k个个个子子子列列列的的的极极极限限限都都都是是是ek，，，得得得证证证；；；limn!1�1+kn�n=ek(2)1.7.3正正正文文文用用用二二二项项项展展展开开开，，，这这这里里里按按按提提提示示示用用用均均均值值值不不不等等等式式式；；；�1+1n�n=1��1+1n�����1+1n�|{z}n个<"1+n��1+1n�n+1#n+1=�1+1n+1�n+1(3)1.7.4按按按提提提示示示；；；证明n1ano严格递增，均值不等式�nn+1�n+1=1��nn+1�����nn+1�|{z}n+1个<�1+(n+1)�nn+1n+1�n+2(4)1.7.5利利利用用用前前前两两两题题题结结结论论论；；；左左左边边边严严严格格格递递递增增增地地地趋趋趋于于于e，，，右右右边边边严严严格格格递递递减减减地地地趋趋趋于于于e�1+1n�n<e<�1+1n�n+1(5)1.7.6利利利用用用上上上题题题结结结论论论；；；对对对数数数函函函数数数严严严格格格递递递增增增；；；对上式取对数即得1n+1<ln�1+1n�<1n(6)1.7.7利利利用用用上上上题题题结结结论论论最最最便便便捷捷捷；；；或或或者者者利利利用用用第第第2题题题结结结论论论，，，将将将第第第3、、、4题题题中中中的的的1n替替替换换换为为为kn，，，再再再经经经过过过第第第5题题题也也也可可可得得得证证证；；；右边ln�1+kn�<ln�1+1n�k=kln�1+1n�<kn2左边ln�1+kn�=lnn+kn=lnn+kn+k�1n+k�1n+k�2���n+1n>1n+k+1n+k�1+���+1n+1>kn+k结论kn+k<ln�1+kn�<kn(7)1.7.8利利利用用用第第第6题题题结结结论论论；；；令（6）式中n=1;2;���;n；然后将n个不等式加起来即得12+13+���+1n+1<ln(n+1)=ln�1+1n��1+1n�1�����1+11�<1+12+���+1n(8)1.7.9利利利用用用上上上题题题结结结论论论；；；由（8）式易知0<xn<1�1n+1<1试证fxng单调，利用第6题结论xn+1�xn=1n+1+ln(n+1)�ln(n+2)=1n+1�ln�1+1n+1�>0得证；欧拉常数 =limn!1xn=limn!1�1+12+���+1n�ln(n+1)�(9)1.7.10利利利用用用上上上题题题结结结论论论; =limxn相当于xn= +�n1+12+13+���+1n=ln(n+1)+ +�n将"n记作"n=�n+ln(n+1)�lnn=�n+ln�1+1n�即得limn!11ne1+12+13+���+1n=limn!11neln(n+1)+ +�n=limn!11n�ne e"n=e (10)用定义证明e"n!18">0;9N2N+;s:t:当n>N时;1�"<e"n<1+";ln(1�")<"n<ln(1+")另外，fxng递增地趋于 ，�n<0；由（6）式得"n+1�"n=1n+1�lnn+1n<03故"n递减地趋于0，"n>0；由（5）式得1n+1e1+12+13+���+1n+11ne1+12+13+���+1n=nn+1e1n+1<1故（10）左边递减地趋于e ，则 <11ne1+12+13+���+1n>e ;当n=1时;e>e1.7.11利利利用用用上上上题题题结结结论论论；；；�n+1e�n<n!<e�n+1e�n+1(11)¶按前面各题的解法，应该是设法利用前面的结论（实际上课程视频中已经给出了明确提示）注意到（10）式的递减性质1ne1+12+13+���+1n>1n+1e1+12+13+���+1n+1于是1e1>12e1+12>13e1+12+13>���>1ne1+12+13+���+1n9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;>1n+1e1+12+13+���+1n+1将这n个不等式相乘，可构造出n!和(n+1)n1n!exp�1+�1+12�+���+�1+12+���+1n��>�1n+1e1+12+13+���+1n+1�n(n+1)nn!>exp8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:266666666666641+12+13+���+1n+1+1+12+13+���+1n+1+1+12+13+���+1n+1+���+1+12+13+���+1n+137777777777775n+1行�26666666666641+12+13+���+1n+1+1+1+12+���+1+12+13+���+1n37777777777759>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>;=exp��1+2�12+3�13+���+(n+1)�1n+1���1+12+13+���+1n+1��=exp�n+1��1+12+13+���+1n+1��据此可先证右边，只须(n+1)n+1n!>(n+1)exp�n+1��1+12+13+���+1n+1��>en(n+1)e>e1+12+13+���+1n+1e>e1+12+13+���+1n+1n+14右边即（10）式在n+1时的情况，递减，n=1时取等号，右边得证；左边只与右边相差一个n+1因子，考虑将（10）式改写为limn!11n+1e1+12+13+���+1n=e可能是递增的，完全仿照前面的过程（对称的），即可证明左边。由（5）式得1n+1e1+12+13+���+1n1ne1+12+13+���+1n�1=nn+1e1n>1果然；于是12e1<13e1+12<14e1+12+13<���<1ne1+12+13+���+1n�19>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>;<1n+1e1+12+13+���+1n将这n�1个不等式相乘得1n!exp�1+�1+12�+���+�1+12+���+1n�1��<�1n+1e1+12+13+���+1n�n�1(n+1)n�1n!<exp8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:266666666666641+12+13+���+1n+1+12+13+���+1n+1+12+13+���+1n+���+1+12+13+���+1n37777777777775n行�26666666666641+12+13+���+1n+1+1+12+���+1+12+13+���+1n�137777777777759>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>;=exp��1+2�12+3�13+���+n�1n���1+12+13+���+1n��=exp�n��1+12+13+���+1n��据此证左边，只须(n+1)nn!<(n+1)exp�n��1+12+13+���+1n��6enn+16e1+12+13+���+1n16e1+12+13+���+1nn+1右边即（10）的改写式，递增，n=1时取小于号，左边得证；·利用第5题的结论；形似（5）式；令（5）式中n=1;2;3;���;n，再将n个不等式相乘21�32�2�43�3����n+1n�n<en<�21�2�32�3�43�4����n+1n�n+15得证；¸构造法；观察（11）式结构，阶乘和n次方，考虑是否有xnxn�1<n<ynyn�1化简后正好是（5）式，得证；¹积分法；阶乘和n次方，取对数化简nln(n+1)�n<ln1+ln2+���+lnn<(n+1)ln(n+1)�n考虑到Zlnxdx=xlnx�x右边即[xlnx�x]n+11左边与右边相差ln(n+1)，考察误差限；中间表示成黎曼和的形式；对于函数lnx，将区间[1;n+1]顺次n等分，每个小区间长度为1，取每个小区间左端点的函数值作黎曼和A；则A等于曲线下一系列长方形的面积之和，小于曲线下面积，于是得到右边；误差小于ln(n+1)，于是得到左边。取每个小区间右端点的函数值作黎曼和B，则大于曲线下面积，组成B的每一个长方形都比A相应的部分高出一小块长方形，一共高出ln(n+1)，所以长方形的底边长均为1，于是B�A=ln(n+1)1.7.12利利利用用用上上上题题题结结结论论论；；；要要要求求求不不不用用用到到到（（（连连连续续续函函函数数数）））求求求极极极限限限的的的复复复合合合法法法则则则；；；对（11）式取极限，再用夹逼准则，即得limn!1(n!)1nn=1e(12)计算右边时用到npe!1易用定义和对数函数的单调性证明npn+1!1可用1.3节例4和夹逼准则证明npn<npn+1<np2n=np2�npn1.7.13直直直接接接写写写出出出；；；e=1+11!+12!+���+1n!+�nn!n;nn+1<�n<1转化命题，即证1(n+1)!<e�sn<1n!n左边显然，右边只要证明不能取等号，按照正文的方法放缩时取1n+2即可。e=limn!1sn=1+11!+12!+���+1n!+���e�sn=1(n+1)!+1(n+2)!+���>06sn+m�sn=1(n+1)!+1(n+2)!+���+1(n+m)!=1(n+1)!�1+1(n+2)+���+1(n+2)���(n+m)�<1(n+1)!1+1(n+2)+���+1(n+2)m�1!<1(n+1)!11�1n+2e�sn61(n+1)!n+2n+1<1n!n1.7.14根根根据据据上上上题题题结结结论论论；；；n!(e�sn)<1n故[n!e]=n!sn=n!�1+11!+12!+���+1n!�1.7.15利利利用用用第第第10题题题结结结论论论；；；limn!1�1n+1+1n+2+���+1n+n�=limn!1(ln2n�lnn+"2n�"n)=ln27练习题1.8February2,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.2无无无尽尽尽小小小数数数1.3数数数列列列极极极限限限1.4收收收敛敛敛的的的性性性质质质1.5无无无穷穷穷大大大1.6单单单调调调数数数列列列1.7自自自然然然对对对数数数底底底e1.8基基基本本本列列列1.8.1按按按定定定义义义；；；是基本列；8">0;9N2N+;s:t:当n>N时;jan�aNj<"(1))当n;m>N时;jan�amj6jan�aNj+jam�aNj<2"(显然;将m固定为N即可1.8.2按按按定定定义义义；；；（（（1）））不不不是是是基基基本本本列列列；；；如如如Hn=1+12+���+1njHn+p�Hnj=1n+1+1n+2+���+1n+p<pn（（（2）））是是是基基基本本本列列列；；；n;p2N+;(当n充分大时);jan+p�anj<pn2(2)取p=1得jan+1�anj61n21于是��an+p�an��6��an+p�an+p�1��+��an+p�1�an+p�2��+���+��an+1�an��61(n+p�1)2+1(n+p�2)2+���+1n261(n+p�1)(n+p�2)+1(n+p�2)(n+p�3)+���+1n(n�1)=1n�1�1n+p�1<1n�1<";与p无关8">0;9N2N+;s:t:当n>N时;jan+p�anj<o(n)<"(3)记p=m�n即得证。1.8.3证证证明明明下下下列列列数数数列列列收收收敛敛敛；；；（（（1）））由由由2题题题的的的结结结论论论；；；��an+p�an��=��(�1)n+11(n+1)2+(�1)n+21(n+2)2+���+(�1)n+p1(n+p)2��61(n+1)2+1(n+2)2+���+1(n+p)26pn2（（（2）））由由由第第第2题题题的的的结结结论论论；；；��bn+p�bn��=��an+1qn+1+an+2qn+2+���+an+pqn+p��6jan+1qn+1j+jan+2qn+2j+���+jan+pqn+pj6M�jqn+1j+jqn+2j+���+jqn+pj�6Mjqn+1j11�jqj<";与p无关（（（3）））由由由第第第2题题题的的的结结结论论论；；；��an+p�an��=��sin(n+1)x(n+1)2+sin(n+2)x(n+2)2+���+sin(n+p)x(n+p)2��61(n+1)2+1(n+2)2+���+1(n+p)26pn2（（（4）））如如如上上上题题题；；；��an+p�an��=��sin(n+1)x(n+1)(n+1+sin(n+1)x)+sin(n+2)x(n+2)(n+2+sin(n+2)x)+���+sin(n+p)x(n+p)(n+p+sin(n+p)x)��61(n+1)n+1(n+2)(n+1)+���+1(n+p)(n+p�1)=1n�1n+p61n<";与p无关21.8.4基基基本本本列列列；；；��an+p�an��=��an+p�an+p�1+an+p�1�an+p�2+���+an+1�an��6jan+p�an+p�1j+jan+p�1�an+p�2j+���+jan+1�anj=sn+p�sn6jsn+p�snj其中sn=ja2�a1j+ja3�a2j+���+jan�an�1j单调递增有界，故有极限，是基本列，故8">0;9N2N+;s:t:当n>N时;jan+p�anj<jsn+p�snj<"1.8.5不不不是是是基基基本本本列列列；；；9"0>0;s:t:8n2N+;9p2N+;s:t:jan+p�anj>"0(4)1.8.6Bolzano-Weierstrass定定定理理理；；；Bolzano-Weierstrass定理的意思是“在有界的区间内，（可列）无限项必然形成聚点”；对于数列，收敛是只有一个聚点，那么发散必然有两个以上的聚点；不是基本列，则有上题（4）式，先取akn!a，则kn充分大时有jakn�aj<"02，即每一项都在区间�a�"02;a+"02�内，对以上的每一个kn都存在p使得jakn+p�aknj>"0，取为子列falngfal1=akn1+p1;（取kn2>kn1+p1）al2=akn2+p2;������g于是falng每一项都在区间�a�"02;a+"02�外，区间外有无限项，再从falng中取出收敛子列，极限必然也在�a�"02;a+"02�外。3练习题1.9February2,20131第第第一一一章章章实实实数数数和和和数数数列列列极极极限限限1.1数数数轴轴轴1.2无无无尽尽尽小小小数数数1.3数数数列列列极极极限限限1.4收收收敛敛敛的的的性性性质质质1.5无无无穷穷穷大大大1.6单单单调调调数数数列列列1.7自自自然然然对对对数数数底底底e1.8基基基本本本列列列1.9确确确界界界原原原理理理1.9.1按按按定定定义义义；；；（（（1）））f�1;0;3;8;9;12g;supE=12;infE=�1（（（2）））�1n:n2N+ ;supE=1;infE=0（（（3）））fpn:n2N+g;supE=+1;infE=1（（（4）））�sin�n:n2N+ ;supE=1;infE=0（（（5）））�x:x2�2x�3<0 ;supE=3;infE=�1（（（6）））fx:jlnxj<1g;supE=e;infE=e�11.9.2习习习题题题1.7.5结结结论论论；；；�1+1n�n<e<�1+1n�n+1左边递增地趋于e，右边递减地趋于e；inf�1+1n�n=2;sup�1+1n�n+1