第9讲导数中的距离问
题
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1．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为 A．B．C．D．【解析】解：函数与函数互为反函数，图象关于对称，函数上的点到直线的距离为，设，则，由可得，由可得，函数在单调递减，在，单调递增，当时，函数，，由图象关于对称得：最小值为．故选：．2．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 A．B．C．D．【解析】解：与互为反函数，它们图象关于直线对称；又，由直线的斜率，得，，所以切线方程为，则原点到切线的距离为，的最小值为．故选：．3．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 A．B．C．D．【解析】解：函数与函数互为反函数，图象关于对称函数上点到直线的距离为设则由可得，由可得函数在单调递减，在，单调递增当时，函数故选：．4．设动直线与函数，的图象分别交于点、，则的最小值为 A．B．C．D．【解析】解：画图可以看到就是两条曲线间的垂直距离．设，求导得：．令得；令得，所以当时，有最小值为，故选：．5．设动直线与函数，的图象分别交于点，，则最小值的区间为 A．B．C．D．【解析】解：画图可以看到就是两条曲线间的垂直距离．设，求导得：．（1），，所以存在，，使得，，，函数是减函数，，，函数是增函数，所以函数的最小值在与（1）之间．，（1），故选：．6．已知直线分别与函数和交于，两点，则，之间的最短距离是 A．B．C．D．【解析】解：已知直线分别与函数和交于，两点；；两点之间的距离为：令（a）（a）由（a），得当时，（a），（a）单调递减；当时，（a），（a）单调递增；（a）故选：．7．若实数，，，满足，则的最小值为 A．3B．4C．5D．6【解析】解：，，，分别令，，转化为两个函数与的点之间的距离的最小值，，设与直线平行且与曲线相切的切点为，，则，，解得，可得切点，切点到直线的距离，的最小值．故选：．8．已知函数，若且，则的最小值为 A．B．C．D．2【解析】解：函数，若且，即有，，可得，可得，，设，，即时，，递增；时，，递减，可得在处取得极小值，且为最小值．故选：．9．已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，，且，则的最小值是 A．2B．C．D．【解析】解：的定义域为，且，可得为奇函数，，，，当时，，递增，可得，递增，可得，即在递增，进而在上递增，作出的图象；作出的图象．设，由，可得，即有，且，可得，则，，由的导数为，当时，递增，时，递减，可得处取得极小值，且为最小值，则的最小值是．故选：．10．已知函数，若且，则的取值范围是 A．，B．，C．，D．【解析】解：作出函数的图象，且，可得，，即为，，可令，，，当时，，递减；时，，递增，可得在处取得极小值，且为最小值；，，由，可得的取值范围是，．故选：．11．已知点在曲线上，点在直线上，则的最小值为 ．【解析】解：当点是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，取得最小．故令解得，，故点的坐标为，故点到直线的最小值为．故答案为：．12．已知直线与函数和分别交于，两点，若的最小值为2，则 2 ．【解析】解：设，，，，可设，则，，，令，则，由的最小值为2，可得，函数在上单调递减，在，上单调递增，时，函数取得极小值，且为最小值2，即有，解得，由，则，可得．故答案为：2．13．若实数，，，满足，则的最小值为 ．【解析】解：实数，，，满足可得，，分别令，，转化为两个函数与的点之间的距离的最小值，，设与直线平行且与曲线相切的切点为，，则，，解得，可得切点，切点到直线的距离．的最小值为．故答案为：．14．若实数、、、满足，则的最小值为 ．【解析】解：，点是曲线上的点，是直线上的点，．要使最小，当且仅当过曲线上的点且与线平行时．，由得，；由得．当时，取得极小值，为1．作图如下：，直线的斜率，，或（由于，故舍去）．．设点到直线的距离为，则．，的最小值为．故答案为：．15．已知实数，，，满足，则的最小值为 8 ．【解析】解：实数，，，满足，，，点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．考查曲线上和直线平行的切线，，求出上和直线平行的切线方程，令，解得，切点为，该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离，故的最小值为．故答案为：8．
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