代数式最值

代数式最值关于代数式的最值求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目，它的解法灵活多样，不可一概而论，下面就初中阶段较常见的解法举例说明，以便同学们复习参考。一、配方法例1.设a、b为实数，那么a2abb2a2b的最小值是___________。解：a2abb2a2ba2(b1)ab22bb13(a)2(b1)2124b13因为(a)20，(b1)2024b1所以当a0且b102即a0且b1时，式子a2abb2a2b的值最小，最小值为－1。二、计算...

关于代数式的最值求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目，它的解法灵活多样，不可一概而论，下面就初中阶段较常见的解法举例说明，以便同学们复习参考。一、配方法例1.设a、b为实数，那么a2abb2a2b的最小值是___________。解：a2abb2a2ba2(b1)ab22bb13(a)2(b1)2124b13因为(a)20，(b1)2024b1所以当a0且b102即a0且b1时，式子a2abb2a2b的值最小，最小值为－1。二、计算法例2.已知：a2b21，b2c22，c2a22，则abbcca的最小值为（）11A.3B.32211C.3D.3221/6a2b21解：由b2c22c2a222a22解得b26c2(abc)2(a2b2c2)因为abbcca25(abc)22222所以只要|abc|最小，abbcca就最小，通过计算当a，b，2262266c；或a，b，c时|abc|最小，最小值为222222所以abbcca的最小值为6565(2)2212224213222故选B注：也可把a、b、c的值直接代入abbcca通过计算并比较，从而求出其最小值。三、消元法例3.已知：x22y21，则2x5y2的最大值是___________，最小值是_________。2/61x2解：由x22y21得y221x2所以02所以1x11x2所以2x5y22x5255x22x225229(x)22510229所以当x时，2x5y2的最大值为；当x1时，2x5y2的最小值为－2。510四、构造法11例4.求yx21x2的最大值。x2x2解：原式可变形为11y(x)23(x)22xx11其中(x)23可以看成是以|x|，3为直角边的直角三角形的斜边长，xx11(x)22可以看成是以|x|，2为直角边的直角三角形中的斜边长。因此可构xx造图1。3/6图11当C点与D点不重合时，即|x|0时，在ABC中有ACBCABx即yAB321当C点与D点重合时，即|x|0时xyACBCADBD321所以当|x|0时即x1时y取最大值32。x五、坐标法例5.已知：y2x8，求：dx2y2的最小值。解：如图2，建立直角坐标系，y2x8的图象是与x轴，y轴的交点分别为A（4，0）、B（0，8）的一条直线。4/6图2设P（x，y）是直线y2x8上的一动点，由勾股定理知dx2y2表示P（x，y）与O（0，0）间的距离，易知，只有当OPAB时，dx2y2最小。作OCAB，垂足为C。因为OAOBABOC2SAOBOAOB4885所以OCAB4282585所以dx2y2的最小值为。5六、换元法例6.求yx12x的最大值。1解：因为12x0，所以x21则可设xt(t0)212所以yt2t1(t)22221所以当t0，即t，x0时，yx12x有最大值1。22七、利用基本不等式法11xy1x44y4例7.若，那么代数式的最小值是_____________。5/6解：当a0，b0时因为(ab)20所以ab2ab0即ab2ab11因为0，0x4y41111所以21x44y4x44y411所以的最小值为1。x44y46/6

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