《正切函数的图像与性质》教案与导学案

《第五章三角函数》《5.4.3正切函数的图像与性质》教案【教材分析】本节课是三角函数的继续，三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.而本课内容是正切函数的性质与图像.首先根据单位圆中正切函数的定义探究其图像，然后通过图像研究正切函数的性质.【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.数学学科素养1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像；2.逻辑推理：求正切函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.4.直观想象：正切函数的图像；5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质.【教学重难点】重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象.【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】一、情景导入三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来，能否得到正切函数的图像与性质. 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本209-212页，思考并完成以下问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1.正切函数图像是怎样的？2.类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.正切函数，且图象：2.观察正切曲线，回答正切函数的性质：定义域：值域：R（-∞，+∞）最值：无最值渐近线：x=π2+kπ(k∈Z)周期性：最小正周期是奇偶性:奇函数单调性：增区间图像特征：无对称轴，对称中心：kπ2,0k∈Z四、典例分析、举一反三题型一正切函数的性质例1求函数f(x)＝tan的定义域、周期和单调递增区间．【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】定义域：{x|x≠2k＋eq\f(1,3)，k∈Z}；最小正周期为2；单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)＋2k，\f(1,3)＋2k))，k∈Z.【解析】由eq\f(π,2)x＋eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)，得x≠2k＋eq\f(1,3)(k∈Z)．所以函数f(x)的定义域是{x|x≠2k＋eq\f(1,3)，k∈Z}；由于eq\f(π,\f(π,2))＝2，因此函数f(x)的最小正周期为2.由－eq\f(π,2)＋kπ＜eq\f(π,2)x＋eq\f(π,3)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得－eq\f(5,3)＋2k＜x＜eq\f(1,3)＋2k，k∈Z.因此，函数的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)＋2k，\f(1,3)＋2k))，k∈Z.解题技巧：（求单调区间的步骤）用“基本函数法”求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间、定义域及对称中心的步骤：第一步：写出基本函数y＝tanx的相应单调区间、定义域及对称中心；第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；第三步：解关于x的不等式．跟踪训练一1．下列命题中：①函数y＝tan(x＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y＝tan(x＋φ)的最小正周期为π；③函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图像关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))对称；④函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图像关于直线x＝eq\f(π,4)对称．其中正确命题的个数是(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D．【解析】　：①正确，函数y＝tan(x＋φ)在定义域内只存在递增区间．②正确．③正确，其对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)π－\f(π,4)，0))(k∈Z)．④函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))不存在对称轴．所以①②③正确，故选D.题型二比较大小例2与【答案】.【解析】又在上是增函数解题技巧：(比较两个三角函数值的大小)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．跟踪训练二1．若f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，则(　　)A．f(0)＞f(－1)＞f(1)B．f(0)＞f(1)＞f(－1)C．f(1)＞f(0)＞f(－1)D．f(－1)＞f(0)＞f(1)【答案】A【解析】　f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))内是增函数．又0，－1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))，0＞－1，∴f(0)＞f(－1)．又f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))上也是增函数，f(－1)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,4)－1))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－1)).∵eq\f(5π,4)－1,1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，且eq\f(5π,4)－1＞1，∴f(－1)＞f(1)．从而有f(0)＞f(－1)＞f(1)．五、课堂小结让学生 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计5.4.3正切函数的性质与图像一、图像例1例2二、性质1.定义域2.值域3.周期性4.奇偶性5.单调性6.对称性七、作业课本213页习题5.4.【 教学反思 平行与垂直的教学反思班会课教学反思分数的初步认识教学反思科学我从哪里来教学反思平行与垂直教学反思 】正切函数是在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上学习的，学生相对而言容易掌握，单调性方面学生需要注意是开区间且只有增区间.《5.4.3正切函数的图像与性质》导学案【学习目标】知识目标1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.核心素养1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像；2.逻辑推理：求正切函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.4.直观想象：正切函数的图像；5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质.【重点与难点】重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象.【学习过程】一、预习导入阅读课本209-212页，填写。1.正切函数，且图象：2.观察正切曲线，回答正切函数的性质：定义域：__________________值域：__________________最值：无最值渐近线：x=π2+kπ(k∈Z)周期性：__________________奇偶性:__________________单调性：__________________图像特征：__________________【小试牛刀】1．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的周期为eq\f(π,4)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值是(　　)A.eq\f(π,4)　　　　B．0　　C．1　　D．－12．已知函数y＝tan(2x＋φ)的一个对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))，则φ可以是(　　)A．－eq\f(π,6)B.eq\f(π,6)C．－eq\f(π,12)D.eq\f(π,12)3．作出函数y＝|tanx|的简图，并指出其周期，单调区间，值域．【自主探究】题型一正切函数的性质例1求函数f(x)＝tan的定义域、周期和单调递增区间．跟踪训练一1．下列命题中：①函数y＝tan(x＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y＝tan(x＋φ)的最小正周期为π；③函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图像关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))对称；④函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图像关于直线x＝eq\f(π,4)对称．其中正确命题的个数是(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个题型二比较大小例2与跟踪训练二1．若f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，则(　　)A．f(0)＞f(－1)＞f(1)B．f(0)＞f(1)＞f(－1)C．f(1)＞f(0)＞f(－1)D．f(－1)＞f(0)＞f(1)【课堂检测】1．与函数的图像不相交的一条直线是（）A.B.C.D.2．在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②以为周期；③是奇函数的是（）A.B.C.D.3．与的大小关系是____________（用“”连接）．4．函数的定义域为______________.5．求函数的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.答案小试牛刀1．B.2．A.3．【答案】见解析.【解析】由y＝tanx的图像可得函数y＝|tanx|的图像．如下图所示．周期：π.单增增区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，单减减区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)．值域：[0，＋∞)．自主探究例1【答案】定义域：{x|x≠2k＋eq\f(1,3)，k∈Z}；最小正周期为2；单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)＋2k，\f(1,3)＋2k))，k∈Z.【解析】由eq\f(π,2)x＋eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)，得x≠2k＋eq\f(1,3)(k∈Z)．所以函数f(x)的定义域是{x|x≠2k＋eq\f(1,3)，k∈Z}；由于eq\f(π,\f(π,2))＝2，因此函数f(x)的最小正周期为2.由－eq\f(π,2)＋kπ＜eq\f(π,2)x＋eq\f(π,3)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得－eq\f(5,3)＋2k＜x＜eq\f(1,3)＋2k，k∈Z.因此，函数的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)＋2k，\f(1,3)＋2k))，k∈Z.跟踪训练一1．下列命题中：①函数y＝tan(x＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y＝tan(x＋φ)的最小正周期为π；③函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图像关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))对称；④函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图像关于直线x＝eq\f(π,4)对称．其中正确命题的个数是(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个例2【答案】.【解析】又在上是增函数跟踪训练二1．【答案】A【解析】　f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))内是增函数．又0，－1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))，0＞－1，∴f(0)＞f(－1)．又f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))上也是增函数，f(－1)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,4)－1))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－1)).∵eq\f(5π,4)－1,1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，且eq\f(5π,4)－1＞1，∴f(－1)＞f(1)．从而有f(0)＞f(－1)＞f(1)．当堂检测1-2．CC3．4．.5．【答案】定义域为，值域为R，非奇非偶函数，递增区间为【解析】的定义域为，单调增区间为.又看成的复合函数，由得，所以所求函数的定义域为，值域为；函数的定义域不关于原点对称，因此该函数是非奇非偶函数；令，解得，即函数的单调递增区间为.