最大值和最小值定理介值定理一、最大值和最小值定理定义:对于在区间I上有定义的
函数
excel方差函数excelsd函数已知函数 2 f x m x mx m 2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载
f(x),如果有x0∈I,使得对于任一x∈I都有f(x)f(≤x)0(f(≥x)0f(x))则称f()()x0是函数fx在区间上的最大I小().值例如,y1=+sinx在[0,,2π上]ymax,=2,ymin=0;y=sgnx在(,),,−∞+∞上ymax=1,ymin=−1;在(0,+∞)上y,max=ymin=1.(最大值和最小值定理)定理1在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.f若(x)∈C[,a],byy=f()x则∃ξ,1ξ2[∈a,b],使得∀x[∈a,b],有f(ξ)1≥f(x),oaξ2ξ1bxf(ξ)2≤f(x).注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.yyy=f()xy=f()x1xxoπo122(有界性定理)定理2在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证设函数f()[,],x在a上连续bx∀[∈a,b],有m≤(),fx≤MK取max{=m,M},则有f().x≤K∴函数f()[,].x在a上有界b二、介值定理定义:如果x0使(f0)x=0则,x0称为函数f().x的零点定理3数函设)理定点(零f()x在闭区间a[,b]上续，且连f()a与f()b异号(即f(a)⋅f()b<),0点有一至少那末ξ()a<ξ
(01f,)=−2<0由零点定理,,∃ξ(∈a,b),使(fξ)=0,即ξ34−ξ2+1=0,∴方程4x3−1x2+0=在(0内至少有一根,1)ξ.例2设函数()[,],(),fx在区间a上连续b且fab证明∃(ξa,∈b),使得ξf(ξ=).证F令()(),x=fx−则F()[,],xx在a上连续b而()()Fa=fa−a<0,()()bF=fb−>b0,由零点定理,∃ξ(∈a,b),使(F)ξ=f(ξ)−ξ=0,即().fξ=ξ三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理.思
考题
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下述命题是否正确？如果f()x在[,]ab在，定义上有(,)ab内连续，且f(a)⋅f()b<么，那0f()x在(,)ab内必有零点.思考题解答不正确.⎧,e0
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