椭圆知识点总结[修订]

椭圆知识点总结[修订] 椭圆知识点 知识要点小结:知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的P(PF，PF,2a,FF)PFF121221 轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若，则动点的轨迹为线段; (PF，PF,FF)PFF121212 若，则动点的轨迹无图形. P(PF，PF,FF)1212 知识点二:椭圆的标准方程 22xy222 1(当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:，其中，,1c,a,bx(a,b,0)22ab 22yx2222(当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:，,1，其中c,a,b;注意:1(只y(a,b,0)22ab 有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程; 222c,a,b 2(在椭圆的两种标准方程中，都有和; (a,b,0) 3(椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，;x(c,0)(,c,0) 当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为，(0,c)(0,,c) 知识点三:椭圆的简单几何性质 22xy，,1 椭圆:的简单几何性质 (a,b,0)22ab 22xy，,1y(1)对称性:对于椭圆标准方程,x:说明:把x换成、或把换成、或把x、(a,b,0),y22ab 22xy，,1yy,xx同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并,y22ab 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 (2)范围: x,,ax,a椭圆上所有的点都位于直线y,,b和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，y,b。 (3)顶点:?椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 22xy ?椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ，，,1A(,a,0)(a,b,0)122ab ，， A(a,0)B(0,,b)B(0,b)212 b ?线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭AA,2aBB,2bAABBa12121212 圆的长半轴长和短半轴长。 (4)离心率: 2cce,, ?椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。 e2aa 22 ?因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而b,a,ceeca(a,c,0)(0,e,1) b越小，因此椭圆越扁;反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当eca 22xy22a,bc,0时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意: 椭圆，,1且仅当x，y,a22ab 的图像中线段的几何特征(如下图):(1) PFPF12,,e(PF，PF,2a);;12PMPM12 22a ()PM，PM,; 12c 22AB,AB,a，b(BF,BF,a)(OF,OF,c)(2);;; 121212 AF,AF,a,cAF,AF,a，ca,c,PF,a，c (3);;;112212211 2222xyyx，,1，,1知识点四:椭圆 与 的区别和联系 (a,b,0)2222abab 2222xyyx，,1，,1 (a,b,0) (a,b,0) 标准方程 2222abab 图形 ， ， F(,c,0)F(c,0)F(0,,c)F(0,c)1212焦点 FF,2cFF,2c1212焦距 ， ， x,ay,bx,by,a范围 关于轴、轴和原点对称 yx对称性 ， ， (,a,0)(0,,b)(0,,a)(,b,0)顶点 性质 2a2b轴长 长轴长=，短轴长= ce,(0,e,1) 离心率 a 22aa,,,,xy 准线方程 cc PF,a，exPF,a,exPF,a，eyPF,a,ey， ， 10201020焦半径 2222xyyx，,1，,1注意:椭圆，的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有(a,b,0)2222abab c222e,(0,e,1)a,b，c和，;不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。(a,b,0)a 规律方法: 1(如何确定椭圆的标准方程, 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴， 椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件a,b;一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的 形式确定标准方程的类型。 a,b,c 2(椭圆标准方程中的三个量的几何意义 椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示a,b,c 椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为:，，(a,b,0)(a,c,0) 222且。 (a,b，c) 可借助右图理解记忆: 显然:恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条a,b,c 直角边。 3(如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标 22准方程，判断焦点位置的方法是:看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就xy 22在哪个坐标轴上。4(方程是表示椭圆的条件 Ax，By,C(A,B,C均不为零) 2222AxByxBy22，,1方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，，,1Ax，By,C,CCCC AB CCCC方程表示椭圆。当,时，椭圆的焦点在轴上;当,时，椭圆的焦点在轴上。yxABAB 5(求椭圆标准方程的常用方法: ?待定系数法:由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的 类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”; a,b,c ?定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6(共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 22xy，,1共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为(a,b,0)22ab 22xy2，,1，此类问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 常用待定系数法求解。 (m,,b)22a，mb，m y7(判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据: x y? 若把曲线方程中的换成,x，方程不变，则曲线关于轴对称; x y,y? 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于x轴对称; y,y,x? 若把曲线方程中的x、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。 8(如何求解与焦点三角形?PFF(P为椭圆上的点)有关的计算问题, 12 思路分析:与焦点三角形?PFF有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、12 1S,PF，PF，sin，FPF三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。 ,PFF1212122 PF、PF、FFPF，PF，FPF，FPF，FBF将有关线段，有关角 ()结合起来，建立、,121212121212PF，PF之间的关系. 12 9(如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系, c222e,(0,e,1)a,c,0长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，，c,a,ba b2e,1,()(0,e,1)a、b用表示为。 a bb显然:当越小时，越大，椭圆形状越扁;当越大，越小，椭圆形状越趋近e(0,e,1)e(0,e,1)aa于圆。 (一)椭圆及其性质1、椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F，F的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫121 2椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 (2)一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭e(0,1) 新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率 e 2、椭圆的标准方程 ,x,acos,3、椭圆的参数方程 (,为参数),y,bsin,, bc2新疆新疆新疆王新敞王新敞王新敞奎屯奎屯奎屯0,e,1e,1,()e,4、离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 ,aa椭圆的准线方程 22aal:x,,:,lx左准线 右准线 21cc (二)、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式: 新疆王新敞奎屯(左焦半径)r,a，exr,a,exe (右焦半径) 其中是离心率 1020 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式: ,,，MFaey10新疆王新敞奎屯F,F( 其中分别是椭圆的下上焦点) ,12MF,a,ey20, (三)、直线与椭圆问题(韦达定理的运用)1、弦长公式: ABA(x,y),B(x,y)若直线l:y,kx，b与圆锥曲线相交与、两点，则 1122 22222AB,(x,x)，(y,y),1，kx,x,(x,x)，(kx,kx) 弦长 1212121212 22,1，k(x，x),4xx 1212 例1. 已知椭圆及直线y,x，m。(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。 22xy2、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆，,1(a>b>0)的一条弦，中点M坐标为(x，y)，0022ab 2bx0则AB的斜率为,.运用点差法求AB的斜率，设A(x，y)， 112ay0 22x y 11,，,1，22,abB(x，y)(A、B都在椭圆上，? 两式相减得2222,x y 22 ，,1，22,,ab 2222x ,x y ,y ,x,x,,x，x,,y,y,,y，y,121212121212，,0，?，,0， 2222abab 222,y,ybx，x,bxbx121200即,,,,.故k,,. AB222x,xa,y，y,ayay121200 22xyM，,1内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。例、过椭圆M(2,1)164 (四)、四种题型与三种方法四种题型1:已知椭圆C: 22xy，,1内有一点A(2，1)，F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的2516 5动点，求,PA,+,PF,的最小值。 3 22xy，,12: 已知椭圆内有一点A(2，1)，F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求,PA,+,PF|的2516 最大值与最小值。 22xy，,13:已知椭圆外一点A(5，6)，l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，2516 3d求|PA|+的最小值。 5 2222bxy4:定长为()的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点Mdd，,1(a,b,0),22aab 到椭圆右准线的最短距离。 22xy三种方法1:椭圆的切线与两坐标轴分别交于A,B两点， 求三角形OAB的最小面积 。，,122ab 22xy2:已知椭圆 和直线 l:x-y+9=0 ，在l上取一点M ，经过点M且以椭圆的焦，,1123 点为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 。 FF,12 22,AOB3:过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求面积的最大值 。 22xy，, 课后同步练习 22xy，,11.椭圆的焦点坐标是 , 离心率是________，准线方程是_________.25169 22yx，,12.已知F、F是椭圆的两个焦点，过F的直线与椭圆交于M、N两点，则?MNF的周长为( )A(8 1212169 B(16 C(25 D(32 22xy，,13.椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为( )259 A.5 B.6 C.4 D.10 22xy，,14.已知椭圆方程为,那么它的焦距是 ( ) 2011 3131A.6 B.3 C.3 D. 225.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 x，ky,2y A.(0，+?) B.(0,2) C.(1,+?) D.(0,1) 6(设F,F为定点，|FF|=6，动点M满足|MF|，|MF|,6，则动点M的轨迹是( )121212 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 22xy7.已知方程+=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为 . m,12,m 53,,8.已知椭圆的两个焦点坐标是F(-2，0)，F(2，0)，并且经过点P()，则椭圆标准方程是__ 1222 新疆王新敞奎屯___ 22xy新疆王新敞奎屯，,19.过点A(-1，-2)且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是__ __ 69 新疆王新敞奎屯3310.过点P(，-2)，Q(-2，1)两点的椭圆标准方程是_ __ ___ 22yx111.若椭圆的离心率是，则k的值等于 . ，,12k，89 2x212.已知?ABC的顶点B、C在椭圆，y,1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC3 边上，则?ABC的周长是 . 22xy2313.F、F分别为椭圆+=1的左、右焦点，点P在椭圆上，?POF是面积为的正三角形，则b的值12222ab 是 22yx,S,14.设M是椭圆上一点，F、F为焦点，，FMF,，则 ，,11212,MFF1262516 215.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 122 2224(A) (B) (C) (D) 22xy9，,1AxyBCxy(,),(4,),(,)1122AFBFCF,,5259F16.设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“ xx，,812成等差数列”是“”的( ) )充要条件 (B)必要不充分条件 (A (C)充分不必要条件 (D)既非充分也非必要 22xy，,18x2516AB17.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于PPPPPPP,,,,,,1234567F七个点，是椭圆的一个焦点，则 PFPFPFPFPFPFPF，，，，，，,1234567 。 ; 22xy，,118、已知定点A(a，0)，其中，它到椭圆上的点的距离的最小值为1，求a的值。0,a,394 22xy，,119、已知F,F是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任一点. 1210064 ,(1)若?FPF=,求?FPF的面积。 12123