[理学]高数 第十一章 曲线积分与曲面积分

[理学]高数 第十一章 曲线积分与曲面积分 第十一章 曲线积分与曲面积分 ?1 对弧长的曲线积分 计算公式:无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程 xxt,,，，b22,''，，，，Latb:,,，则 若fxydsfxtytxtytdt,,,，，，，，，，，，，，，，,,,，，，，Layyt,，，,, ,xxt,，， ,若，则 Lyytatb:,,,，，, ,zzt,，，, b222'''，，，，，，fxyzdsfxtytztxtytztdt,,,,,，， ，，，，，，，，，，，，，，，，,,，，，，，，La 注意:上限一定要大于下限 1( 计算下列对弧长的曲线积分 222222L)，其中为圆周; (1(x，y)dsx，y,a,L 22222解:法一:()xyds，,()ads ,,LL 445,ads ,,aaa(2)2,,,L xa,cos,,法二:， L:02,,,,,ya,sin,, 222()xyds， ,L 2,22222,，,，[cossin]sincosaaaad,,,,, ，，，，，，，，,0 2,55,,ada,,2 ,0 22x，y222Ledsy,x(2)，其中为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的x，y,ax,L B A 扇形的整个边界; 2222xyxy，，edseds,，，()解:，其中 ,,,,LOAABBO xx,xa,cos,xx,,,,,2，， OAxa:,0,,AB:,0,,,BOxa:0,,,,,y,0ya,sin4yx,,2,,, a222，xy，022xedsedx,，10 ,,0oA axa,,,edxe1 ,0 a22,aexy，aaedseds,,, eds,,,ABABAB4 22xy，eds(或 ,AB ,2222aacossin，,,，，，，4 ,,，eaadsincos,,,，，，，,0 ,a,aea4,,ead) ,,04 2a2222，xy，xx222 edsedx,，11,,BO0 2axa22 ,,,edxe21,0 22,xy，aedsea,，,(2)2故 ,L4 2L(3)，其中为抛物线上介于与之间的一段弧; y,2x,1xdsx,0x,1,L xx,,解:由，得 Lx:01,,,2yx,,21, 12 xdsxxdx,，14，，,,L0 32212(116)，x017171,3,, 3248 2Lx,a(t,sint),y,a(1,cost)(0,t,2,)(4)，其中为摆线的一拱; yds,L 2,2222ydsatatatdt,,,，(1cos)[1cos]sin，，，，,,,,解:L 0 5,232 ,,2(1cos)atdt,0 5,22,ttt35322,2(2sin)adt,8sinadt(令,,) ,,00222 ,35,16sinad,, ,0 ,4225635332,,，，,,, 32sin32adaa,05315 222L(5)，其中为圆周; xydsx，y,a,L xa,cos,,,L:0,,,xydsxyds,4解:利用对称性，其中 ,1,,LL1ya,sin2,, xydsxydsxyds,,44,,,LLL11 ,222 ,,，4(cos)(sin)(sin)(cos)aaaad,,,,,,0 ,,332322 ,,,4cossin2sin2adaa,,,,0,0 1ttt,t(6)，其中为曲线x,ecost，，z,e上相应于从0变到dsy,esint,,222，，xyz 2的弧段; 解: 1ds 222,,，，xyz 2''1ttt222 ,，，etetedt[cos][sin]，，，，222,0tttetete，，cossin，，，，，， 233,,t2,,,edte(1) ,022 222,x，y，z,2,,,:yds(7)，其中为空间圆周: . ,,,,y,x, 222x,cos,,,xyz，，,2,22解:由，得，令 22xz，,02,,,,,,yx,z,2sin,,,, ,x,cos, ,故。故 ,,,,:cos02y,,,, ,z,2sin,, yds ,, 2,222,，，cossinsin2cos,,,,,d ,0 2,,2cos,,d ,0 ,,32,22 ,,，,2[coscoscos]42,,,,,,ddd3,,,,,022 x,acost,,2( 螺旋形弹簧一圈的方程为: ，设它的线密度为y,asint (0,t,2,), ,z,kt, 222，求: ,(x,y,z),x，y，z z(1) 它关于轴的转动惯量;(2)它的重心坐标. Iz 22Ixyds,，, (1)，，z,L 22222,，，，xyxyzds ，，，，,L 2,2,222222222222,，，aaktakdt,，，aakaktdt ，，，，,,00 2222222,，，,, (34)aakak 3 222xxyzds，，，，,L(2) x,222xyzds，，，，,L 2,22222ataktakdtcos，，，，,0 ,2,22222aktakdt，，，，,0 2,2222aktatdt，cos，，6ak,0(分子采用分部积分法) ,,2222,222,34ak，aktdt，，，,0 222yxyzds，，，，,L y,222xyzds，，，，,L 2,22222ataktakdtsin，，，，,0 ,2,22222aktakdt，，，，,0 2,6 ,ak ,22234ak，, 222zxyzds，，，，,L z,222xyzds，，，，,L 2,22222ktaktakdt，，，，,0 ,2,22222aktakdt，，，，,0 2223(2),,kak，= 22234ak，, ?2 对坐标的曲线积分 无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程 ,xxt,，，,Lt::,,,1计算公式:若，(其中分别始点和终点对应的参数)，则 ,,,,yyt,，，,, ,''PxydxQxydyPxtytxtQxtytytdt,,[,,]，,， ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,,L, xxt,,，， ,若，(其中分别始点和终点对应的参数)，则 ,,,Lyytt::,,,,，，, ,zzt,，，, PxyzdxQxyzdyRxyzdz,,,,,,，， ，，，，，，,L ,''',，，[,,,,,,]PxtytztxtQxtytztytRxtytztztdt ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,, 注意:(1)对定向曲线才能说对坐标的曲线积;定向曲线的参数方程与未定向曲线的参数 方程的不同: ? 定向曲线的参数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为始点的参数到终点的参数而不管谁大谁小: t:,,, ? 未定向曲线的参数方程的参数表示为不等式: atb,,(2)?弧长的积分转化为定积分时定积分的上限一定要大于下限 ?对坐标的曲线积分转化为定积分时定积分的上限一定是终点的参数，下限是始点的 参数，而不管上限是否一定要大于下限 2:两类曲线积分的关系 (1) 定向曲线的切向量及其方向余弦 ,xxt,，，,Lt::,,,若 ,yyt,，，,, ?当时 ,,, ''xtyt,切向量为:; ，，，，，， ''xtyt，，，，方向余弦为 cos,cos,,,,2222''''xtytxtyt，，，，，，，，，，，，，，，，，，?当时 ,,, '',,xtyt,切向量为:; ，，，，，， ''xtyt,,，，，，方向余弦为 cos,cos,,,,2222''''xtytxtyt，，，，，，，，，，，，，，，，，，类似可以推广到空间曲线。 (2) 两类曲线积分的关系 PxydxQxydyPxyQxyds,,[,cos,cos]，,，,, ，，，，，，，，,,LL 其中为定向曲线切向量的方向余弦 cos,cos,, 注意:把第二类曲线积分转化为第一类曲线积分其关键是求出切向量。特别要注意始点 参数与终点参数大小关系对切向量符号的影响。 L1( 把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其中为: P(x,y)dx，Q(x,y)dy,L 2(1)从点(0，0)沿抛物线到点(1，1); y,x xx,,xy,1,2x解:，由，故在处切向量为，所以 01,Lx::01,，，，，,2yx,, 11， ,,,cos,22，14x，12x，， 22xx所以 ,,,cos22，14x，12x，， PxydxQxydy,,， ，，，，,L ,，[,cos,cos]PxyQxyds,, ，，，，,L PxyxQxy(,)2(,)，,ds ,2L14，x 22y,0(2)从点(0，0)沿上半圆周x，y,2x到点(1，1). xx,,,,1,x,xy,解:，由，故在处切向量为，所以 01,Lx::01,1,，，,,,22yxx,,22xx,,,,, 1,x 212xx,2，所以 ,,,,,cos2,xxcos1,,,x22,,,,1,x,1x1，，1,,,,222xx,,2xx,,,, PxydxQxydy,,，，，，，,L ,，[,cos,cos]PxyQxyds,,，，，，,L 2 ,,，,[2(,)(1)(,)]xxPxyxQxyds,L (或,，,[(,)(1)(,)]yPxyxQxyds) ,L x,，1cos,,,,,法二，由， L:,:,,,,,2y,sin2,, ,,,(sin),cos,,sin,cos,,,故切向量为，即 ，，，，所以 sin,， ,,,cossiny,,22，,aasincos，，，，,, ,cos,，所以 coscos1,,,,,x,,22sincos，,，，，，,, PxydxQxydy,,，,，[,cos,cos]PxyQxyds,, ，，，，，，，，,,LL ,，,[(,)(1)(,)]yPxyxQxyds ,L 2( 计算下列对坐标的曲线积分: 222L(1)，其中为抛物线上从点(0，0)到(2，4)的一段弧; (x,y)dxy,x,L xx,,解:由，得 Lx::02,,2yx,, 22562222xydxxxdx,,,,,()() ，，,,L015 222L(2)，其中为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域(x,a)，y,a(a,0)xy dxx,L 的整个边界曲线弧(按逆时针方向); xydxxydx (),，解:， ,,,LOAAO a xx,,OAxa::02,其中， ,y,0,O A xaa,，cos,, AO::0,,,,ya,sin,, (注意此方程不是的极坐标方程，故不能说在极坐标系下的范围，事实上极坐,,:0,, ,,ra,,2cos,:0:0,标方程为，故在极坐标系下的范围为) ,,,22 2axydxxdx,，,00 ,,OA0 ,xydxaaada,，，cossincos,,, ，，，，,,AO0 ,322,,，adsinsincos,,,, ，，,0 ,,32222 ,,，add[2sinsincos],,,,,,,00 3a,,3,,，,,a(0) 22 33,,aa 0(),，,,,故xydx ,L22 222L(3)，为从点(1，0)到点(-1，0)的上半椭圆周; (1，2xy)dx，xdyx，2y,1(y,0),L x,cos,,,解:由，得 L::0,,,,2y,sin,,,2 2(12)，，xydxxdy ,L ,222,，,，,,,,,,[12cos(sin)](sin)coscos]d ,022 ,,,223,,,，,,,,,,,sin2sincoscosddd ,,,0002 ,,222,，,,,(1sin)sind,，cos2sinsind,,, 0,,002 33,,sin,2sin,,,,,，22 ，,sin,0,,0323,, ,,,，,,2002 x，ydx,x,ydy()()222L(4)，其中为圆周x，y,a(按逆时针方向); ,L22x，y xa,cos,,解:由，得 L::02,,,,ya,sin,, ()()xydxxydy，,, 22,Lxy， 2,(cossin)(sin)(cossin)cosaaaaaa,,,,,,，,,, ,d,2,0a 2,,,,,d,,2 ,0 22,x，y,1,,z)，其中为椭圆周:，且从轴正方(5(z,y)dx，(x,z)dy，(x,z)dz,,,,x,y，z,2, ,向看去，取顺时针方向; x,cos,,22,,x，y,1,,,,:sin:20y解:由 得，故 ,,,,,,x,y，z,2,,z,,，2cossin,,, ()()()zydxxzdyxzdz,，,，,,, 022,,,，，[(4cossin)4(cossin)cossin,,,,,,,d ,,2 ,,，，,,3003,, 22,,22cossin,,,,dd,(注意:易知，所以 ,,00 22,,22cossin,,, ,,00 22,,1122,，,,,,,d,,(cossin)d ,,0022 x,t, ,2222,t(6)，其中是曲线:,上由0到的一段弧. yt(y,z)dx，2yzdy,xdz2,,,,,3z,t, 222()2yzdxyzdyxdz,，,解: ,, 2,643846457,,,,，,,32ttdt ，，,057 2L3(计算，其中:(1)抛物线上从点(1，1)到点(4，2)y,x(x，y)dx，(y,x)dy,L 的一段弧;(2)从点(1，1)到点(4，2)的直线段; 22(3)曲线x,2t，t，1,y,t，1上从点(1，1)到点(4，2)的一段弧. 2,xy,解:(1)由，得 Ly::12,,yy,, ()()xydxyxdy，，,,L 23422，， ,，,，,,()2()yyyyydy,，，13 xx,,,(2)由，得 Lx::14,12,yx,，,33, ()()xydxyxdy，，, ,L 412121，，,，，，，,,()()11xxxxdx ,,,133333，， 2,xtt,，，21,(3)由，得 t:01,,2yt,，1,, ()()xydxyxdy，，, ,L 13222，，,，，，,，，,(32)41(2)2ttttttdt ，，,，，03 22L4(证明: 其中为平面上光滑曲线的长度. sin(x，y)dx，cos(xy)dy,2ll,L (提示:转化为对弧长的曲线积分) 证明: 22sin()cos()xydxxydy，， ,L 22,，，[sin()coscos()cos]xyxyds,, ,L 22其中是切向量的方向余弦，故满足。 cos,cos,,coscos1,,，, 2222sin()cos()xydxxydy，，,，，sin()coscos()cosxyxyds,, ,,LL 222 ,，，[(sin()coscos()cos)]xyxyds,,,L 22222222 ,，，，，(sin()cos2sin()coscos()cos)cos()cos)xyxyxyxyds,,,,,L 222222222222,，，，，，(sin()cos[sin()coscoscos()]cos()cosxyxyxyxyds,,,,,L 22222222 ,，，，，(sin()[coscos]cos()[coscos]xyxyds,,,,,L 2222 ,，，,,(sin()cos()22xyxydsdsl,,LL 法二:证明: 22sin()cos()xydxxydy，， ,L 22,，，[sin()coscos()cos]xyxyds,, ,L 22其中是切向量的方向余弦，故满足。 cos,cos,,coscos1,,，, 2222sin()cos()xydxxydy，，,，，sin()coscos()cosxyxyds,, ,,LL 22n,cos,cos,,nxyxy,，sin(),cos()设向量，则 ，，，，e22sin()coscos()cosxyxynn，，,,,, e 2222,nn,，，sin()cos()xyxy， ,2e 2222sin()cos()xydxxydy，，,sin()coscos()cosxyxyds，，,,故 ,,LL2ds,2l ,L ?3 Green公式 1( 用曲线积分计算下列曲线所围平面图形的面积: 22yx，,1(1)椭圆:; 22ab xa,cos,,解:若:，则 L::02,,,,yb,sin,, 1Adxdyydx,,,, ,,,DL2 2,122，，,，,,,,,ababdabcossin ,，，02 33(a,0,0,t,2,)(2)星形线:，. x,acost,y,asint 3,xatcos,,解:若:，则 ,Lt::02,,3yatsin,,, 1Adxdyydx,,,, ,,,DL2 2,1242242，，,，3cossin3sincosattattdt ,，，02 22,3a42242，，,， cossin3sincosttattdt,，，02 22,3a22, sincosttdt,02 22,3a2, sin2tdt,08 22,31cos43at,2, ,,dta,0828 2(用格林公式计算下列曲线积分 22L(a,0)(1)，其中为圆周，取逆时针方向; xydy,xydx,L xLD:0,x,,,0,y,sinx(2)，其中为闭区域的正向边e[(1,cosy)dx,(y,siny)dy],L 界. ,,QP2222PxyQxyxy,,,？,,，,,解:(1)， 222x，y,a,,xy 222L又逆时针方向，设，所以 Dxya:，,2222xydyxydxxyd,,，, ，，,,,LD 2a,124,,drrdra,, ,,002 22222xydyxydxxydad,,，,,,(注意，为什么,) ，，,,,,,LDD ,,QPxx(1cos),(sin),PeyQyyye,,,,,？,,,(2) ,,xy yx,sin xe[(1,cosy)dx,(y,siny)dy]所以 ,L ,sinx, xx,,,,yeddxyedy, ,,,,D00 ,sinxx,,edxydy ,,00 ,1x2,,exdxsin ,02 ,11cos2,xx,,edx ,022 ,,1xx,,,edxexdx[cos2] ,,004 111,,,,,，,,, (1)1(1)eee，，4205 ,,xxx2,(其中exdxexexdxcos2cos22sin2,， 0,,00 ,xx2,,,,，,eexexdx12[sin22cos2] 0,0 ,x,,,,eexdx14cos2 ,0 ,1x,exdxe,,所以cos21) ，，,05 xdy,ydx222L3(计算积分，其中为圆周(按逆时针方向); (x,1)，y,R(R,1),L224x，y ,,,yxQPPQ,,？,,,,0解 222244xyxyxy，，,, ,yx222PQ,,,(1)故当时，在所围的区域R,1(1)(1)xyRR,，,,222244xyxy，， xdyydx,00,,,d内有连续偏导，满足格林公式条件。 D22,,,LD4xy， 222(2)故当时，所围的区域含有点，故R,1D(0,0)(1)(1)xyRR,，,, ,yx？,,PQ,在区域有点没有连续偏导，不满足格林公式条件。不能直D222244xyxy，， 接用格林公式条件。 222做曲线(取得足够小保证含在所围区域)方向为逆时针，即L,llxy:4，,, 1,,,x,cos,。 l:02,,,2, ,y,sin,,, ,则曲线围成复连通区域且为的正向边界。 DDLl，11 xdyydx,故在复连通区域满足格林公式条件，故 D,122,Ll，4xy，xdyydx,00,,,d即 ,22,,,LlD，14xy， xdyydxxdyydxxdyydx,,,,,, ,222222,,,Lll444xyxyxy，，， 112222,,,,cossin，2,22,d ,2,0, 2,1,,d,, ,02 222222(注之所以取曲线是方便计算，若取则计算麻烦) lxy:4，,,lxy:，,, xoy4(证明下列曲线积分在面上与路径无关，并计算积分. (3,4)2322(6xy,y)dx，(6xy,3xy)dy(1) ,(1,2) 2322xoy解:，所以单连通区域面有连续偏导，且 PxyyQxyxy,,,,6,63 ,,QP2,,,123xyxoy，所以曲线积分在面上与路径无关。,,xy C(3，4) A(1，2) B(3，2) (3,4)2322(6xy,y)dx，(6xy,3xy)dy法一: ,(1,2) 2322,，,，,()(6)(63)xyydxxyxydy ,,ABBC xx,x,3,,其中 ABx::13,BCy::24,,,y,2yy,,,342322,，,(622)xdx，，，,，，,(6333)236yydy ,,12 23223,,，3xyxyy,uxyxyydx(,)(6),,法二设: ，，, dy,dy,，，，，u,2222则63xyxy得,0 ,,，,,63xyxyydydy, 223，故 uxyxyxyC(,)3,,， (3,4)2322(6)(63)xyydxxyxydy,，,,,,uu(3,4)(1,2)236 ,(1,2) (2,1)423(2)(2xy,y，3)dx，(x,4xy)dy ,(1,0) 423解:，所以单连通区域xoy面有连续偏导，且 PxyyQxxy,,，,,23,4 ,,QP3,,,24xyxoy，所以曲线积分在面上与路径无关。 ,,xy 法一: C(2，1) (2,1)423(23)(4)xyydxxxydy,，，, ,(1,0)A(1，0) B(2，0) 423,，,，，,()(23)(4)xyydxxxydy ,,ABBC xx,x,2,,其中 ABx::12,BCy::01,,,y,0yy,,,21423,，,，(2003)xdx，,，，,(242)5ydy ,,10 424uxyxyydxyxyxyxy(,)(23)3,,，，,,，，,,法二设: ，，，，, dy,dy,，，，，u,2323，得0，所以 xxyxxy44,,,，,,ydydy, 24， uxyxyxyxC(,)3,,，， (2,1)423(2xy,y，3)dx，(x,4xy)dy故= uu(2,1)(1,0)5,,,(1,0) 5(用适当的方法计算下列曲线积分 2222L(R,0)(R, 0)(1)，其中为圆周上从点(xsin2y,y)dx，(xcos2y,1)dyx，y,R,L B (0, R)依逆时针方向到点的弧段; A ,,QP2,,1解:由 ，有 PxyyQxy,,,,sin2,cos21D ,,xy 2(sin2)(cos21)xyydxxydyd,，,,, O A ,,,OALBOD，， xx,x,0,,其中OAxR::0,， BOyR::0,,,y,0yy,,, 2(sin2)(cos21)xyydxxydy,，, ,L 2,,，,(sin2)(cos21)xyydxxydy,OALBO，， 2,，,，,[](sin2)(cos21)xyydxxydy ,,OABO 2 ,,，,，,dxyydxxydy,[](sin2)(cos21),,,,DOABO 2R0,R,,，,,,(sin(20)0)(0cos21) xdxydy,,0R4 220,,RR,,,,,,0(0cos21) ydyR,R44 ydxxdy,L(2, 1)(1, 2)(2)，其中为从点到点的直线段. 2,Lx ,,QPy1B(1，2) PQ,,,,,,0解:由 ，有 2xx,,xy 积分与路径无关，则 A(2，1) ydxxdyydxxdy,,[],， 22,,,C(1，1) LACCBxx xx,x,1,,其中， ACx::21,CBy::12,,,y,1yy,,, 12ydxxdyydxxdy,,dxdy,3[],，,，,, 2222,,,,,LACCB21xxx12(注意:若应用积分与路径无关，则必须保证在添加的曲线与原曲线所围的区域是单连通的， 和在区域有连续偏导数，如该题中区域就不能含原点) PQ, 6(解下列全微分方程 3232(1); (x,3xy)dx，(y,3xy)dy,0 ,,QP3232,,,6xy解: ，在面有，得方程为全微分方程。 xoyPxxyQyxy,,,,3,3,,xy 1332422uxyxxydxy,3,,，,,,，xxyy,法一，故 ，，，，，，，，,42 dy,dy,，，，，u,142323,yy,33xyyxy,，得，即 y,,，,,，，4ydydy, B(x，y) 1314224xxyyC,，,所以方程通解为 424A(x，0) (,)xy3232uxyxxydxyxydy,(3)(3),,，,法二，令 ，，,(0,0) O(0，0) 3232,，,，,()(3)(3)xxydxyxydy ,,OAAB xx,xx,,,其中AByy::0, OAxx::0,,,yy,y,0,, xy332,,，，，(30)0xxdx，，,0(3)yxydy ,,00 1134422 ,，,xyxy442 1314224所以方程通解为 xxyyC,，,424 xdx，ydy(2). ，xdy，ydx,0221，x，y ,,QPxy,解:，在面有，得方程为全微分PyQx,，,，,xoy2222,,xy11，，，，xyxy 方程。 ,,x22,,uxyydxyxyxyy,1,,法一，故 ,，，,，，，，，，，，，，,22,,1xy，，,, dy,dy,，，uyy，，,xx,y,0,，，,，，得，即 ,0，，2222ydy,dy11xyxy，，，， 22B(x，y) 1，，，,xyxyC所以方程通解为 (,)xyA(x，0) xdxydy，法二，令 ,uxyxdyydx,，，，，,22(0,0)1，，xy O(0，0) xdxydy， (),，，，xdyydx,,22OAAB1，，xy xx,xx,,,其中 AByy::0,OAxx::0,,,yy,y,0,, xyxy,，dx0 0()，，，xdy,,22022010，，x1，，xy 222y,，,，，，，11(1)xxyxy 0 2222,，,，，，，,，,111(10)xxyxyx 22,，，，,11xyxy 2211，，，,,xyxyC所以方程通解为 x，ydx,x,ydy()()L7(计算曲线积分，其中: ,L22x，y 2222(1)闭区域的正向边界; a,x，y,b(b,a,0) ()()xyxy，,,,,PQ,PQ,,,，则 2222,,yxxyxy，， ()()xyxy，,,2222PQ,,,显然在内有连续偏导数，满足格林a,x，y,b(b,a,0)2222xyxy，， ()()xydxxydyQP，,,,,,公式条件，故,,,()0d 22,,,LDxyxy，,, 222(a,0)(2)圆周按逆时针方向; x，y,a ()()xyxy，,,222PQ,,,解:圆周所围区域含原点，故在其内没有连续偏导，x，y,a2222xyxy，， xR,cos,,数，不能用格林公式。直接计算，故 L::02,,,,yR,sin,, 2,2()()xydxxydya，,,, ,,,,,d2222,,L0xya， A(,,, ,,)B(,, ,,)(3)从点沿曲线到点的弧段. y,,cosx (0, ,)E ,,PQ,解:由，则积分路径无关，故: ,,yx(- ,, ,),C (,, ,),D ()()xydxxydy，,, 22,AExy， (,,-,),B ()()xydxxydy，,, ,(-,,-,)A 22 ,ACCE，xy， ()()xydxxydy，,, 22,EBxy， ()()xydxxydy，,,,， 22,EDDB，xy， xxxx,,,,,,,,,其中， ACy::CDx::,,DBy::,,,,,,,,,,,,,yyyyy,,,,,,, x，ydx,x,ydy()()故: ,L22x，y ()()xydxxydy，,,,，[] 22,,AEEBxy， ()()xydxxydy，,,,，，，[] 22,,,,ACCEEDDBxy， ()()xydxxydy，,,,，，[] 22,,,ACCDDBxy， ,,,,()()xydxxydy，,,,,(),y,,,(),y()x，,,dy，dx，dy 2222222,,,,2,,L,,,x，，yxy，,,,，y，，, ,,,,,，y,，yx，,x，,,dy，dx，dy,3dx 22222222,,,,,,,,,,,,xx，，，y，y,,,, ,,,,xx，,,,,3dx,，33dxdx,，06dx 22222222,,,,,,,0,,,x，x，xx，，,,,, x3,,,,6arctan 02, 8(利用曲线积分与路径无关的条件，求待定参数或函数. 4aa,124(1)确定的值，使曲线积分与路径无关; I,(x，4xy)dx，(6xy,5y)dya,L ,,PQ4124aa,,解:，欲使曲线积分与路径无关当且仅当，即 PxxyQxyy,，,,4,65,,yx ,461aa,,，， ,aa,,122461xayaxy,,，即得 a,3a,,21，，, ,a,,12, yeI,y,(y)dx，(,,(y))xdy,(y),(1),e(2)求可微函数，，使曲线积分 ,Lyy,0在的开区域内与积分路径无关. y,,PQe,解:,,,,,(),(())，积分与路径无关当且仅当，即 PyyQyx,,yxy ydye,()，,,，得 ()()yyy,,dyy ydyye,,()(),y，,,，(这是以自变量为未知函数的一阶线性微分方程) 0y，，2dyyy ye,(1),e又得 ,,y，，2y 22,v,v,v,v9(证明的充分必要条件为: dy,dx,0，,0,L22,x,y,x,y Lv(x,y)其中是单连通开域内的一条简单闭曲线，在内具有连续的二阶偏导数 GG ,,vv,,vv,v,vdydx,PQ,,,,证明:对曲线积分，故的充分必要dy,dx,0,,LL,x,y,,xy,,yx 22,,PQ,,Pv,,Qv,条件为，又， ,,,22,,yx,,xx,,yy 2222,,vv,v,v,v,v故的充分必要条件为， 即 ,,dy,dx,0，,0,22L22,x,y,,yx,x,y ?4 对面积的曲面积分 1(计算下列曲面积分 22(1)，其中?为抛物面在面上方的部分; dSxoyzxy,,，2(),,, 2222xyDDxy,,:2,，,解: ,,,，:2()zxy，，xyxy 222222dSzzdxdyxydxdyxydxdy,，，,，,，,,，，1122144则 ，，，，xy 22,222故 ,，drrdr,14dSxy,，，144,,,,,,D00xy, 32,213122222,，，，,,，，,214(41)rdr[14]r ,，，0,08433 2222zxy,，(2)，其中?为锥面及平面所围成闭区域的边界曲面. ()xydS，z,1,,, 解:如图，其中 ,,,，,12 ,,:1z2 2222xyDDxy,,:1,，,,,，:,zxy ，，1 2222,,，:zxy xyDDxy,,:1,，,，故 ,,:1,z，，12 222222()xydS，()xydS，()xydS，=+ ,,,,,,,,,12 22,,,,xy22,,,,()1=xydxdy，，， ,,2222,,,,xyxy，，D,,,, 2222+ ()100xydxdy，，，,,D 22 ,，，21()xydxdy，，,,D 21,12,，,，,,21(12)drrdr ，，,,002 2222(3)，其中?为锥面被柱面所截zxy,，()xyyzzxdS，，xyaxa，,,2(0),,, 得的部分; 2222xyDDxyax,,:2,，,解: ,,，:zxy，， 22,,,,xy22,,,,,，，1dxdy则 dSzzdxdy,，，1,2dxdyxy2222,,,,xyxy，，,,,, 2222故 ()()2xyyzzxdSxyyxyxyxdxdy，，,，，，，,,,,D, 2222,2[xydxdy ，，yxydxdy，，xyxdxdy],,,,,,DDD 22 ,，，，002xyxdxdy,,D 22yxy，(区域关于轴对称，函数，是关于奇函数) xxyy ,,2cosa2cosa,,322 ,,2cosdrrrdr,,,2cos,,drdr,,,,,,00,,22,452,42cosad ,,,,,2 ,426444452,，，,822aa ,82cosad,,,05315 2222zxy,,,4(4)()xydS，，其中?为上半球面. ,,, 2222xyDDxy,,:4,，,,,,,:4zxy解:，则 ，， 22 dSzzdxdy,，，1xy 22,,,,,,xy2,,,,,，，1dxdy ,dxdy222222,,,,44,,,,xyxy4,,xy,,,, 2,222r22222故: ()xydS，,,drdr,，xydxdy(),,,,,,2D0022,4r,,xy4, 22222222,,,4(4),rdr，,24]rrdr ,,,4[4,rr0,,00 3164222,,,,,, 8[4r，，033 3( 计算曲面壳 122,,，,,:()(01)zxyz的质量，面密度. ,,z2 解:质量 MdSzdS,,,,,,,,, 12222xyDDxy,,:2,，,,,，:()zxy其中， ，，2 2222dSzzdxdyxydxdy,，，,，，11 xy 12222则 MzdSxyxydxdy,,，，，()1,,,,D2, 3222,2112222322,，,drrrdr1,，,rdr1 ,，,rrdr1，，,,,,000023 332112222222,，,，,[11]rrrdr ，，，，0,033 32,222,,，，[631(1)]rdr ，，,03 5,2222,,，[631]r ，，035 2,,，(163) 15 222zaxy,,,4( 求密度为常数的均匀半球壳对于Oz轴的转动惯量. ,Iz 22解: IxydS,，(),z,,, 222?在面上的投影区域: Dxoyxya，,xy 2,2ara2222 ,,,IxydS,，(),adrdr,，,()xydxdyz,,,,,,22D00222xy,ar,,axy, aa222222222a,,,2(),,ardar,,,，,2[],,aarrardr 0,,00 3a24a22222242,,,,2[()],,aardar,,,,,,,,aara 2[]，，0,033 ?5对坐标的曲面积分 计算联合形式 PdxdyQdydzRdzdx，，,,, ，， 法一:直接计算:则分别计算PdxdyQdydzRdzdx,,,,,,,,,(1) 计算时 Pdxdy,,, ,(?)将曲面投影在面(且只能投影面，即使投影为曲线而非区域，此时xoyxoy ,)为区域D，即根据方程解出:zzxyxyD,,(,),(,)，并确定曲Pdxdy,0xyxy,,, 面是朝上还是朝下 1计算下列对坐标的曲面积分 22(1)，其中?是柱面被平面及所截下的zdxdyxdydzydzdx，，z,0z,3x1，,y,,, 第一卦限内部分的前侧; z,3 解:(1)计算 zdxdy,,, ?在面投影为0，故 zdxdy,0xoy,,y , (2) 计算 xdydzx ,,, ,Dyz:01,03,,,,曲面朝投影为 yozyz 2yzDyz,:01,03,,,,,,,,:1xy故，前侧 ，，yz 2xdydzydydz,，,1故 ,,,,,Dyz 131322,,,,dyydzydydz11 ,,,,0000 12,,31ydy(令 yt,cos),0 ,3,22,, 3costdt,04 (3) 计算ydzdx,,, ,曲面朝投影为 xozDxz:01,03,,,,xz 2xzDxz,:01,03,,,,,故，右侧 ,,,:1yx，，xz 2故ydzdxxdzdx,，,1 ,,,,,Dxz 13133,22,,dxxdz1,,,1xdxdz ,,,,00004 故 zdxdyxdydzydzdx，，,,, 333,,,,，，,0= zdxdyxdydzydzdx，，,,,,,,442,,, 1222zxy,，()(2)，其中?是抛物面介于平面及之z,0z,2()zxdydzzdxdy，,,,2, 间的部分的下侧; z ,2 ,1 y x 22,D解:法一(直接计算):计算，将投影到面为 ,zdxdyxoyxy，,4xy,,,122,,，,zxyxyD:(),,，朝下，故 ，，xy2 22,11222,,,,drrdr4 ,,,,，zdxdyxydxdy(),,,,,,00Dxy22, Z=2 122,计算将投影到面为，如图 D()zxdydz，yozzy,yz,,,2 2y ,,,,:2,,xzyxyD，其中，朝前 ,,,，,，，yz112 2,,,,,:2,,xzyxyD，朝后，故 ，，yz2 22()()()zxdydzzxdydz，,，， ,,,,,,,,,12 2222,，,(2)zzydydz,,,(2)zzydydz ,,,,DDyzyz 3222122222,,22dyzydz,,22zydydz ,,zydy2(2)121,,,,,2,yD2,2yyz322 3322242222,,(4)ydy,,(4)ydy(其中令) y,2sin,,,,2033 ,442,,,,,16cos4d ,03 2故 ()8zxdydzzdxdy，,,,,,, 12222zxy,，()法二(投影面转换法)因为，D:，朝下，，所以 zx,xy，,4xyx2 2 ()zxdydzzdxdy，,,,, 2 ,，,,[()()]zxxzdxdy,,, 22 ,,，，()zxxzdxdy,,, 11222222,,,，，，，xyxxxydxdy[[(()()]],,42Dxy 11222222,，，，，xyxxxydxdy(()()],,42Dxy 11222222 ,，，，，xyxdxdyxxydxdy(()[()],,,,42DDxyxy 1222 ,，，，xxydxdy0[()],,2Dxy 22,222,，,,()8xydxdydrrdr,, ,,,,00Dxy 1222(其中利用对称性:， xyxdxdy，,(()0,,4Dxy 12222222由于:易知:，即) Dxdxdyydxdy,xdxdyxydxdy,，xy，,4()xy,,,,,,,,2DDDDxyxyxyxy 2把对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分: (1)?:平面被柱面PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy(,,)(,,)(,,)，，zx，,1,,, 22所截部分的下侧; x1，,y ,12解:曲面在处的法向量为，故: (,,)xyz(1,0,1),,,cos,,,2222(1)0(1),，，, ,120，，故 ,,,,cos,,,cos02222222(1)0(1),，，,,，，,(1)0(1) PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy(,,)(,,)(,,)，，,,, ,，，[(,,)cos(,,)cos(,,)cos]PxyzQxyzRxyzdS,,,,,, 2 ,,，[(,,)(,,)]PxyzRxyzdS,,2, (注意对于非定向曲面可为，或，但对于定向曲面朝(1,0,1),,,,(1,0,1)(1,0,1)zx，,1 下则第三个分量应为负) 22PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy(,,)(,,)(,,)，，(2)?:抛物面被平面所截y,2yxz,，2,,, 的部分的左侧. 解:曲面在处的法向量为，故: (,,)xyz(4,1,2)xz, 44xx ,,,cos22222，,，，，(4)(1)(2)1164xzxz ,12z,coscos,,,，，故 22221164，，xz1164，，xz PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy(,,)(,,)(,,)，，,,, ,，，[(,,)cos(,,)cos(,,)cos]PxyzQxyzRxyzdS,,,,,, 4(,,)(,,)2(,,)xPxyzQxyzzRxyz,， ,dS,,221164，，xz, 22(注意对于非定向曲面可为，或，但(4,1,2)xz,,,,,,(4,1,2)(4,1,2)xzxzyxz,，2 对于定向曲面朝做则第二个分量应为负) 3(计算曲面积分 [(,,)][2(,,)][(,,)]fxyzxdydzfxyzydzdxfxyzzdxdy，，，，，,,, 其中为连续函数，?是平面在第四卦限内的上侧. fxyz(,,)xyz,，,1 z 1 y ,1 x ,1 解:由?是平面在第四卦限内的上侧，故曲面在处的法向量为 xyz,，,1(,,)xyz(1,1,1), 333cos,,cos,,,cos,,故，，，则 333 [(,,)][2(,,)][(,,)]fxyzxdydzfxyzydzdxfxyzzdxdy，，，，，,,, 333 ,，，，,，，{[(,,)][2(,,)]()[(,,)]}fxyzxfxyzyfxyzzdS,,333, 331 ,,，,,()xyzdSdS,,,,332,, ,在面投影区域面积xoy,(其中平面的面积为) cos, 2222zxy,，5( 计算()xydzdxzdxdy，，，?为锥面上满足，y,0，z,1x,0,,, 的那部分曲面的下侧. 解:(采用投影面转换法计算较为简单) yz,由，有 y22xy， 22 ()xydzdxzdxdy，，,,, 22 ,，,，[()()]xyzzdxdyy,,, 22 ,,，，()yxyzdxdy,,, 2222又?为锥面zxy,，:，，，朝下， Dx,0y,0xy，,1xy2222 ()()xydzdxzdxdyyxyzdxdy，，,,，，,,,,,, ,1222222,,,，，，()yxyxydxdy ,,,drrdr,,(1sin),,,,00Dxy ,,113222 ,,drdrdrdr,,,sin,,,,0000 ,1,,132,,,,sindrdr ,,,,00646 ?6 Gauss公式与Stokes公式 1(利用高斯公式计算下列曲面积分. 333222(1)其中?是球面的外侧. xdydzydzdxzdxdy，，xyz，，,1,,, 333解 xdydzydzdxzdxdy，，,,, 222,，，(333)xyzdxdydz ,,,, 222,，，3()xyzdxdydz ,,,, 21,,22,ddrrdr,,,sin ,,,000 2223()3xyzdxdydzdxdydz，，,(本题中若写成是错误的，为什么,) ,,,,,,,, 22222zy,，xzy,,,2x2)其中?为由曲面与所围2xzdydzyzdzdxzdxdy，,,,, 立体的表面的外侧. 2解: 2xzdydzyzdzdxzdxdy，,,,z,2 , ,zdxdydz,，,(22)zzzdxdydz ,,,,,,,, z,1 (若采用先二后一的方法计算三重积分) 22，其中 ,,,，,:01,:zDxyz,,,，,z112 22 ,,,,，,:12,:2()zDxyzz2 12zdxdydz ,，dzzdxdydzzdxdy,,,,,,,,,,DD01zz 1212,32,，,,zdzzzdz(2) ,，zdzdxdyzdzdxdy,,,,,,,,,,01DD01zz2 (若采用柱坐标方法计算三重积分) 2 ,,,,,,,,:2,01,02rzrr,, 2212,,r, zdxdydzdrdrzdz,,,,,,,,,,00r22(计算下列曲面积分: 222(1)，?是球面的上侧. yzdzdxdxdy，2xyzz，，,,4(0),,, 22,,，,:0,:4zDxy解;作曲面，朝下。则 xy1 yzdzdxdxdy，2,,, , ,，yzdzdxdxdy2,，yzdzdxdxdy2 ,,,,,，,,11 ,zdxdydz,，yzdzdxdxdy2 ,,,,,, ,,11 222其中 ,，，,,:4(0)xyzz 222zdxdydz,dzzdxdy,,zzdz,,4(先二后一) ,,,,,,,,D00z 22,,，,:0,:4zDxy由，朝下，有 xy1 yzdzdxdxdy，2,，02dxdy，故 ,,,,28dxdy,,,,,,,,,D11xy yzdzdxdxdy，,212,,,, 32222(2)，?为抛物面被平面所截下的xdydzxzdzdxydxdy，，23z,0zxy,,,4,,, 部分的下侧. 22,,，,:0,:4zDxy解;作曲面，朝上。则 xy1 322 xdydzxzdzdxydxdy，，23,,, , 322322 ,，，xdydzxzdzdxydxdy23,，，xdydzxzdzdxydxdy23,,,,,，,,11 2322 ,,，，(300)xdxdydz,，，xdydzxzdzdxydxdy23,,,,,,,1 22其中 ,,,,,:4(0)zxyz 2224,,r222 xdxdydzdrdrrdz,,,cos,,,,,,,000 22224,,r16,3223,,,rrdr4 ,cos,,drdrdz,，，,,,,00003 2(用柱坐标) ,,,,,,,,:04,02,02,zrr,, 22,,，,:0,:4zDxy，朝上有 由xy1 3222xdydzxzdzdxydxdy，，23,，，003ydxdy ,,,,,,11 22,22,23232,,3sin12,,,drdr ,,33sinydxdydrdr,,,,,,,,0000Dxy 322故 xdydzxzdzdxydxdy，，23,,,,,161228,,,,,, (其中利用定积分的几何意义有 222,,,1222,,,,,,,,,,，,cossin(sincos)ddd) ,,,0002 22323:计算曲面积分其中?为和xzdydzxyzdzdxxyyzdxdy，,，，()(2)z,0,,, 222zaxy,,,所围曲面外侧. a 2232解: xzdydzxyzdzdxxyyzdxdy，,，，()(2),, a, ,2a,222222 ,，，,()sinzxydxdydzddrrdr,,,,,,,,,,000 a a,2a,22252,,ddrrdra,,,,sin ,,,0005 4(设是连续可导函数，计算曲面积分 f 11yy333其中?为锥面 ，，，xdydzfydzdxfzdxdy[()]+[()],,zzyz, 22222222xyz,，与两球面及所围立体表面的外侧. xyz，，,1xyz，，,4 11yy333解: ，，，xdydzfydzdxfzdxdy[()]+[()],,zzyz, 11yy2'2'2,，，,， (3()3()3)xfyfzdxdydz22,,,,zzzz 222 ,，，(333)xyzdxdydz,,,, ,22,224 ,ddrrdr,,,sin,,,001 ,22,93(22),224,,,,,,ddrrdrsin ,,,00155(利用斯托克斯公式计算下列曲线积分: 2222,xyza，，,,(1)，为圆周:，从z轴正向看去，取逆时针方ydx，zdy，xdz,,,xyz，，,0,向. dydzdzdxdxdy ,,,解:原积分= ,,,,,,，，dydzdzdxdxdydydzdzdxdxdy,,,,,,,,,xyz,,, yzx ,，，,:0xyz ,(其中如图它是在球内的部分，朝上。) xyz，，,0 ,1,1,1的法向量为，故 ，， 333 ,,，，,,，，dydzdzdxdxdydS(),,,,333,, 2 ,,,,33dSa,,,, 222,xya，,,,(2)，为椭圆(,0)ab,，从z轴正向(y,z)dx，(z,x)dy，(x,y)dz,,xz,，,1,ab,看去，取逆时针方向. dydzdzdxdxdy ,,,222dydzdzdxdxdy 解:原积分=,,,, ,,,,xyz,,,,, yzzxxy,,, xz,，,1,,，，2dydzdzdxdxdy(其中它是在圆柱内的部分，朝上) ,,ab, ,ba,0,的法向量为，故 ，， ba原积分 ,,，，,,，22()dydzdzdxdxdydS,,,,2222abab，，,, 2baa,ba ,,，,,，2()2()aab,,，2()dS,,,22222222aabab，，abab，，,22ab， 第十章 自测题 xtt,cos, ,,ytt,sin1((1)求zds，其中为曲线，; (0),,tt,0, ,,zt,, t022zds,,，，，tttttttdt(cossin)(sincos)1解: ,, ,0 332222t，2t，，(2)22，,t0t200,，ttdt2 ,,0,033 xx222(2)求(sin2)(cos2)eyydxeydy,，,，其中L为上半圆周，()xaya,，,,L ，沿逆时针方向. y,0 ,,QPxx,,2解:， PeyyQey,,,,sin2,cos2,,xy 做直线段，则 OAyxa:0,:02,, xx(sin2)(cos2)eyydxeydy,，, ,L xxxx,,，,(sin2)(cos2)eyydxeydy,,，,(sin2)(cos2)eyydxeydy ,,，LOAOA xx2a ,2dxdy,,，,(sin2)(cos2)eyydxeydy ,,,DOA 2xx,,,，,,aeyydxeydy(sin2)(cos2) ,O A OA 由OAyxa:0,:02,,有 2axxx(sin2)(cos2)eyydxeydy,，,,,，，,(sin020)00edx ,,OA0 xx2(sin2)(cos2)eyydxeydya,，,,,故 ,L 2(计算下列各题: dS222(1)，其中?为界于z,0与zHH,,(0)之间的柱面:. xyR，,,,222，，xyz, zH, y dSdS解:利用对称性有 ,4,,,,222222xyzxyz，，，，,,1 ,其中为在第一卦限部分如图 ,1 22 ,,,,,,,:,:0,0xRyDyRzH1 2,,,yR222,,,，，10dydz dSxxdydz,，，1,dydzyz2222,,Ry,Ry,,,dSdSdS ,,44,,,,,,22222222xyzxyzRz，，，，，,,,11 HR1R1R ,4dydz,4dzdy,,,,2222222200RzRy，,RzRy，,D HR1R ,4dzdy,,222200RzRy，, RHy,,22 4lnarcsin,，，zRzR，，,,0R,,0 22HRH，， 2ln,R,R 222(2)求其中?为锥面()()()yzdydzzxdzdxxydxdy,，,，,,,, 22zxyzh,，,,(0)的外侧. ,,:zh1 222解:作曲面，朝上，则 ,,，,:,:zhDxyh1 222 ()()()yzdydzzxdzdxxydxdy,，,，,,,22,,，:zxy , 222,,，,，,()()()yzdydzzxdzdxxydxdy ,,,，,1 222,,，,，,()()()yzdydzzxdzdxxydxdy ,,,1 222,，，(000)dxdydz,,，,，,()()()yzdydzzxdzdxxydxdy ,,,,,,,1 222,,，,:,:zhDxyh由，朝上有 1 222()()()yzdydzzxdzdxxydxdy,，,，, ,,,1 2 ,，，,00()xydxdy,,,1 222 ,,()xydxdy,,,,xdxdyydxdyxdxdy0,,,,,,,,DDDD 4,h211,h223 ,，,,()xydxdydrdr,,,,,00224D 4h,222故 ()()()yzdydzzxdzdxxydxdy,，,，,,,,,4, 22xdydzydzdxzdxdyzxy(2)(1),,，，(3)其中?为曲面的上侧. 1(0),,，,z,,22235169()xyz，，, 22(2)(1)xy,,解:作曲面,,，,:0,:1zD，朝下，则 1169xdydzydzdxzdxdy，， ,,2223()xyz，，, xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy，，，， ,,,,,,22232223()()xyzxyz，，，，,，,,11 xdydzydzdxzdxdy，， 0dxdydz,,,,,,,2223,()xyz，，,1 22(2)(1)xy,,,,，,:0,:1zD由，朝下，有 1169 xdydzydzdxzdxdy，， ,,2223()xyz，，,1 0dxdy ,，，,000,,2223，，()xyz,1 xdydzydzdxzdxdy，，故=0 ,,2223()xyz，，, 222zaxy,,,3(求均匀曲面的质心的坐标. zdS,,,222222,,,,,,，,:,:zaxyDxya解:利用对称性，z，其中 xy,,0,0 dS,,,, a22 1dSzzdxdydxdy,，，,xy222axy,, zdS,,,, ,z dS,,,, a222,axydxdy,,,,222Daxy,, ,adxdy,,,222Daxy,, dxdy,,D ,1dxdy,,222Daxy,, 2,a ,,2arddr,,,2200,ar 2a,aa(0,0,)，故质心为 ,,a22222(),,ar,0