一元二次方程求根公式的推导
师：同学们大家好，今天我们继续进行对一元二次方程求解的研究。在上节课的 学习中，我们知道求解一个一元二次方程有很多种
方法
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，那么大家有没有想过有什么方法能直接给出一元二次方程的根呢？
生：没有，不过这种方法听起来很方便简单呢。
师：好的，那么今天老师就带着大家一起学习一元二次方程的公式法，推导一下方程的求根公式。首先，让我们请一位同学回答一下一元二次方程的
标准
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形式？
生：，其中。
师：回答得很好。接下来，我们该选哪种方法来解决这个方程呢？
生1：因式分解法！
生2：不对，因式分解法只适合特殊的一元二次方程，而这个方程中的系数都是未知数，所以我觉得我们应该用配方法。
师：感谢两位同学的发言，第二位同学说的很对，在这个标准方程的求解中，我们选择配方法。那么哪位同学记得配方法的基本步骤是什么呢？
生：简单来说，分为6个过程：化1，移项，配方，变形，开方和求解。
师：看来这位同学对配方法掌握得很好呀。首先，考虑这个方程中二次项系数为a,且，所以我们可以对方程采取什么措施使二次项的系数变成1呢？
生：在方程两边同时乘以。
师：很好，这样方程就变形为。接下来，让我们把常数项移到方程的右边，这样就得到了=- （1）。接下来我们要对方程左边进行配方。首先老师想问一下大家还记得完全平方公式吗？
生：
师：同学们真棒！观察这个完全平方公式，我们发现一次项系数除以2之后再平方就得到了上式右端中的第三项常数项。所以，对照着这个结论我们可以给（1）式的左端配上使左边变成()，同时我们要在（1）式右端也加上来保证方程左右两端相等，此时（1）式变成为()=-，通分整理一下变成了()= （2）。接下来我们就要对等式两边开方，这样就变形成为。大家觉得老师这样做对吗？
生：不对，万一（2）式右端是一个负数的话就不能开方了，另外，如果右端是一个正数的话，开方出来的数应该是绝对值相等，符号相反的两个数。
师：这位同学说的很好，这也是我们同学在开方的时候需要特别注意的一个方面。在开方时，我们首先考虑被开方数的正负。我们知道，所以分母，如果分子-，则一元二次方程无解；如果分子b-,那么一元二次方程有解，下面就需要对等式两端进行开方，让我们请一位同学来帮老师继续做下去。
生：首先，当-=0时，方程的解为-；当b-,我们可以得到=，这样我们只需要讨论a的正负。
当时，=-
当 时，=-。
师：感谢这位同学的讲解，十分精彩完整。同时，我们可以注意到，a>0和a<0这两种情况解可以看做是一样的。所以我们可以
总结
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出一元二次方程的求根公式……
生：当-，一元二次方程无解；当-时，一元二次方程有两个相同的根，即=-；当-时，一元二次方程有两个不同的根，---。
师：同学们回答的很棒，这就是我们的一元二次方程的求根公式。相信大家通过这个自己一步步推导的过程，一定对一元二次方程求根公式有了一个深刻的印象，希望大家在以后做题中能够正确合理地运用它来帮助我们解题。
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