小议正五边形
在某次解题比赛中有一道关于折纸的问题。该题采用了常见的一种纸条折叠方法讨论了一个五边形的问题,引起了不少数学教师的兴趣。现将原题呈现如下:
如图,将一条长度合适的、宽为a的长方形纸条打个结,然后轻轻压平,再剪去多余的部分,就得到一个五边形ABCDEF.关于这个五边形,我们能得到许多性质,现在请你证明:EA=AB=BC=CD.
这个题使我们自然产生了一个联想:
联想一:一个常见的两个宽相等的纸条相叠得到菱形(见图1)
关于联想一的菱形的证明过程中,我们会结合平行四边形,使用高相等,利用等积法产生菱形的结果。所以等宽的纸条的重合,高相等是一个重要的要素;
通过这个联想我们不难设计出这个题的解法:用高相等。
原题解法:不难看出图中存在三个菱形:菱形ABCF、菱形BCDM、菱形AENB;即可证得
EA=AB=BC=CD。(见图2)
但是对问题的思考并不因为原题得解而就此停止,我们在原题的基础上不免会产生第二个联想:联想二:这个五边形是不是正五边形呢?
仔细分析原题中的条件和已经证得的结果,可以发现,上述题中的五边形已经具备了四条边相等,根据其纸条的对边平行不难得到两个等腰梯形:等腰梯形ABCD、等腰梯形ABCE,进而得到三条对角线的相等:BE=AC=BD。即上述五边形已经具有有“四边相等+三条对角线相等”的初步条件。这让我不禁想到宁波市江东区数学教研员潘小梅老师曾在《数学教学通讯》2007年第7期中发
表
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的一篇题为《一个课题的学习及思考》的文章,在文中,潘老师对正五边形的判定做了深入的研究,得出了“5+3”的判定方法。简单来说就是:在“边、内角、对角线”三个要素中,选取两个要素,并以其中一个要素的五个量相等,另一个要素的三个量相等,即可得到正五边形。例如“五条边相等并且三条对角线相等的五边形为正五边形”。根据潘老师的研究结果,结合这个题已有的特征,我们可以猜想,纸条的宽相等必定得出相应的高相等,而高相等如果能结合已知条件得出“5+3”模式,即可证得正五边形。
下面介绍一下相应的证法思路:
思路一:证明五个内角相等(或证明五个内角均为108°)
证法一(由宁波第七中学樊贞慧老师提供):在图(3)中,根据菱形的对角线性质容易得到∠ABE=∠EBD=∠DBC;根据等腰梯形对角线的性质容易得到∠BAC=∠ABE;∠ACB=∠DBC;所以可得∠BAC=∠ABE=∠EBD=∠DBC=∠ACB;根据△ABC的内角和可得∠BAC=∠ABE=∠EBD=∠DBC=∠ACB
=36°;∠ABC=108°,所以根据等腰△ABE和等腰△CBD可得∠BEA=∠ABE=36°;∠BDC=∠
DBC=36°;根据等腰△DBE可得∠BDE=∠
BED=72°;即证得了五个内角均为108°而相等,所以正五边形即可得证。
证法二(由宁波十九中学蒋国刚老师提供):在图(4)中,
将AB边沿BC所在的直线反折回去得A’B;同证法一类似可以由菱形证明∠ABE=∠EBD=∠DBC,而∠CBA’=∠CBA;可得∠ABC=108°。以下证法同证法一类同,此处不做赘述。
思路二:证明五条边相等
其中四条边相等,即EA=AB=BC=CD前文已经进行证明,此处仅需证明ED与另四边中的一边相等
即可。可将需证明的五边形如图(5)放置于直角坐标系内。
可设纸条宽为a,EA=AB=BC=CD=b,可得A(0, -a),B(-b,-a),C(-b-,0)
E(,0)
因此,上述两个思路的计算结果都可以根据“5+3”要素的判定方法得到正五边形。
但是这种得到正五边形的方法并不是一个传统的折纸法,那么两者之间有没有联系?我们可以先将按上述方法折得的纸片打开,然后在进行观察,具体分析如下:
首先将一张矩形纸片对折后再按如上述所示折出正五边形后再全部打开(如图6、图7)
根据折叠的方法,容易得到打开后的折痕六边形ABCDEF为六条边相等的非正六边形,且AD恰好是图6中的正五边形的一条对角线,因此根据原正五边形易得
然后将纸条沿AC折叠(如图8),易得B点落在AD上的G点处,沿CG折叠,得折痕CG,同理得折痕BH(如图9),折痕CG与折痕BH相交于点P,沿直线AP和DP折叠,易证得五边形PABCD即为正五?形,且与图6中的正五边形相似。
既然折叠可以得到正五边形,那么尺规作图能否得到正五边形呢?对于这一点很多老师都不陌生,但是基本上都是借助圆内得等分来作图。但是正五边形由于其特殊性,我们也可以采用黄金分割线的特点进行作图。具体如下(如图10):
①先作出AB=2AC,∠A=90°的Rt△ABC,取得AB边上的黄金分割点E;
②以A为圆心,BE为半径作圆;以B为圆心, AB为半径作圆;两圆交于点C;
③作AB的中垂线,与以B为圆心,以BE为半径的圆相交于点G;
④作BC的中垂线,与以B为圆心,以BE为半径的圆相交于点H;
⑤顺次连结B、G、A、C、H,得正五边形BGACH;
现在我们可以看到,通过折叠和尺规作图都能得到正五边形,那么是否折叠问题和尺规作图问题之间能够互相转化呢?其实,并不尽然。尺规作图与折叠图形之间虽然有某些联系存在,但是还是具有一定的区别。
首先,对于尺规作图来说,主要能够作出三个基本作图要素:
①直线型。主要是线段、射线和直线;
②曲线型。主要是圆和弧;
③点型。主要是直线与直线的交点;寻找圆与直线的交点;寻找圆与圆的交点。
而折叠的基本作图要素主要有四个:
①折叠,使两个已知点重合;
②折叠,使一个已知点落在某条已知直线上;
③折叠,使两条已知直线重合;
④折叠,使一条已知直线与自身重合;
将两者的要素进行对照,就可以发现,在曲线方面尺规作图要强于折叠,但是在直线型问题和点型问题的解决上折叠比尺规作图要强大的多。正因为如此,在正七边形的问题上,只能通过折叠得到,而无法用尺规作图得到。(但是能够通过尺规作图能到近似的正七边形,详见《钳工手册》)
综上所述,培养学生的折叠技能和方法是提高学生数学思维和数学操作动手能力的有效途径,学生通过折叠的学习,既能够提高对数学的学习兴趣,又能够掌握和提高数学的空间想象能力和分析解决问题的应用能力。
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