56、2020同步人A数学必修第一册新教材课件：第5章 章末复习课

第五章　三角函数章末复习课**【例1】　(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝________.同角三角函数基本关系和诱导公式的应用*(2)已知f(α)＝eq\f(sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).①化简f(α)；②若f(α)＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，求cosα－sinα的值；③若α＝－eq\f(47π,4)，求f(α)的值．[思路点拨]　先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．*(1)eq\f(1,3)　[由已知得－sinθ－2cosθ＝0，故tanθ＝－2，则eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(－2＋1,－2－1)＝eq\f(1,3).](2)[解]　①f(α)＝eq\f(sin2α·cosα·tanα,－sinα－tanα)＝sinα·cosα.②由f(α)＝sinα·cosα＝eq\f(1,8)可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，*又∵eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，∴cosα＜sinα，即cosα－sinα＜0，∴cosα－sinα＝－eq\f(\r(3),2).③∵α＝－eq\f(47,4)π＝－6×2π＋eq\f(π,4)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47,4)π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47,4)π))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47,4)π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(π,4)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)·sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).*1．将本例(2)中“eq\f(1,8)”改为“－eq\f(1,8)”“eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)”改为“－eq\f(π,4)＜α＜0”求cosα＋sinα.[解]　因为－eq\f(π,4)＜α＜0，所以cosα＞0，sinα＜0且|cosα|＞|sinα|，所以cosα＋sinα＞0，又(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))＝eq\f(3,4)，所以cosα＋sinα＝eq\f(\r(3),2).*2．将本例(2)中的用tanα 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示eq\f(1,fα＋cos2α).[解]　eq\f(1,fα＋cos2α)＝eq\f(1,sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋1,tanα＋1).*1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及eq\f(sinα,cosα)＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sinα±cosα的值，可求cosαsinα.注意应用(cosα±sinα)2＝1±2sinαcosα.2．诱导公式可概括为k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．*【例2】　(1)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是(　　)A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线C2三角函数的图象变换问题*C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线C2*(2)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移eq\f(π,8)个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)A.eq\f(π,2)　　　B.eq\f(π,4)C．0D．－eq\f(π,4)*(1)D　(2)B　[(1)因为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).故选D.*(2)y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移eq\f(π,8)个单位后得y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)＋φ)).若该函数为偶函数，则eq\f(π,4)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，故φ＝kπ＋eq\f(π,4).当k＝0时φ＝eq\f(π,4).故选B.]*1．函数y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R图象的两种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 *2．对称变换(1)y＝f(x)的图象eq\o(――――→,\s\up15(关于),\s\do15(x轴对称))y＝－f(x)的图象．(2)y＝f(x)的图象eq\o(――――→,\s\up15(关于y轴),\s\do15(对称))y＝f(－x)的图象．(3)y＝f(x)的图象eq\o(――――→,\s\up15(关于0，0),\s\do15(对称))y＝－f(－x)的图象．*1．将函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq\f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为(　　)A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))*D　[函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的周期为π，将函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq\f(1,4)个周期即eq\f(π,4)个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，故选D.]*【例3】　(1)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　　)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))三角函数的性质*(2)已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1(其中a为常数)．①求f(x)的单调区间；②若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为4，求a的值．[思路点拨]　(1)先根据函数f(x)是偶函数，求θ，再依据单调性求增区间，最后与[0，π]求交集．(2)①由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z求增区间，由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z求减区间．②先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值．*(1)B　[因为函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，所以θ＝eq\f(π,2)，f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝3cos2x，令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－eq\f(π,2)≤x≤kπ，可得函数f(x)的增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).]*(2)[解]　①由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(π,3)＋kπ≤x≤eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))(k∈Z)，由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))(k∈Z)．*②∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，∴－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤1，∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.*1．求本例(2)中函数y＝f(x)，x∈R取最大值时x的取值集合．[解]　当f(x)取最大值时，2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋2kπ，∴2x＝eq\f(π,3)＋2kπ，∴x＝eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z.∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,6)＋kπ，k∈Z)))).*2．在本例(2)的条件下，求不等式f(x)＜1的解集．[解]　由f(x)＜1得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2＜1，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＜－eq\f(1,2)所以2kπ－eq\f(5π,6)＜2x＋eq\f(π,6)＜2kπ－eq\f(π,6)，k∈Z.*解得kπ－eq\f(π,2)＜x＜kπ－eq\f(π,6)，k∈Z.所以不等式f(x)＜1的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)＜x＜kπ－\f(π,6)，k∈Z)))).*【例4】　已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调性．三角恒等变换的综合应用*[解]　(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x＝cosxsinx－eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为eq\f(2－\r(3),2).*(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，0≤2x－eq\f(π,3)≤π，从而当0≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)，即eq\f(π,6)≤x≤eq\f(5π,12)时，f(x)单调递增，当eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤π，即eq\f(5π,12)≤x≤eq\f(2π,3)时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上单调递增；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(2π,3)))上单调递减．*三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.1求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.*2要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.*2．已知函数f(x)＝eq\f(sinx－cosxsin2x,sinx).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．*[解]　(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝eq\f(sinx－cosxsin2x,sinx)＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－1，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.*(2)函数y＝sinx的单调递减区间为2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)．由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(7π,8)(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(3π,8)，kπ＋\f(7π,8)))(k∈Z)．*【例5】　直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2))).(1)将线段AB的长度l表示为θ的函数；(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)三角函数的平面几何中的应用*[思路点拨]　(1)长度l可分成PA，PB两段分别用θ表示．(2)判断铁棒能否水平通过该直角走廊需要比较铁棒长度与AB长度的最小值．*[解]　(1)由题意可知：l＝eq\f(2,sinθ)＋eq\f(2,cosθ)＝eq\f(2sinθ＋cosθ,sinθ·cosθ)，其中0＜θ＜eq\f(π,2).(2)l＝eq\f(2sinθ＋cosθ,sinθ·cosθ)，设t＝sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，因为0＜θ＜eq\f(π,2)，*所以eq\f(π,4)＜θ＋eq\f(π,4)＜eq\f(3π,4)，所以t∈(1，eq\r(2)]，所以l＝eq\f(4t,t2－1)＝eq\f(4,t－\f(1,t)).因为t－eq\f(1,t)在(1，eq\r(2)]上是增函数，所以t－eq\f(1,t)的最大值为eq\f(\r(2),2)，*所以l＝eq\f(4,t－\f(1,t))的最小值为4eq\r(2).因为4eq\r(2)＞5，所以长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊．*三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下：1审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式.2利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为y＝Asinωx＋φ＋b的形式.3在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.*3．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝eq\f(π,3)，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？*[解]　连接OA，设∠AOP＝α，过A作AH⊥OP，垂足为点H，在Rt△AOH中，OH＝cosα，AH＝sinα，所以BH＝eq\f(AH,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)sinα，所以OB＝OH－BH＝cosα－eq\f(\r(3),3)sinα，设平行四边形ABOC的面积为S，则S＝OB·AH＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα－\f(\r(3),3)sinα))·sinα＝sinαcosα－eq\f(\r(3),3)sin2α＝eq\f(1,2)sin2α－eq\f(\r(3),6)(1－cos2α)＝eq\f(1,2)sin2α＋eq\f(\r(3),6)cos2α－eq\f(\r(3),6)＝eq\f(1,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2α＋\f(1,2)cos2α))－eq\f(\r(3),6)＝eq\f(1,\r(3))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))－eq\f(\r(3),6).*由于0＜α＜eq\f(π,3)，所以eq\f(π,6)＜2α＋eq\f(π,6)＜eq\f(5,6)π，当2α＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(π,6)时，Smax＝eq\f(1,\r(3))－eq\f(\r(3),6)＝eq\f(\r(3),6)，所以当A是eq\x\to(PQ)的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为eq\f(\r(3),6)平方米．********************************************