向量在三角形中的应用新

向量在三角形中的应用新 向量在三角形中的应用 泰兴市横垛中学 戎燕霞 向量是高中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 中的一个重要概念，无论在平面、立体、解析几何都有着大大拓宽解题思路与 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 的重要作用。向量融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，因此不少中学平面几何问题往往总是可用向量的适当形式表示，转化并加以解决。本文主要讨论向量在三角形中的应用。 一、 判断三角形的形状 例1、在 ABC中，AB c,BC a,CA b,且a b b c c a 试判断三角形的形状 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :解题关键a,b,c 0 解:?a,b,c 0 a,b ～c (a,b) (a～b) ～c (a～b) ～c a,c b 0 a 2 1 b 2 2 c 2 同理b AB BC AC 故 ABC是等边三角形 例 2、向量OA,OB,OC 满足条件OA,OB,OC 0，OA OB OC =1，试 判断 ABC 的形状。 2 解: OA,OB,OC 0, OA,OB ～OC, (OA,OB) (OC)2 2 ， 即 2 2 OA+OB,2 OA OB OC 2 ， OA OB OC 1， 1 OA OB ～, 2 cos AOB 23 ～ 12 OAB = 2 3 同理 AOC BOC 3 ，故 ABC是等边三角形。 变形:在四边形ABCDAB?BC,BC?CD,CDDA,DAAB， 试证明四边形ABCD是矩形。 分析:要证明四边形ABCD是矩形，可以先证四边形ABCD为平行四边 形，再证明其一组邻边互相垂直.为此可从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行思考. 评述:向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，另一方面又具有 一套优良的运算性质，因此，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，要注意体会. 二、 三角形的“四心”:内心、垂心、重心、外心 (一)、平面向量与三角形内心结合 O是 ABC内心的充要条件是 OA ～ OB ～ OC ～ 0 例3、O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP OA, ,， 0,, ,则P 点的轨迹一定通过 ABC的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 4 解析: 是向量AB 的单位向量 ， 又 ，设AB 与 AC 方向上的单位向 量分别为 ABC e1和e2 OP～OA AP ，则原式可化为 AP (e1,e2) ，由菱形的基本性质知AP平分 BAC，故在中，AP平分 BAC，则知选B. 以它的模不就是单位向量, 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。 (二)平面向量与三角形垂心结合 5 例4、H是?ABC所在平面内任一点，HA HB HB HC 是?ABC的垂心. 由HA HB同理HC 略)) 点评:本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在 直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。 (三)平面向量与三角形重心结合 例5、G是?ABC所在平面内一点， GA,GB,GC HC HA 点H HB HC HB (HC～HA) 0 HB AC 0 HB AC , AB HA BC.故H是?ABC的垂心. (反之亦然(证 =0 点G是?ABC的重心. 证明:作图如右，图中GB,GC 6 GE 连结BE和CE，则CE=GB，BE=GC BGCE 为平行四边形 D是BC的中点，AD为BC边上的中线. 将GB,GC得GA GE 代入GA,GB,GC=0， GA ～GE ～2GD ,GE =0， 故G是?ABC 的重心.(反之亦然(证略)) 例6、P是?ABC所在平面内任一点.G是?ABC的重心 PG 13 (PA,PB,PC). 证明:PG PA,AG PB,BG PC,CG 3PG (AG,BG,CG),(PA,PB,PC) ?G是?ABC的重心 ?GA,GB,GC=0 由此可得PG 13 AG,BG,CG =0，即3PG 7 PA,PB,PC (PA,PB,PC) .(反之亦然(证略)) (四)将平面向量与三角形外心结合 例 7、若O 为 ABCOA OB OC ，则O 是 ABC 的( ) A(内心 B(外心 C(垂心 D(重心 解析:由向量模的定义知O到 ABC的三顶点距离相等。故O 是 ABC 的外心 ，选B。 点评:本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知 识巧妙结合。 (五)平面向量与三角形四心结合 在 ABC中，已知Q,G,H分别是三角形的外心、重心、垂心 求证:Q,G,H三点共线，且QG :GH 1:2 【证明】:以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图 8 所示的直角 BC、坐标系。设A(0,0) B(x1,0)、 C(x2,y2)，D,E,F分别为 AB、 CAD( 的中点，则有: x12 ,0)、E( x1,x2 x1 2 , y 2 2 )、F( x 2 2 , y 2 2 9 ) x1,x3 2 由题设可设Q( 2 xxy AH (x2,y4)，QF (2～1,2～y3) 222 ,y3)、H(x2,y4),G( , y 2 3 ) BC (x2～x1,y2) AH BC AH BC x2(x2～x1),y2y4 0 y4 ～ x2(x2～x1) y2 QF AC QF AC x2( y3 x22～,x12y22,y2( y22 10 ～y3) 0 x2(x2～x1) 2y2 x2x2～x13x2(x2～x1)y2 QH (x2～1,y4～y3) (,～～) 222y22 x QG ( ( 2 ,x13 2 ～ x12 , y 2 3 ～y3) ( 2 2xy 2 ～x16 , y 11 2 3 ～ x2(x 2 ～x1) 2y2 ～ y 2 2 2x ～x16 ,～ 3x2(x～x1) 6y2 ～ 2 6 3x2(x2～x1)y12x2～x1 (,～～2322y22 12 1 =QH 3 即QH=3QG，故Q,G,H 三点共线，且QG :GH 1:2 【注】:本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理， 都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起， 从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系: (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”; (2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个 三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。 向量的数量积体现了向量的长度与三角函数之间的关系， 13 把向量的数量积应用到三角形中，就能解决三角形的边角之间的有关问题。 百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆 14