一元二次方程的应用(一)

?3.8 一元二次方程的应用（一） [知识梳理] 一、知识结构 二、知识要点归纳 1.数学应用 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈 现在我们中学生面前的数学应用问题. 从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”. （1） 加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁. （2） 加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方 法和知识都是学生所能接受的. （3） 加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际 问题，有验证的意识就可以了. 1. 解一元二次方程的数学应用题的一般步骤 （1） 找——找出题中的等量关系 （2） 设——设未知数 （3） 列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式 （4） 解——解出所列的方程 （5） 验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验 （6） 答——作答下结论 三、中考改革趋势 一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 背景与二元一次方程组 的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的 气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际. [解题指导] 例1.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元， 其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少 个？ 分析：如果按单价50元售出，每个利润是10元，卖出500个，只能赚得5000元.为了赚得1 8000只.只能涨价，但要适度，否则销售量就少得太多.其中的等量关系是：每个商品的利 润×销售量=8000（元）.这里的关键是如何表示出每个商品的利润和销售量的问题. 解：设商品的单价是元，则每个商品的利润是元，销售量是(50，x),,(50，x),40 个. (500,10x) 由题意列方程为 ,,(50，x),40(500,10x),8000. 2整理，得 . x,40x，300,0 解方程，得 . x,10,x,3012 故商品的的单价可定为50+10=60元或50+30=80元. 当商品每个单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400个，当商品每个单价为80元时，其进货量只能是 500-10×30=200个. 答：售价定为60元时，进货是400个，售价定为80元时，进货是200个. 点评：此题属于能力 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 较高的一元二次方程应用题.关键在于表示出两个“动态”的量： 每个商品的利润、销售的量. 例2.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？ 分析：运用基本关系式：基数（1+平均增长率）n=实际数.当然首先要求（或表示）出基 数：=600?40%. 解：设2001年预计经营总收入为万元，每年经营总收入的年增长率为. xa 2 根据题意，得 600,40%，(1，a),2160. 解方程，得1，a,,1.2(1，a,,1,2不合题意，舍去）， ?1，a,1.2. x,600,40%(1，a) ,600,40%，1.2 ,1800. 答：2001年预计经营总收入为1800万元. n点评：本题是有关增长率问题，它的基本关系式是：基数×=实际数. (1，平均增长率） 例3.某市供电公司规定，本公司职工，每户一个月用电量若不超过A千瓦?时，则一个 A月的电费只要交10元，若超过A千瓦?时，则除了交10元外，超过部分每千瓦/时还要交100元.一户职工三月份用电80千瓦?时，交电费25元；四月份用电5千瓦?时，交电费10元，试求A的值. 分析：本题需先判断A的范围，再建立等量关系： 超过A千瓦?时所交的钱+10元=25元.以此来作为解决问题的突破口. 解：由题意，可知A?45. A 且有 (80,A),，10,25. 100 解得 A,50A,30（千瓦?时），（不合题意，舍去）. 12 2 A答：的值为50千瓦?时. [自我测试] 一、基础验收题 1.已知两个连续偶数的积是168，则较大的偶数为（ ） A.12 B.14 C.16 D.18 2.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1 185元降到了580元.设平均每次降价的百分率为，则列出方程正确的是（ ） x 22 A. B. 580(1，x),11851185(1，x),580 22 C. D. 280(1,x),11851185(1,x),580 3.某工厂计划经过两年的时间将某种产品的产量从每年144万台提高到169万台，则每年平 均约增长（ ） A.5% B.8% C.10% D.15% 4.三个连续奇数，两两相乘后再相加，其和为359，求这三个数. 5.某工厂今年1月份产品数是50万件，要求3月份达到72万件，求这个工厂2月份和3月份的月平均增长率. 6.王先生将三年前购置的一辆当时售价为28万元的汽车在汽车交易市场出售，得款17.5万元（含交易手续费及税金），已知第一年的折旧率为20%，求后两年的平均折旧率是多少？ （精确到0.1%） 7.某企业向银行贷款200万元开发新产品，一年后还贷款100万元，第二年后共还贷款及付 息132万元.贷款均按一年期计算，年利率不变.求这种贷款的年利率. 8.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元购物，剩下1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率. 9.某商店进了一批服装，进价为每件50元.按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件.今商店计划获利12000元，问销售单价应定为多少元？ 此时应进多少件服装？ 二、综合能力测试题 1.在一次庆典上，几个老同学互送纪念品一件，共送出72件纪念品，这些老同学共有几人？ 2. 某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了迎接“六?一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价 措施 《全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观软件质量保证措施下载工地伤害及预防措施下载关于贯彻落实的具体措施 ，扩大销售量，增加盈利， 减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件. 要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 3.每件商品的成本是120元，试销了一阶段后，发现每件售价（元）与产品的日销售量（件） 始终存在下表中的数量关系，但每天的盈利（元）却不一样.为找到每件产品的最佳定价， 商场经理请一位营销策划员通过计算，在不改变每件售价（元）与日销售量（件）之间数 量关系的情况下，每件定价为 元时，每日盈利可达到最佳数1600元.若请你做这位营销m 策划员，的值应是几？ m 每件售价（元） 130 150 165 每日销售（件） 70 50 35 3 ?3.9 一元二次方程的应用（二） [解题指导] 例1.如图3-9-1所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与平行,另一条 2与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米,求甬路的宽度? 分析:为了使问题简化,不妨把种小块矩形草坪平移后拼成一大块矩 形草整体思考,问题便显得轻而易举. 解:可设甬路宽为米,依题意,得 x (40,2x)(26,x),144，6,解得(不合题意,舍去). x,2,x,4412 答:甬路的宽度为2米. 2例2.如图3-9-2所示要建一个面积为150m的长方形养鸡 场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为m,a另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m. (1)求鸡场的长与宽各为多少米? (2)题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用? a 分析:从几何图形建立等量关系式.从所列得的方程的解、 分类讨论的不同取值所产生的影响. a 解：（1）设鸡场的宽为(35,2x)m，则长为m.依题意列方程为 x x(35,2x),150. 2整理，得 2x,35x，150,0. 解方程，得. x,10,x,7.512 所以当x,1035,2x,20时，. 答：当鸡场的宽为10m时，长为15m；当鸡场宽为7.5m时，长为20m. （2）由（1）解得结果可知：题中墙长a,15m对题目的解起严格的限制作用.当时，a 问题无解；当15,a,20a,20时，问题只有一解，即可建宽为10m，长为15m的一种鸡场；当 时，问题有两解. 点评：应注意讨论对题目的解起的关键作用. a 例3.已知：如图3-9-3所示，在?ABC中， PAABB，B,90:,AB,5cm,BC,7cm.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点BBCCQ从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动. （1）如果P,QA,BPBQ分别从同时出发，那么几秒后，?的 2面积等于4cm？ （2）如果P,QA,BPQ分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？ 2（3）在（1）中，?PQB的面积能否等于7cm?说明理由. 分析：设出未知数后，关键是用含未知数的代数式表示与问题有关的线段、面积等. 2解 （1）设PBQAP,xcm,BP,(5,x)cmBQ,2xcms后，?的面积等于4cm，此时，，. x 4 1BP,BQ,4,由得 2 1 (5,x),2x,4. 2 2整理，得 . x,5x，4,0 解方程，得 . x,1,x,412 当x,42x,8,7C时，,说明此时点Q越过点，不合要求. 2答：1s后，?的面积等于4cm. PBQ 222222（2）仿（1），由 得. BP，BQ,5(5,x)，(2x),5 2整理，得 x,2x,0 解方程，得（不合，舍去），. x,0x,212 答：2s后，PQ 的长度等于5cm. 1（3）仿（1），得(5,x),2x,7 2 2整理，得 x,5x，7,0 容易判断此方程无解. 2答：?PQB的面积不可能等于7cm. 点评：较为复杂的一元二次方程在几何（图形）上的应用，往往要借用一些几何知识， 如：面积公式；勾股定理；其它乘积关系的几何定理等等.观察图形，寻找等量关系，列出方程是解这类问题的关键. [自我测试] 一、基础验收题 1.直角三角形的面积是30，两直角边的和是17，则斜边长为（ ） A.17 B.26 C.30 D.13 2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制 成一幅矩形挂图，如图3-9-4所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为cm,那么满足的方程是（ ） xx 22 A.x，130x,1400,0 B.x，65x,350,0 22 C.x,130x,1400,0 C.x,65x,350,0 3.把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，所得的长方形面积比正方形面积增加 214cm,那么原来正方形的边长应是（ ） A.3cm B.5cm C.4cm D.6cm 4.如图3-9-5，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形， 使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的 一半，求这个宽度. 5.小娟家有一块矩形花园，他爸爸想把它改建成正方形如图3-9-6，这样就必须将长减少3m， 宽增加2m，同时面积减少5m22.问改建后的花园面积为多少m. 5 6.李叔叔家房子前面有一块长方形荒地，准备把它建成一座花园.但中央修两条互相垂直的等 宽小路，正好将荒地分成四个面积相等的小长方形.如图3-8-7，已知原长方形的长为30 2米，宽20米，要使每个小长方形面积不少于126m.则每条小路宽至少为多少米? 7.等腰梯形上、下底及高之比为1?4?2，它的腰与高之差为1cm，求梯形的面积. 8.在一块长是宽的2倍的长方形的中央开辟一个面积最大的圆形花园，这块长方形土地的剩 余面积是180m2，求这块长方形土地的长和宽？（结果可保留π） 9.如图3-9-8，梯形AEABCDAD//BC,AB,CD中，，是高，若 AE,AD,6AC.求的长. 二、综合能力测试题 1.如图3-9-9，长方形铝皮的长40cm,宽30cm,在四角截去相同的四 个小正方形后，折起来做成一个没有盖子的盒子.已知盒子的底面 面积是原长方形面积的一半，求盒子的高. 2.如图3-9-10，等腰Rt?PAABCAB,BC,8 cm中，，动点从点出 发，沿ABBPBCACACBC向点移动.通过点引平行于、的直线与、 RAPQPQCR分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的 2面积等于16cm？ 3.如图3-9-11，一张矩形报纸EABCDAB,a cmBC,b cm的长，宽.、FABEFCD分别是、的中点，将这张报纸沿着直线对折后，矩形 AEFDABCDb的长与宽的比等于矩形的长与宽之比.求:的值. a 6 AB4.如图3-9-12，一块直角三角形的草坪要扩大成以为边的正方形草 2坪，已知BC长为4m，扩大的面积为15m，则原来草坪的面积是多少？ 5．在顶角为36?，腰长为10cm的等腰三角形中，一个底角的平分线把一腰分成两段，这两 段的长各是多少？（精确到0.01cm） 6.如图3-9-13，所示一个农户用24m长的篱笆围成一排一面靠墙、大 小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍.要使三个鸡舍的总面积为36m2, 求每个鸡舍的长和宽. 7