几何综合经典讲义必看

几何综合[一] 我们在拓展篇中详细总结了一系列直线形中的比例关系，在超越篇中，我们继续学习这些比例关系的应用，学习如何将这些比例关系运用到较为复杂的图形关系中去。 例题1．如图7-1-1，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形．那么一个梯形的面积是多少平方厘米？ 图7-1-1 「分析1」我们已知长方形的总面积，如果还能找到图7-1-1中梯形与三角形的面积关系，那么求梯形的面积就很容易了．基于这种想法，我们把图中各顶点用字母表示，并连接AE和BE，如图7-1-2所示． O 「详解1」从图7-1-2中容易看出，△AOB、△BOE和△AOE都是顶角为 的等腰三角形，它们的底角都是 ，因此△ABE的三个角都是 ，是一个正三角形． 这样一来，△AOB、△BOE和△AOE的面积都相等，它们的面积之和是△ABE的面积，即长方形面积的一半 平方厘米，因此这三个三角形的面积都是 平方厘米． 大长方形由两个梯形以及△AOB组成，那么一个梯形的面积就是 平方厘米． 「分析2」长方形被分成了三个部分，我们把这三部分经过剪拼，可以得到一个正六边形，如图7-1-3所示． 图7-1-3 「详解2」由已知条件可知，图7-1-3中的六边形各边长都相等，各角又都是 ，那么它就是一个正六边形． 图7-1-4 又从图7-1-4中的分割可以看出，每个三角形的面积是正六边形面积的 ， 因此一个梯形的面积就是： 平方厘米． 「评议」有的同学可能会把图7-1-4的三角形从中一分为二，把每个小三角形的面积设为“1”份，看看梯形以及长方形的面积各是多少份．这样做当然是可以的，但是不如本题中的两个解法来得简便．正是由于 的条件，让我们想到了要与正三角形或正六边形联系起来，这样就可以充分利用题目的特点，最大限度地简化计算． 例题2．如图7-2-1，P是△ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．那么△ABC的面积是多少？ 20 「分析」我们已知三个平行四边形的面积，要求大△ABC的面积，就只需要再求出三个小三角形的面积． 不妨先来看△PEH的面积如何计算．它旁边的平行四边形PGCH的面积是15，它与△PEH有相同的高，那么我们就能由它们底边EH和HC的比得到面积比．注意到平行四边形面积是相应三角形面积的2倍，于是有： ．我们只要求出 即可． 15 而图中又有平行线，于是我们可以把线段的比例转移到△ABC的内部．即： ．那么 又等于什么呢？ 「详解」当两个平行四边形的高相等时，它们底边的比等于面积比． 20 我们考虑平行四边形BEPF和AIPD，分别以PE和PD为底边，它们的高相等，因此它们底边的比等于面积比，即 ． 由于IH与AC平行，所以 ，转化为面积比，得到： ． 平行四边形PGCH的面积是15，则△PEH的面积是 ． 类似地方法可以求出△FPI和△DPG的面积分别是8和 ，因此这三个小三角形的面积是 、8、 ，大△ABC的面积就是： ． 「评议」本题中有三组平行线，由此可以得到很多线段之间的比例关系．我们先由平行四边形的面积比得到底边的比，再通过平行线以及线段比与三角形面积比的关系，就可以求出三个小三角形的面积．大家在解题时要想清楚每一步计算的目的是什么，要明确为什么要找这两条线段或那两个三角形的比例关系，而不能盲目地罗列出所有的比例关系． 例题3．如图所示，正方形ABCD的面积为1，E、F分别是BC和DF的中点，DE与BF交于M点，DE与AF交于N点，那么阴影△MFN的面积为多少？ N 「分析1」我们要求的是阴影△MFN的面积．如果我们能求出M、N两点在线段DE上的具体位置，那么问题就解决一大半了． 与M、N点紧密相联的是下面的图形． P 观察发现，过F点作一条与AD和BE平行的直线，就可以把图形分成两个沙漏形．每个沙漏形的两底都与正方形的边长有关，不难得到它们的比例关系，由此即可确定出M、N的位置． 「详解1」 P 由分析，我们过F作直线与AD平行，与BD交于P点，来分析线段之间的比例关系． 正方形的面积是1，那么它的边长也是1．而E是BC的中点，则 ． 而F又是CD的中点，所以 ，即 ，同时也能得到P是ED的中点． 在△PMF和△BME组成的沙漏形中，两底的比是 ，所以 ，由此可得 ． 而在△AND和△PNF组成的沙漏形中，两底的比是 ，所以 ，由此可得 ． 由于 ， ，则 ．△MFN与△DMF从F出发的高相同，面积比等于底边的比，那么阴影三角形的面积就是 ． △DEF的底边是 ，高是 ，则 ，所以 ． 「分析2」题目的图中没有明显的沙漏形，不过我们可以构造出沙漏形，如下图所示． Q 此时△AND与△ENQ组成一个沙漏形，而△DMP与△BME也组成一个沙漏形．它们的上下底都是已知的，于是我们可以由这两个沙漏形得到与M、N点相关的线段比例关系，从而确定M、N点的位置． 「详解2」 在△AND与△ENQ组成的沙漏形中， ，则 ． 在△DMP与△BME组成的沙漏形中， ，则 ． 这样就求出了M、N点的位置，与详解1类似的方法就可以求出△MFN的面积． 「评议」原题的图中只有平行的关系，而没有明显的沙漏形，那么本题的关键就在于构造出与M、N点紧密联系的沙漏形，从而确定这两点的位置．解答中给出了两种构造沙漏形的方法，一个在正方形内，一个在正方形外．目的都是为了寻找线段的比例关系，从而求出相应的三角形之间面积的关系． 在三角形中，等高三角形是一类非常寻常的比例关系。如图7-0-1所示，线段AD将△ABC一分为二，则△ABD与△ADC面积比就等于 。 图7-0-1 如果在分线AD上再找一点O，连接BO和CO，则可得到一个类似燕尾形状的图形ABOC，如图7-0-2中粗线所围的区域所示。这个区域被AO分为两个三角形：△ABO和△ACO。这两个三角形的面积比也等于 。这一比例性质又被称为“燕尾定理”。 图7-0-2 那么，由等高三角形之间的比例关系以及刚刚介绍的燕尾定理，图7-0-2中就有如下比例关系成立： 大家不难看出，燕尾定理其实是由等高三角形这一基本图形派生出来的。因此在使用燕尾定理的时候，经常会用到等高三角形的比例关系。 下面我们就一起来看一下这个定理的应用。 例题4．如图，△ABC的面积为1，D、E、F分别是三条边上的三分点，那么中心三角形的面积为多少？ E 「分析」如下图所示，我们给中间三角形的三个顶点标上字母． P 由于D、E、F分别是三条边上的三等分点，而△ABC的面积为1，所以△ABE、△BCF、△CAD的面积都是 ，这三个三角形的面积之和就等于大△ABC的面积，它们的重叠部分是三个小三角形：△AME、△BNF、△CPD．因此阴影△MNP的面积就等于这三个小三角形的面积之和． 这样一来，问题就变成了求这三个小三角形的面积各是多少． 「详解」我们以△CPD为例，看看这个小三角形的面积是多少．由于     “12” 假设 ，由于D是BC上的三等分点，可知 ． 由燕尾定理可得： ，所以 ；而 ，所以 ． 整个△ABC的面积是 ，则 ，即 ． 类似地，小△BNF和小△AME的面积都是 ，那么阴影部分的面积就是 ． 「评议」本题中阴影部分并没有和大三角形ABC并没有什么直接的面积比例关系，但我们利用了整体思考的方法，将本题的图形理解为△ABE、△BCF、△CAD对大三角形ABC的覆盖，这样就非常巧妙地将阴影面积转化为三个小三角形△AME、△BNF、△CPD的面积之和。而这三个小三角形和大三角形ABC是有直接联系的，只要利用燕尾定理就可以非常顺利的求解。 燕尾定理经常用来解决三角形内存在交叉线的问题。除了上面的例题4外，拓展篇的例题11和例题12也是这样的问题。大家不妨尝试着用燕尾定理来解决这两道例题。 例题5．小A测出家里瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米．如图，而且还测出了边上的中间线段各为4厘米．那么中间菱形的面积为多少平方厘米？ 4 「分析」由于长方形的长和宽都是已知的，我们可以很容易地求出长方形一周上各条线段的长度． 10 我们知道，菱形的面积等于对角线乘积的一半．因此求出菱形的两条对角线的长就成了问题的关键． 我们画出菱形的两条对角线，并向两个方向延长，与长方形的四条边相交． 10 由于长方形的长和宽是已知的，于是我们只需求出这两条虚线在菱形外面的部分，即长方形四边上小三角形的高． 「详解1」对于长方形左侧边上的小三角形，我们把它放在沙漏形 中考 中考数学全套课件中考心理辅导讲座中考语文病句辨析修改中考语文古诗文必背中考单选题精选 虑． 10         O 在右图所示的沙漏形中，AC与BD平行，且长度分别为4厘米和10厘米，于是我们有： ． 由于 厘米，则 厘米．（注意这时BD是长方形的宽，而不是菱形的对角线．） 为了求菱形的另一条对角线，我们观察另一个沙漏形． 10         4 容易看出， 厘米，那么菱形的一条对角线就是 厘米． 由于 ，而 厘米， 厘米，所以 厘米，即菱形的另一条对角线长为8厘米，那么菱形的面积就是 平方厘米． 「详解2」我们直接由平行线中的线段比例关系来计算: G 由于BC与FG平行，所以 ，因此 ． 由于DE与AG平行，所以 ，因此 ． 由此可得菱形的两条对角线为： 厘米，和 厘米． 那么菱形的面积就是 平方厘米． 「评议」本题的详解1从沙漏形的角度寻找线段的比例关系，而详解2直接由平行线得到了线段之间的比例关系．这两种方法看似有很大差别，其实如出一辙．沙漏中线段比例关系其实就是由平行线得来的，只不过与沙漏有关的线段都位于两条平行线之间，而详解2中的一部分线段则位于两条平行线之外．二者实际上都是利用了平行线的性质，可见平行线在与线段比例有关的问题中扮演着极其重要的作用． 例题6．如图7-6-1，等腰梯形ABCD中ED垂直于AD，并交BC于G，AE平行于BD， ，且△ABD、△EDC的面积分别为75，45，那么△AED的面积是多少？ E 「分析/详解」已知的△CDE的底边是ED，高是CG；所求的△AED的底边是ED，高是AD；它们有公共的底边ED．另一个已知的三角形是△ABD，如果我们能找到一个以ED为底边的三角形，它的面积等于△ABD的面积，那么底边ED就成了这三个三角形的公共底边． E 由于AE与BD平行，我们把△ABD作等积变换，变成△BDE，此时△BDE以DE为底边以BG为高，且面积是75．这样一来，这三个三角形有相同的底边DE．于是我们来看看它们的高BG、CG、AD之间有什么关系． 由于四边形ABCD是等腰梯形，如下图所示，我们再作从A出发与BC垂直的垂线． H 容易看出， ， ，因此 ． 在等式两边同时乘以 ，可得： ，用乘法分配律得： ． 其中 ， ， ，因此所求的三角形的面积就是 ． 「评议」本题涉及到三个三角形的面积，为了看出它们之间的联系，我们通过等积变换把它们变成有公共底边的三角形，再看它们的高之间的关系． 当然我们也可以如下图所示，延长EA与CB的延长线交于F，此时四边形AFBD是平行四边形．我们可以先利用平行线得到线段之间的比例关系，再与三角形的面积联系起来． F 只不过这样讨论起来比较麻烦，不如利用等积变换来得直接．