高中数列知识点总结归纳

一、等差数列 1、等差数列定义:一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的2 差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字母表示。用递推公式表示为或daadn,,,(2)nn,1 。 aadn,,,(1)nn，1 2、等差数列的通项公式:; aand,，,(1)n1 说明:等差数列(通常可称为AP数列)的单调性:为递增数列，d,0 为常数列， 为递减数列。 d,0d,0 3、等差中项的概念: 定义:如果，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项。其bbaa ab，ab，A,A,中 ，A，成等差数列。 b,a22 naa()，nn(1),1n4、等差数列的前和的求和公式:。 nSnad,,，n122 5、等差数列的性质: (1)在等差数列a中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项; ,,n AP(2)在等差数列a中，相隔等距离的项组成的数列是， ,,n 如:，，，，„„;，，，，„„; aaaaaaaa3573813181 a(3)在等差数列中，对任意，，，aanmd,，,()nN,m,,nnm， aa,nm()mn,; d,nm, a(4)在等差数列中，若，，，且mnpq，,，，则aaaa，,，; pqN,mn,,nmnpq， 说明:设数列是等差数列，且公差为， d{}an Sa奇n,(?)若项数为偶数，设共有2n项，则?S奇S偶,nd; ? ; ,San，1偶 Sn奇,(?)若项数为奇数，设共有21n,项，则?S偶S奇;?。 ,,aa,n中Sn,1偶 6、数列最值 (1)，d,0时，有最大值;，d,0时，有最小值; SSa,0a,0nn11 (2)最值的求法:?若已知，可用二次函数最值的求法();?若SSnN,nn， a,0a,0,,nn已知，则最值时的值()可如下确定或。 aSnN,n,,nn，a,0a,0，1，1nn,,二、等比数列 1(等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常(((((数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用( (0)q,字母q表示，即::aqq,,(0)数列对于数列(1)(2)(3)都是等an，1n 1,比数列，它们的公比依次是2，5，。(注意:“从第二项起”、“常数”q、等比2 数列的公比和项都不为零) 第 1 页 共 5 页(英普 培训 焊锡培训资料ppt免费下载焊接培训教程 ppt 下载特设培训下载班长管理培训下载培训时间表下载 中心李明煌) 1n,2(等比数列通项公式为:。 a,a,q(a,q,0)11n 说明:(1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比时该数列既是等比数d,1 amn,m列也是等差数列;(2)等比数列的通项公式知:若为等比数列，则。 ,q{}anan3(等比中项 a与ba,G,ba与b如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比GG中项(两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项)。 4(等比数列前n项和公式 一般地，设等比数列的前n项和是，当aaaa,,,,,S,aaaa，，，，123nn123n na(1,q)aaq,11nS,q,1S,时， 或;当q=1时，(错位相减法)。 S,nannn11,q1,q 说明:(1)和各已知三个可求第四个;(2)注意求和a,q,n,Sa,a,q,S1n1nn nn,1q,1，通项公式中是不要混淆;(3)应用求和公式时，必要时公式中是qq q,1应讨论的情况。 5(等比数列的性质 ?等比数列任意两项间的关系:如果是等比数列的第项，是等差数列的aannm n,m第项，且，公比为，则有; m,nqa,aqmnm ?对于等比数列，若，则，也就是:,,a,a,a,aan，m,u，vnnmuv a,an1,,,,,,,,,,, a,a,a,,a,a,a？n,n,n12321a,a,a,a,a,a,？？，如图所示:。 ,,,,,,,,,1n2n,13n,2a,an2,1 *,,aSk,NSS,SS,S?若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，nnk2kk3k2k 成等比数列。 如下图所示: S3k,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a，a，a，，a，a，，a，a，，a？？？kkkkk123，122，13 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, SSSSS,,k2kk3k2k 三 、数列前n项和 1(数列求通项与和 ,ss,n,2nn,1(1)数列前n项和S与通项a的关系式:a= 。 nnn,sn,1,1 (2)求通项常用方法 ?作新数列法。作等差数列与等比数列; ?累差叠加法。最基本的形式是:a=(a,a)+(a+a)+…+(a,a)+a; ,,,nnn1n1n2211?归纳、猜想法。 (3)数列前n项和 1?重要公式:1+2+…+n=n(n+1); 2 12221+2+…+n=n(n+1)(2n+1); 6 第 2 页 共 5 页(英普培训中心李明煌) 13332221+2+…+n=(1+2+…+n)=n(n+1); 4 ?等差数列中，S=S+S+mnd; m+nmnnm?等比数列中，S=S+qS=S+qS; m+nnmmn ?裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即a=f(n+1),f(n)，然后累加抵消掉中间n 的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些 111111,,,a()常见的裂项，如:、=n，，,，，n(n，1)(AnB)(AnC)CBAnBAnCn n111,1rrr,、n?n～=(n+1)!,n!、C=C,C、=,等。 ,,n1nn1(n，1)!(n，1)!n，1n!?错项相消法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项 bc相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列，记a,b,c,,,,nnnnn ，则，… S,bc，bc，？，bc，bcqSbcbcbc,，？？，，n1122n,1n,1nnnnnnn1211,，?并项求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S。 n 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 ?通项分解法: a,b,cnnn 2(递归数列 数列的连续若干项满足的等量关系a=f(a,a,…,a)称为数列的递归关,,n+kn+k1n+k2n系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由 na=2a+1，及a=1，确定的数列即为递归数列。 {2,1}n+1n1 递归数列的通项的求法一般说来有以下几种: (1)归纳、猜想、 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 归纳法证明。 (2)迭代法。 (3)代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。 (4)作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。 第 3 页 共 5 页(英普培训中心李明煌) 一、高中数列基本公式: 1、一般数列的通项a与前n项和S的关系:a= nnn 2、等差数列的通项公式:a=a+(n-1)d a=a+(n-k)d (其中a为首项、a为已知n1nk1k的第k项) 当d?0时，a是关于n的一次式;当d=0时，a是一个常数。 nn 3、等差数列的前n项和公式: S= S= S= nnn 当d?0时，S是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a?0)，S=na是关于n的正n1n1比例式。 n-1n-k 4、等比数列的通项公式: a= aq a= aq n1 nk (其中a为首项、a为已知的第k项，a?0) 1kn 5、等比数列的前n项和公式:当q=1时，S=n a(是关于n的正比例式);当q?1时，n1 S= n 三、 高中数学 高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点 中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a}的任意连续m项的和构成的数列S、S-S、S-S、S - S、……仍为nm2mm3m2m4m3m等差数列。 2、等差数列{a}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{a}中，若m+n=p+q，nn则 4、等比数列{a}的任意连续m项的和构成的数列S、S-S、S-S、S - S、……仍为nm2mm3m2m4m3m等比数列。 5、两个等差数列{a}与{b}的和差的数列{ab}、{a-b}仍为等差数列。 nnn+nnn 6、两个等比数列{a}与{b}的积、商、倒数组成的数列{ab}、 、 仍为等nnn n比数列。 7、等差数列{a}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 n 8、等比数列{a}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 n 9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d 3310、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq;四个数成等比的错误设法:a/q,a/q,aq,aq (为什么,) 11、{a}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。 n 12、{b}(b>0)是等比数列，则{logb} (c>0且c 1) 是等差数列。 nncn 13. 在等差数列 中: 第 4 页 共 5 页(英普培训中心李明煌) (1)若项数为 ，则 (2)若数为 则， ， 14. 在等比数列 中: (1)若项数为 ，则 (2)若数为 则， 第 5 页 共 5 页(英普培训中心李明煌)