积分中值定理及应用

积分中值定理及应用 毕 业 论 文 年 月 日 1 摘 要 本 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 的主要内容是积分中值定理及其应用，全文分为以下几个方面:积分中值定理及推广、积分中值定理中值点?的渐进性、积分中值定理的应用。 首先讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二中值定理以及它们的推广，而且还给出了这些定理的详细证明过程。其次研究了中值定理中值点?的渐进性，对第一积分中值定理的?点做了详细讨论，给出了详细清楚的证明过程。而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其他证明过程只作简要说明。最后归纳了积分中值定理的应用，给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号、比较积分大小，证明 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 单调性还有阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。 关键词:积分中值定理;推广; 应用;渐进性 INTEGRAL MEAN VALUE THEOREM AND APPLICATION Abstract The main content of this paper is integral mean value theorem and its application ,the letter divides into the following respects :Integral mean value theorem and promotion 、Integral mean value theorem point in the progressive 、The application of integral mean value theorem . First discuss the definite integral mean value theorem 、the first integral mean value theorem 、the first second mean value theorem and their promotion ,and it gives the theorem of the detailed process of proof .Secondly the mean value theorem point in the progressive ,the first integral mean value theorem to do a detailed discussion of the points ,gives the detailed process 1 clear evidence .And the second integral mean-value theorem proved, the only problem with one of the case ,other identification process only briefly .Finally summarizes the integral mean value theorem of applications ,to give some simple situation such as estimated integral value ,calculation of the definite integral contains limit ,sure integral symbols ,contrast integral size ,prove functional monotonicity and the theorems proof of Abel discriminant method and DiLi klein discriminant method . Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive 目 录 1 前言 ...................................................................... 3 2积分中值定理 ............................................................... 4 2.1定积分中值定理及推广 ................................................... 4 2.1.1定积分中值定理 ................................................... 4 2.1.2定积分中值定理的推广 ............................................. 6 2.2积分第一中值定理及推广 ................................................. 6 2.2.1积分第一中值定理 ................................................. 6 2.2.2积分第一中值定理的推广 ........................................... 6 2.3积分第一中值定理及推广 ................................................. 9 2.3.1积分第二中值定理 ................................................. 9 2.3.2积分第二中值定理的推广 .......................................... 12 2.4重积分的中值定理 ...................................................... 12 2.4.1二重积分的中值定理 .............................................. 12 2.4.2三重积分的中值定理 .............................................. 13 2.5曲线积分中值定理 ...................................................... 14 2.5.1第一曲线积分中值定理 ............................................ 14 2.5.2第二曲线积分中值定理 ............................................ 14 2.6曲面积分中值定理 ...................................................... 16 2.6.1第一曲面积分中值定理 ............................................ 16 2.6.2第二曲面积分中值定理 ............................................ 16 3 积分中值定理中值点的渐进性 ............................................... 18 3.1 第一积分中值定理中值点的渐进性 ....................................... 18 3.2 第二积分中值定理中值点的渐进性 ....................................... 22 4 积分中值定理的应用 ....................................................... 24 4.1 估计积分值 ......................................................... 2424 4.2 求含定积分的极限 ..................................................... 25 4.3 确定积分号 ........................................................... 27 4.4 比较积分大小 ........................................................ 27 4.5 证明中值点的存在性 ................................................ 2827 2 4.6 证明函数的单调性 .................................................... 28 4.7 证明定理 ............................................................. 29 结论 ....................................................................... 32 参考文献 ................................................................... 33 致谢 ....................................................................... 34 1前言 随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。其中，微积分的 创立，也极大地推动了数学的发展。积分中值定理是作为微积分中的一个 重要性质出现在数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 课程中的，它在数学分析的学习过程占有很重要 的地位，并且对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我们就把积分中 值定理及其应用清晰论述一下。 通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定 理。而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上 的情形。还讨论了二重、三重积分的积分中值定理。并且这两个定理在各 个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学。我们将积分中值定理加以 应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式:数学中 一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确 定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值。虽然有时第 一积分中值定理在处 3 理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题。 此外，国内外定在有关积分中值定理的“中间点”渐进性质研究就已经有很显著的成就。数学家们不但将较为简单的情况下(一个区间上)的情形论述第一、第二积分中值定理的渐进性质论述透彻，而且还加以推广，包括有定积分中值定理的逆问题及其逆问题的渐近性，第一曲线型积分渐近性，甚至还将积分线由有限改为无穷的情形，他们将已有的定积分中值定理渐进性推导出的结果更为一般化。 本文的研究过程为:讨论和分析积分中值定理并将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题。 本文研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面的应用如:估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来。 2 积分中值定理 2.1 定积分中值定理及推广 2.1.1定积分中值定理 引理:假设M和m分别为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则有 m(b?a)??f(x)dx?M(b?a),(a?b) ab 成立。 证明:因为M和m分别为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，即m?f(x)?M，我们对不等式进行积分可得 ? 由积分性质可知 bamdx??f(x)dx??Mdx， aabb m(b?a)??f(x)dx?M(b?a) (2,1) ab 成立，命题得证。 4 定理1(定积分中值定理):如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一个点?，使下式 ? 成立。 baf(x)dx?f(?)(b?a),(a???b) 证明:由于b?a?0，将(2,1)同时除以b?a可得 m?1bf(x)dx?M。 b?a?a 1b此式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明f(x)dx介于函数f(x)的最大值M和最小值m之间。 b?a?a 由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间[a,b]上至少存在一点?，使得函数f(x)在点?处的值与这个数相等，即应该有 1bf(x)dx?f(?)， b?a?a 成立，将上式两端乘以b?a即可得到 ? 命题得证。 baf(x)dx?f(?)(b?a),(a???b)， 备注1:很显然，积分中值定理中公式 ?b af(x)dx?f(?)(b?a) (?在a与b之间) 不论a?b或a?b都是成立的。 例1 设f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且存在c??a,b?,使得 ?f?x?dx?f?x??c?a? ab '证明在?a,b?内存在一点?，使得f????0 证明:对于?f?x?dx?f?x??c?a?式中的右边的x作3种假设 a '??c??a，则1. 若x?a，则由积分中值定理，存在?'，使得f????b?a??f?ab f?a??f??'?，又f??'?)为中值，必存在 ?a,b?内可导知， f??''??f??'?。从而由f?x?在 '''''''存在??a,?，f????0;???,?，f????0。故存在???a,b?，f????0。 ???? 2.若x=b，同理可证。 5 '3. x??a,b?,两边求导，0?f?x??c?a?.即令??x即证。 2.1.2定积分中值定理的推广 定理2(推广的定积分中值定理) :如果函数f(x)在闭区间[a,b]连续，则在开区间(a,b)至少存在一个点?，使得下式 ? 成立。 baf(x)dx?f(?)(b?a),(a???b) 证明:作辅助函数F(x)如下: F(x)??f(t)dt,x?[a,b]。 ax 由于f(x)在闭区间[a,b]连续，则F(x)在[a,b]上可微，且有F?(x)?f(x)成立。由微分 ??()(b?a)中值定理可知:至少存在一点??(a,b)，使得F(b)?F(a)?F成立。并且有 F(b)??f(t)dt，F(a)?0，此时即可得到下式 ab ? 命题得证。 baf(t)dt?f(?)(b?a),??(a,b)， 2.2 积分第一中值定理及推广 2.2.1积分第一中值定理 定理3(第一积分中值定理):如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，g(x)在(a,b)上不变号，并且g(x)在[a,b]上是可积的，则在[a,b]上至少存在一点?，使得 ? 成立。 baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx,(a???b) ab 证明:由于g(x)在[a,b]上不变号，我们不妨假设g(x)?0，并且记f(x)在[a,b]上的最大值和最小值为M和m，即m?f(x)?M，将不等式两边同乘以g(x)可知，此时对于任意的x?[a,b]都有 mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x) 成立。对上式在[a,b]上进行积分，可得 m?g(x)dx??f(x)g(x)dx?M?g(x)dx。 aaabbb 此时在m,M之间必存在数值?，使得m???M，即有 6 bb? 成立。 af(x)g(x)dx???g(x)dx a 由于f(x)在区间[a,b]上是连续的，则在[a,b]上必定存在一点?，使f(?)??成立。此时即可得到 ? 命题得证。 baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx， ab 2.2.2积分第一中值定理的推广 定理4(推广的定积分第一中值定理): 若函数f(x)是闭区间[a,b]上可积函数，g(x)在[a,b]上可积且不变号，则在开区间(a,b)上至少存在一点?，使得 ? 成立。 baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx,??(a,b) ab 证明:由于函数g(x)在[a,b]上可积且不变号，我们不妨假设g(x)?0。而函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，我们令m?inf?f(x)|x?[a,b]?， M?sup?f(x)|x?[a,b]?。假设F(x)是f(x)在闭区间[a,b]上的一个原函数，即F?(x)?f(x),x?[a,b]。此时我们有下式成立 m?g(x)dx??f(x)g(x)dx?M?g(x)dx(3-1) aaabbb 由于g(x)?0，则有?g(x)dx?0，以下我们分两种情形来进行讨论: ab [1]如果?g(x)dx?0，由(3-1)式可知?f(x)g(x)dx?0，则此时对于???(a,b) aabb 有 ? 成立。 bbaf(x)g(x)dx?0?f(?)?g(x)dx ab[2]如果?g(x)dx?0，将(3-1)式除以?g(x)dx可得 aab ?m? 我们记 baf(x)g(x)dx?bag(x)dx?M，(3-2) 7 b???af(x)g(x)dx ?b，(3-3) ag(x)dx 此时我们又分两种情形继续进行讨论: i?如果(3-2)式中的等号不成立，即有m?baf(x)g(x)dx ?b ag(x)dx?M成立，则此时存在 m???M，使得 m?f(x1)??,??f(x2)?M， 我们不妨假设x1?x2，其中x1,x2?[a,b]。因为F?(x)?f(x)，x?[a,b]，则有 F?(x1)?f(x1)???f(x2)?F?(x2)。 此时至少存在一点??(x1,x2)，使得F?(?)?f(?)??，即有 ?b af(x)g(x)dx?f(?)??g(x)dx,??(x1,x2)?[a,b] ab 成立，从而结论成立。 ii如果(3-2)式中仅有一个等号成立，不妨假设??M，因为?g(x)dx?0，此时必ab存在[a1,b1]?(a,b)(其中a1?b1)，使得?x?[a1,b1]，恒有g(x)?0成立，我们则可将(3-3)式可改写为 ???g(x)dx??f(x)g(x)dx， aabb 因为??M，则有 ?[M?f(x)]g(x)dx?0(3-4) ab 又注意到[M?f(x)]g(x)?0，必有 0??[M?f(x)]g(x)dx??[M?f(x)]dx?0。 a1ab1b 于是 ?b1 a1[M?f(x)]g(x)dx?0(3-5) 下证必存在??[a1,b1]?(a,b)，使f(?)???M。 若不然，则在[a1,b1]上恒有M?f(x)?0及g(x)?0成立，从而[M?f(x)]g(x)?0。如果?b1 a1[M?f(x)]g(x)dx?0，由达布定理在[a1,b1]上有[M?f(x)]g(x)?0，这与 8 [M?f(x)]g(x)?0矛盾。 如果 ? b1 a1 [M?f(x)]g(x)dx?0，这与(3-5)式矛盾。所以存在??[a,b]，使 b ? b a ) f(x)gx(dx)?f?(?)gxdx()?,?ab(，定理证毕。, a 2.3 积分第二中值定理及推广 2.3.1积分第二中值定理 定理5(积分第二中值定理):如果函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，而 g(x)在区间 (a,b)上单调，则在[a,b]上至少存在一点?，使下式成立 ? b a f(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx?g(b)?f(x)dx (2-2) a ?b ? 特别地，如果g(x)在区间(a,b)上单调上升且g(a)?0 ，那么存在?，使下 式成立 ?? b a f(x)g(x)dx?g(b)?f(x)dx (2-3) ? b 如果g(x)在区间(a,b)上单调下降且g(b)?0，那么存在?，使下式成立 ba f(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx (2-4) a ? 证明:由题设条件知f(x),g(x)在区间[a,b]上都是可积的，由积分性质可知f(x)?g(x)也是可积的。我们先证明(2-3)式，即在g(x)非负、且在区间(a,b)上单调上升的情形下加以证明。 对于(2-4)式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明(2-2)式。 在区间[a,b]上取一系列分点使a?x0?x1???xi?1?xi???xn?b，记?xi?xi?xi?1，其中?i为g(x)在?xi上的幅度，即?i?sup{g(x)}?inf{g(x)}，再将所讨论的积分作如下 [xi?xi?1] [xi?xi?1] 改变:将积分限等分为如下n等份，并且记 ?? i?1 n xi xi?1 f(x)[g(x)?g(xi)]dx??，?g(xi)? i?1 n xi xi?1 f(x)dx??。 则 ? b a f(x)g(x)dx??? i?1n n xi xi?1 f(x)g(x)dx xi ??g(xi)? i?1 xi?1 f(x)dx??? i?1 n xi xi?1 f(x)[g(x)?g(xi)]dx????， 因为f(x)在[a,b]上可积，且区间[a,b]是有限的，所以f(x)在[a,b]上有界， 此时我们 9 不妨假设f(x)?L。 估计?如下: ?? ?? i?1ni?1n n xi xi?1 f(x)[g(x)?g(xi)]dx f(x)g(x)?g(xi)dx ??? xi xi?1 ??f(xi) i?1 n xi ? xi xi?1 g(x)?g(xi)dx n ?L???idx?L??i?xi i?1 xi?1 i?1n 由于g(x)可积，所以当??max?xi?0时，有??i?xi?0，从而有lim??0，从 而 i?1 ??0 可知 ? b a f(x)g(x)dx?lim(???)?lim??lim? ??0 ??0 ??0 ?lim??lim?g(xi)? ??0 ??0 i?1 b n xi xi?1 f(x)dx 我们记F(x)??f(x)dx，由于函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，那么函数F(x) 是[a,b] x 上的连续函数，并且有最大值和最小值M和m，记为m?F(xi)?M，很 显然 ? 从而 xi xi?1 f(x)dx?F(xi?1)?F(xi)，F(x0)?F(b)?0， ???g(xi)? i?1n n xi xi?1 f(x)dx ??g(xi)?F(xi?1)?F(xi)? i?1n ??g(xi)F(xi?1)??g(xi)F(xi) i?1 i?1 n ?g(x1)F(x0)??g(xi)F(xi?1)??g(xi)F(xi) i?2 i?1 nn?1 ?g(x1)F(x0)??[g(xi?1)?g(xi)]F(xi) i?1 n?1 10 因为g(x)是非负的，并且在区间(a,b)上单调上升，即有g(x1)?g(x0)?g(a)?0、g(xi?1)?g(xi)?0成立，所以有下式成立 m{g(x1)???g(xi?1)?g(xi)?}???M{g(x1)???g(xi?1)?g(xi)?}。 i?1i?1n?1n?1 即有 mg(b)???Mg(b) 成立。从而可以得到lim???g(b)，其中?满足m???M。由于函数F(x)连续，则在[a,b]之间存在一点?，使??F(?)??f(x)dx成立，从而有公式(2-3)成立，即 ?b ? 成立，(2-3)式得证。 baf(x)g(x)dx?g(b)?f(x)dx ?b 对于g(x)单调下降且g(b)?0的情形即公式(2-4)的证明过程是类似的，证明略。 对于g(x)是一般单调上升情形，我们作辅助函数?(x)?g(x)?g(a)，其中?为单调上升且?(a)?0，此时公式(2-3)对于?(x)是成立的，即存在?使 ? ? 命题得证。 baf(x)?g(x)?g(a)?dx??g(b)?g(a)??f(x)dx ?b成立，这就证明了公式(2-2) baf(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx?g(b)?f(x)dx。 a?b?对于g(x)是一般单调下降的情形，此时应用公式(2-4)，同样可得到(2-2)式，此 2.3.2积分第二中值定理的推广 定理6(推广定积分第二中值定理): 如果函数f(x)在闭区间[a,b]可积，g(x)在区间[a,b]上可积且不变号，则在(a,b)上必存在一点?，使得 ? 成立。 baf(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx?g(b)?f(x)dx,??(a,b) accb 证明:若g为单调递减函数，令h?x??g?x??g?b?，则h为非负、递减 函数，由积分第二中值定理，存在???a,b?，使得 由于?baf?x?h?x?dx?h?a??f?x?dx???g?a??g?b????f?x?dx aabb aa???baf?x?h?x?dx??f?x?g?x?dx?g?b??f?x?dx，因此证得 11 b?af?x?g?x?dx?g?b??f?x?dx+??g?a??g?b????f?x?dx?g?a??f?x??g?b??f?x?dx aab??ba?若g为单调递增函数，只须令h?x??g?x??g?a?，并由第二积分中 值定理，可证得 ? baf(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx?g(b)?f(x)dx,??(a,b)accb 2.4 重积分的中值定理 2.4.1 二重积分的中值定理 定理7(二重积分的中值定理):假设函数f(x,y)在闭区域D上连续， 其中?是D的面积，则在D上至少存在一点(?,?)使得 ??f(x,y)ds?f(?,?)?? D 成立。 证明:由于函数f(x,y)在闭区域D上连续，假设f(x,y)在闭区域D上的 最大值和最小值分别为M,m，即m?f(x,y)?M。对不等式在区域D上进行二 重积分可得 ??mds???f(x,y)ds???Mds， DDD 即 m??ds???f(x,y)ds?M??ds。 DDD 其中??ds为闭区域D的面积，我们不妨记??ds??。由上式还可得到 DD m?????f(x,y)ds?M??。 D 由于??0，将不等式除以?可得 m?f(x,y)ds?M。 ???D1 由于函数f(x,y)在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点(?,?)使得 f(x,y)ds?f(?,?) ???D1 成立。将上式两边同乘以?即可得到 12 ??f(x,y)ds?f(?,?)??， D 从而命题得证。 2.4.2 三重积分的中值定理 定理8(三重积分的中值定理):设函数f(x,y,z)在空间闭区域D上连续，其中A是D的体积，则在D上至少存在一点(?,?,?)使得 ???f(x,y,z)ds?f(?,?,?)?A D 成立。 证明:由于函数f(x,y,z)在闭区域D上连续，假设f(x,y,z)在闭区域D上的最大值和最小值分别为M,m，即m?f(x,y,z)?M。对不等式在区域D上进行三重积分可得 ???mds????f(x,y,z)ds????Mds， DDD 即 m???ds????f(x,y,z)ds?M???ds， DDD 其中???ds为闭区域D的体积，我们不妨记???ds?A。由上式还可得到 DD m?A????f(x,y,z)ds?M?A。 D 由于A?0，将不等式同除以A即可得到 m?1f(x,y,z)ds?M。 ???AD 由函数f(x,y,z)在闭区域D上连续，则此时在D上至少存在一点(?,?,?)使得 1f(x,y,z)ds?f(?,?,?) ???AD 成立。将上式两边同乘以A即可得到 ???f(x,y,z)ds?f(?,?,?)?A， D 命题得证。 2.5 曲线积分中值定理 2.5.1第一曲线积分中值定理 定理9(第一型曲线积分中值定理): 如果函数f(x,y)在光滑有界闭曲线C上连续， 13 则在曲线C上至少存在一点(?,?)，使 ? 成立，其中S为曲线C的弧长。 Cf(x,y)ds?f(?,?)S 证明:因为函数f(x,y)在光滑有界闭曲线C上连续，所以存在m,M?R，其中m?f(x,y)?M，对不等式在闭曲线C上进行第一类曲线积分可得 m??ds??f(x,y)ds?M??ds， CCC 其中?ds为曲线C的弧长，并且?ds?S，由于S?0，将上式同除以常数S，即可得到 CC m?1f(x,y)ds?M， S?C 由于函数f(x,y)在曲线C上连续，故由闭区间上连续函数的介值定理，在曲线C上至少存在一点(?,?)，使 f(?,?)?1f(x,y)ds S?C 成立，左右两边同除以常数S，即可得到结论，从而命题得证。 2.5.2 第二曲线积分中值定理 定理10(第二型曲线积分中值定理):如果函数f(x,y)在光滑有向曲线C上连续，则在曲线C上至少存在一点(?,?)，使得 ? 确定的。 Cf(x,y)dx??f(?,?)? 成立。其中为光滑有向曲线C在x轴正向上的投影，其中符号“?”是由曲线C的方向 证明:因为函数f(x,y)在有界闭曲线C上连续，所以存在m,M?R，其中m?f(x,y)?M，对上式进行第二型曲线积分可得 m?dx??f(x,y)dx?M?dx(3-6) cCc 其中?dx为有向光滑曲线C在x轴上的投影，此时我们不妨记?dx??，并且分以下两种cc 情况进行讨论: [1]假设?dx?，将(3-6)式除以可得 c m?1f(x,y)dx?M。 ?C 14 因为f(x,y)在C上连续，故由介值定理，则在曲线C上至少存在一点(?,?)，使 1f(x,y)dx?f(?,?) ?C成立，即有 ? 成立。 Cf(x,y)dx?f(?,?)? [2]同理当?dx??，式左右两边同时除以?可得 c ?M??1f(x,y)dx??m， ?C 因为f(x,y)在C上连续，故由介值定理，则在曲线C上至少存在一点(?,?)，使 ?1f(x,y)dx?f(?,?) ?C成立，即有 ? 成立，由上面证明过程可得 Cf(x,y)dx??f(?,?)? ? 命题得证。 Cf(x,y)dx??f(?,?)?， 2.6 曲面积分中值定理 2.6.1 第一曲面积分中值定理 定理11(第一型曲面积分中值定理):设D为xoy平面上的有界闭区域，其中z?z(x,y)为光滑曲面S，并且函数f(x,y,z)在S上连续，则在曲面S上至少存在一点(?,?,?)，使 ??f(x,y,z)d??f(?,?,?)?A S 成立，其中A是曲面S的面积。 证明:因为f(x,y,z)在曲面S上连续，所以存在m,M?R且使得m?f(x,y,z)?M 成立，我们对上式在S上进行第一类曲面积分可得 m???d????f(x,y,z)d??M??d?， SSS 其中??d?为曲面的面积，且??d??A，因为A?0，两边同除以A有 SS 15 m?1f(x,y,z)d??M， ??AS 由于f(x,y,z)在曲面S上连续，故由介值定理，在曲面S上至少存在一点(?,?,?)，使 f(?,?,?)? 成立，两边同时乘以A可得 1f(x,y,z)d?， A??S ??f(x,y,z)d??f(?,?,?)?A， S 命题得证。 2.6.2 第二曲面积分中值定理 定理12(第二型曲面积分中值定理):若有光滑曲面S:z(x,y),(x,y)?Dxy，其中Dxy是有界闭区域，函数f(x,y,z)在S上连续，由此在曲面S上至少存在一点(?,?,?)，使 ?Sf(x,y,z)dxdy??f(?,?,?)? 成立，其中是S的投影Dxy的面积。 证明:因为函数f(x,y,z)在曲面S上连续，所以存在m,M?R使得m?f(x,y,z)?M，对上式在曲面S上进行第二类曲面积分可得 m???dxdy???f(x,y,z)dxdy?M??dxdy， SSS 其中??dxdy为f(x,y,z)投影在曲面Dxy上的面积，并且我们记??dxdy??。 SS [1]若??dxdy?，则上式除以A有 S m?1f(x,y,z)dxdy?M， ??AS 由于f(x,y,z)在曲面S上连续，故由介值定理，在曲面S上至少存在一点(?,?,?)，使 f(?,?,?)? 两边同时乘以A有 1f(x,y,z)dxdy， ??AS ??f(x,y,z)dxdy?Af(?,?,?)， S [2]同理，若??dxdy??，则上式除以?有 S 16 ?M??1f(x,y,z)dxdy??m， ??AS 由于f(x,y,z)在曲面S上连续，故由介值定理，在曲面S上至少存在一点(?,?,?)，使 两边同时乘以?有 由以上证明过程可得 从而结论成立。 f(?,?,?)??1A??f(x,y,z)dxdy， S?Af(?,?,?)???f(x,y,z)dxdy。 S?Sf(x,y,z)dxdy??f(?,?,?)?， 17 3 积分中值定理中值点的渐进性 3.1 第一积分中值定理中值点的渐进性 定理1 :假设函数f(x)在[a,b]上n阶可导，其中f(x)在a点的直到n?1阶右导数为0，而n不为0，即f??(a)?f???(a)???f?(n?1)(a)?0，f?(n)(a)?0，并且有f(n)(x)在a点连续;函数g(x)在[a,b]可积且不变号，并且对于充分小的??0(a???b)， g(x)在[a,a??]上连续，且g(a)?0，则第一积分中值定理中的中值点? 满足lim ??a x?a x?a?0 ?x?(a,b)。 证明:对任意x?(a,b)，我们做一个辅助函数F(x)如下: F(x)? ? x a f(t)g(t)dt?f(a)?g(t)dt a x (x?a) n?1 一方面，当x?a?0时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件， 由洛比达法则 x?a?0 limF(x)?lim x?a?0 f(x)g(x)?f(a)g(x) (n?1)(x?a)n ?lim? x?a?0 f(x)?f(a)g(x) (x?a)nn?1 1f(x)?f(a)?limg(x)?lim nx?a?0x?a?0n?1(x?a) 由积分中值定理和洛比达法则可以得到 f(x)?f(a)f?(n)(a) ， lim?nx?a?0(x?a)n! 从而 g(a)f?(n)(a) 。 (4-1) limF(x)? x?a?0(n?1)! 18 且有 f(?)?f(a)f?(n)(a)lim?,(a???x) x?a?0(??a)nn! 成立。 另一方面，由积分中值定理和洛比达法则可得 limF(x)?lim f(?)?g(t)dt?f(a)?g(t)dt a a x x x?a?0x?a?0 (x?a) n?1 x ??n g(t)dtf(?)?f(a)??a???a? =lim?????nx?a?0?(??a)x?a??x?a? ???? f(?)?f(a)?a???a??lim?lim?lim?????0x?a?0x?a?0x?a(??a)n?? n a?? g(t)dt ? ?由洛比达法则，则有lim ???0 a?? a g(t)dt ? ?g(a)，因此可得 n f?(n)(a)g(a)???a? ??lim??,(a???x)。 (4-2) x?a?0x?an!?? 比较(4-1)式与(4-2 )式可以得到lim ??a x?a x?a?0 ?x?(a,b)。 g(x)在[a,b]上有m定理2:假设函数f(x)在[a,b]上连续，f??(a) 存在并且有f??(a)?0， 阶导数，有g(a)?g??(a)?g???(a)???g?(m?1)(a)?0， g?(m)(a)?0成立，并 且g(m)(x)在a点连续，g(x)不变号，则第一积分中值定理中的点?满足 lim ??a x?a x?a?0 ? m?1 ,x?(a,b)。 m?2 证明:对任意的x?(a,b)，构造辅助函数H(x)如下 ?H(x)? 有 x?a?0 x a f(t)g(t)dt?f(a)?g(t)dt a x (x?a) m?2 。 一方面，当x?a?0时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件， 由洛比达法则， limH(x)?lim x?a?0 f(x)g(x)?f(a)g(x) (m?2)(x?a)m?1 19 =lim x?a?0 f(x)?f(a)g(x)1 ??m x?a(x?a)m?2 x?a?0 由于x?a?0，则lim式等于 f(x)?f(a) ?f??(a)，且函数g(x)在[a,b]上有m阶导数，则上 x?a (m)g(x)1g(x)1??(4-3) ?f??(a)?lim??f(a)??mx?a?0m?2(x?a)m?2m! 另一方面，由积分中值定理 ? 则 limH(x)?lim x a f(t)g(t)dt?f(?)?g(t)dt。 a x [f(?)?f(a)]?g(t)dt (x?a) xa m?2 x x?a?0x?a?0 (a???x) [f(?)?f(a)]??a?ag(t)dt=lim ??m?1x?a?0??ax?a(x?a) g(t)dt[f(?)?f(a)]??a?a=lim ?lim?limx?a?0x?a?0x?ax?a?0(x?a)m?1??a x 对H(x)使用洛比达法则可得 (m) g(a)??a? =f??(a)?(4-4) ?lim x?a?0(m?1)!x?a 比较(4-3)，(4-4)式我们可以得到lim ??a x?a x?a?0 ? m?1 ,x?(a,b)。 m?2 定理3:设函数f(x)在[a,b]上n阶可导，f??(a)?f???(a)???f?(n?1)(a)?0， f(n)(x)?0， f(n)(x)g( 在a点连续;函数 (m? g(x)在[a,b]上有m阶导数，且 a?)??g(?a?)???g?( a)??1 ) gg(m)?a)0g(m)(x)在a点连续，g(x)不变，((a)?0，并且 号，则第一积分中值定理中的? 满足lim ??a x?a x?a?0 ?x?(a,b)。 证明:对任意的x?(a,b)，我们构造辅助函数L(x)如下 L(x)? ? x a f(t)g(t)dt?f(a)?g(t)dt a x (x?a) m?n?1 20 一方面，由于x?a?0时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有 x?a?0limL(x)?limx?a?0f(x)g(x)?f(a)g(x) (m?n?1)(x?a)m?n =lim ?x?a?0f(x)?f(a)g(x)1 ??(x?a)n(x?a)mm?n?11f(x)?f(a)g(x) ?lim?limnmx?a?0 x?a?0m?n?1(x?a)(x?a) 由于函数f(x)在[a,b]上n阶可导，且函数g(x)在[a,b]上m阶可导，则上式等于 (m)f?(n)(a)g?(x)1??? (4-5) m?n?1n!m! 另一方面，由积分中值定理 ? 则 limL(x)?limxaf(t)g(t)dt?f(?)?g(t)dt。 ax[f(?)?f(a)]??g(t)dt (x?a) nam?n?1xxx?a?0x?a?0(a???x) [f(?)?f(a)](??a)?ag(t)dt=lim ??nmm?1x?a?0(??a)(x?a)(x?a) g(t)dt[f(?)?f(a)](??a)?a=lim ?lim?limnmx?a?0m?1x?a?0x?a?0(??a)(x?a)(x?a)nx 对L(x)使用洛比达法则可得 4-6) ??x?a?0n!?x?a?(m?1)!n (m)f?(n)(a)???a?g?(a)??lim?,(a???x) ( 比较(4-5)、(4-6 )式我们可以得到lim??a x?ax?a?0?x?(a,b)。 3.2 第二积分中值定理中值点的渐进性 定理4 :假设函数f(x)在[a,b]上单调，并且在a点的右导数存在，且有f?(a?0)?0;g(x)在[a,b]上可积，在a点的右极限存在，且g(a?0)?0。则第二积分中值定理中的?满足 21 1?,x?a?0x?a2lim??ax?(a,b)。 证明:对于任意的x?(a,b)，构造辅助函数F(x)如下 F(x)??x af(t)g(t)dt?f(a)?g(t)dtax (x?a)2。 一方面，当x?a?0时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件， 由洛比达法则可得 x?a?0limF(x)?limx?a?0f(x)g(x)?f(a)g(x) 2(x?a) ?1f(x)?f(a)1limlimg(x)?f?(a?0)g(a?0)?0(5-1) 2x?a?0(x?a)x?a?02 另一方面，由第二积分中值定理，有 x?a?0limF(x)?limf(a)?g(t)dt?f(x)?g(t)dt?f(a)?g(t)dta?xx?ax?a?0(x?a)2 ?x?xf(a)?g(t)dt?f(x)??g(t)dt??g(t)dt??f(a)?g(t)dt??aaa?a? ?lim2x?a?0(x?a) ?lim?f(x)?f(a)??ag(t)dt??f(x)?f(a)??ag(t)dt (x?a)2x?x?a?0 ?xg(t)dt??g(t)dt?f(x)?f(a)??a? ?limlim?a x?a?0x?a?0??x?ax?a???? ??xg(t)dtg(t)dt??a?f(x)?f(a)??? ?limlim?a?a?x?a?0x?a?0?x?ax?a??ax?a?? ??? ??a?? ?f?(a?0)?g(a?0)?g(a?0)limx?a?0x?a?????a??(5-2) ?f?(a?0)g(a?0)?1?limx?a?0x?a??? 比较(5-1)、(5-2)式知1?lim 将此定理推广，即可得到以下定理 ??ax?ax?a?0?1??a1，即可得到lim?。 x?a?0x?a22 22 定理5:假设函数f(x)在[a,b]上单调，在[a,b]内有直到n阶导数，f(n)(x) 在a点连续，f(x)在a点的右导数满足f?(a?0)?f??(a?0)???f(n?1)(a?0)?0，f(n)(a?0)?0;g(x)在 [a,b]上可积，在a点的右极限存在，且g?(a?0)?0，则第二积分中值定理中的?满足x?a?0lim??ax?a?n,x?(a,b)。 n?1 证明:构造辅助函数 G(x)??x af(t)g(t)dt?f(a)?g(t)dtax (x?a)n?1 证明可仿造定理16，证明过程略。 定理6:假设函数f(x)在[a,b]上单调，函数f(x)在a点的右导数存在，并且有f?(a?0)?0;g(x)在[a,b]上存在直到m阶导数，且有g(m)(x)在a点连续，并且满足g(a)?g?(a?0)???g(m?1)(a?0)?0，g(m)(a?0)?0，则第二积分中值定理中的点? 满足lim??a x?ax?a?0?x?(a,b)。 证明:构造辅助函数 H(x)?x af(t)g(t)dt?f(a)g(t)dtax (x?a)m?2， 证明可仿造定理17，证明过程略。 定理7:假设函数f(x)在[a,b]上单调，在[a,b]上有直到n阶的导数，f(n)(x)在a点连续，并且在a点的右导数满足f?(a?0)?f??(a?0)???f(n?1)(a?0)?0，f(n)(a?0)?0;g(x)在[a,b]上存在直到m阶导数，g(m)(x)在a点连续，且满足 g(a)??g(?a0??) lim(m?1)?gg)(m)(a(a?，0?0?0)?0，则第二积分中值定理中的点? 满足??a x?ax?a?0?x?(a,b)。 证明:构造辅助函数 L(x)??x af(t)g(t)dt?f(a)?g(t)dtax (x?a)m?n?1， 证明可仿造定理6，证明过程略。 23 4 积分中值定理的应用 4.1 估计积分值 例1 估计? 解:由于 111??， 1?0.51?0.5sinx1?0.52x0dx的积分 1?0.5sinx 即 21??2。 31?0.5sinx 于是 2x4?dx???4? 01?0.5sinx3 此时可得到估计的积分值为 ? b a2x0dx8?4????(?1)。 1?0.5sinx33例1 估计?sinx2dx,(0?a?b)的积分 解:设x?。则 1b2?asinxdx?2?a2， b2 其次，假设f(t)?sint和?(t)?t，则?(t)单调下降，并且有?(t)?0。于是， 1b21?12?sintdx?(cosa?cos?) 22??aa22a2a 24 ?12 1??a2??a21?sinsin?? a22a 其中a2???b2，??1。因此 ? 例2 证明等式lim?n?p n??nbasinx2dx??a(?1)。 sinxdx?0。 x 证法1:由第一积分中值定理可知 lim?n?p n??nsin?nsinxdx?limp?0， n???xn 其中?n位于n和n?p之间的某个值。 证法2:由第二积分中值定理可知得 ? ?n?pnsinx1dx?xn???nnsinxdx 11???0(n??)， cosn?cos?nnn n?p n??n其中?n位于n和n?p之间的某个值，于是lim?sinx?0。 x 4.2 求含定积分的极限 xn 例1 求极限lim? n??01?x21 解:利用广义积分中值定理 xn1lim??n??01?x21??21?10xndx 1xn?1 11 ?[]?,(0???1) 0221??1?n(1??)(1?n) 则 xn1lim?dx?lim?0 n??01?x2n??(1??2)(1?n)1 xn ?0 例2 证明 lim?01?xn??1 分析 此数列通项含有定积分，而定积分不易求出，可用推广的积分中值定理化解积 25 分 证明:应用推广的积分第一中值定理有 xn ? lim?01?xn?? 1 1 limn??1??n 1 ? 1 xndx ? 11 ?0 lim?01??n??nn?1 b?y?a?y? 例3 设F?y??? 如果函数f?x,y?及fy?x,y?都?a,b?在上连续，同时在?c,d?f?x,y?dx， 上a'?y?及b'?y?皆存在，并且a?a?y??b，a?b?y??b，则 F?y?= ' b?y?db?y?'' fx,ydx?fx,ydx?fby,yby?fay,ya???????????y? ????y??ayay????dy 证明:考虑F?y?在?c,d? 上的任何一点处的导数y0，由于 a?y?a?y0? F?y??? b?y0? a?y0? f?x,y?dx?? b?y? b?y0? f?x,y?dx?? f?x,y?dx?F1?y??F2?y??F3?y?，现在分别考 b?y0? 虑Fi?y?在y0处的导数(i=1,2,3)。由引理可知，F1'?y0???此外， 因为F2?y0??0，所以 a?y0? fy?x,y0?dx F?y0??lim ' 2 y?y0 F2?y??F 2 ?y0? y?y0 b?y?f?x,y?F2?y? ?lim?lim?dx0 b?y0?y?yy?yy?y0y?y000 应用积分中值定理，F2'?y0??lim y?y0 b?y??b?y0? fx,y这里x在b?y?和b?y0?之间。我们再 y?y0 ?? 注意到f?x,y?的连续性及的b?y?可微性，于是得 F2'?y0??b'?y0?f?b?y0?,y0?。同理可以证明 F3'?y0??a'?y0?f?a?y0?,y0?， 综上可知 F'?y?= b?y?db?y?'' fx,ydx?fx,ydx?fby,yby?fay,ya???????????y? ????y??ayay????dy 4.3 确定积分号 例1确定积分?x3exdx的符号 ?11 解: 26 10101??1x3exdx??x3exdx??x3exdxx??t?(?t)3e?td(?t)??x3exdx ?10?10 01011 10100??t3etdt??x3exdx???t3e?tdt??x3exdx??x3(ex?e?x)dx 由积分中值定理可知 ? 4.4 比较积分大小 ? 4 031?1x3exdx??3(e??e??)?0其中(0???1)。 11又x3ex在[?1,1]上不恒为0，则有?x3exdx?0，即?x3exdx的符号为正号。 ?1?1?0例1 比较积分?sinx和?4sin2x的大小 n?解:当x?(0时)，0?six4 ?? 32 0?1从而有0?sin3x?sin2x?1，于是我们有，??30?40sinx??4sinx，即?4sinx小于等于?4sin2x。 0 例2 设f(x)在?a,b?上连续、单调增加，证明?b aa?bbxf?x?dx?f?x?dx 2?a 分析 利用定积分的线性性质、关于区间的可加性、积分中值定理及函数的单调性证明。 证明: 因为? = bbaa?bbxf?x?dx?f?x?dx 2?aa?b??x??f?x?dx ?a?2?? = ?a?b 2 ab?a?b?a?b??x?fxdx?x???a?b????f?x?dx 2?2??2? = f??1??a?b2 ab?a?b?a?b??x?dx?f?x???a?b2????dx 2?2??2?a?b??a??????b12?? 2?? ?b?a???f??1?2 所以2?b?a?=?b?a??f??2?22a?bbf?x?dx ?a222??f??2??f??1????0(f(x)单调增加) ?b axf?x?dx? 4.5 证明中值点的存在性 确定函数中值点的存在性，一般应先仔细观察被积函数所具有的性质， 考虑用连续函数的零点定理，或者微分中值定理，若仍然不能解决问题，这时要考虑应用积分中值定理等途 27 径解决问题。 例 1 设函数f(x)在?0,1?上连续，在?0,1?内可导，且3? 证明:????0,1?使f(?)导数为0 证明:由积分中值定理得: f(0)=3?1 2/312/3f(x)dx=f(0) f(x)dx=3(1-2/3)f(?)=f(?) (其中2/3???1) 又?f(x)在?0,1?上连续，在?0,1?内可导，故f(x)在?0,??上满足罗尔中值定理条件，则存在一点???0,???，使?0,1?，使使f(?)导数为0。 4.6 证明函数的单调性 例1设函数f(x)在(0,??)上连续，其中F(x)??(x?2t)f(t)dt，试证:在(0,??)内，0x 若f(x)为非减函数，则F(x)必为非增函数。 证明:利用分歩积分法，将F(x)化为 F(x)??(x?2t)f(t)dt?x?f(t)dt?2?tf(t)dt 000xxx 对上式求导，可以得到: F?(x)??f(t)dt?xf(x)?2xf(x)??f(t)dt?xf(x)。 00xx 由积分中值定理，可得: F?(x)?xf(?)?xf(x)?x(f(?)?f(x)),(0???x)。 若f(x)为非减函数，则有f(?)?f(x)?0成立，因此可以得到F?(x)?0，故 F(x)为非增函数，命题得证。 4.7 证明定理 例1 证明(阿贝尔判别法)如果f(x)在[a,??)上可积，g(x)单调有界， 那么??? af(x)g(x)dx收敛。 证明:由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间[A,A?]上(其 中A,A??a)，存在??[A,A?]，使得 ?A? Af(x)g(x)dx?g(A)?f(x)dx?g(A?)?f(x)dx。 A?A?? 因为f(x)在[a,??)上可积，则??? af(x)dx收敛，所以对于任何??0，存在A0?a，使 28 得当A?,A?A0时，成立 ? A? ?A f(x)dx??, ?? ? A? f(x)dx??。 又由g(x)?L,所以当A?,A?A0时，有 ? A f(x)g(x)dx?g(A)?f(x)dx?g(A?)?f(x)dx A A? ? ?g(A) ? ? A f(x)dx?g(A?) ?? A? f(x)dx?2L?， 根据柯西收敛原理可推知积分? ?? a f(x)g(x)dx收敛。 备注2: 当讨论无界函数广义积分时，可将阿贝尔判别法可改写为: 假设f(x)在x?a有奇点，?f(x)dx收敛，g(x)单调有界，那么积分?f(x)g(x)dx 收 a a b b 敛。 证明:对? a???a?? f(x)g(x)dx应用第二积分中值定理，证明过程略。 备注3:当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广 义积分的阿贝尔判别法可写为: 假设? ??a f(x,y)dx关于y?[c,d]为一致收敛，g(x,y)关于x单调(即对每个固定的 y?[c,d]，g(x,y)作为x的函数是单调的)，并且关于y是一致有界的，即 存在正数L， 对所讨论范围内的一切x,y成立:g(x,y)?L。那么积分 ? 关于y在[c,d]上是一致收敛的。 证明:由于? ??a ?? a f(x,y)g(x,y)dx f(x,y)dx关于y?[c,d]是一致收敛的，则对于任意正数??0，存在 A0?a，当A?,A?A0时，成立 ? ? A? A? A f(x,y)dx??。 因此，当A?,A?A0时，将y看成给定常数，则由积分第二中值定理中 的公式 A f(x,y)g(x,y)dx?g(A,y)? ?(y) AA? f(x,y)dx?g(A?,y)? A? ?(y) f(x,y)dx 因为对任意的x,y都有g(x,y)?L，则 ? A f(x,y)g(x,y)dx?2L?。 29 ?? 因此，? a f(x,y)g(x,y)dx关于y在[c,d]上是一致收敛的，命题得证。 A 例2 证明(狄里克莱判别法)如果F(A)??f(x)dx有界，即存在K?0，使得 a ? A a 单调且当x???时趋向于零，那么积分?f(x)?K,g(x) ?? a f(x)g(x)dx收敛。 证明:因为g(x)?0(x???)，所以对任意的??0，存在A0，当A?A,A? g(A)??， g(A?)??。又因 ? A a f(x)dx?K，所以 ? 同样我们有 ? A f(x)dx? ? ? a f(x)dx??f(x)dx?2K， a A ?? ? 所以积分? ??a A? A? f(x)dx?2K。 由第二积分中值定理，只要A?,A?A0，就有 A f(x)g(x)dx?g(A) ? ? A f(x)dx?g(A?) ?? A? f(x)dx?4K? f(x)g(x)dx收敛，命题得证。 备注4:当讨论无界函数广义积分时，我们可将狄立克莱判别法写为: 设f(x)在x?a有奇点，? ba b a?? f(x)dx是?的有界函数，g(x)单调且当x?a时趋于零， 那么积分?f(x)g(x)dx收敛。 证明:对? a???a?? f(x)g(x)dx应用第二积分中值定理，证明过程略。 备注5: 当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广 义积分的狄立克莱判别法写为: 设积分?f(x,y)dx对于A?a和y?[c,d]是一致有界的，即存在正数K，使 对上述A,y aA 成立 ? A a f(x,y)dx?K 又因为g(x,y)关于x是单调的，并且当x???时，g(x,y)关于[c,d]上的y 一致趋于零，即对于任意给定的正数?，有A0，当x?A0时，对一切y?[c,d] 成立 30 g(x,y)??， 那么积分? ??a f(x,y)g(x,y)dx关于y在[c,d]上是一致收敛的。 证明:由所假设的条件可推知对任何A?,A?a，有 ? ? A?A f(x,y)dx? ? A a f(x,y)dx?? A? a f(x,y)dx ? A a f(x,y)dx? ? A? a f(x,y)dx?2K 而由g(x,y)??和上式可推知，当A?,A?a时 ?? ? A? A f(x,y)g(x,y)dx?g(A,y) ? ?(y) A f(x,y)dx ?g(A?,y) ?? A?(y) f(x,y)dx???2K???2K?4K?， 因此，? a f(x,y)g(x,y)dx关于y在[c,d]上是一致收敛的，命题得证。 结论 本课题通过讨论积分中值定理，对积分中值定理内容如积分中值定理的定义、推广、渐进性质、应用加以说明，使得我们对积分中值定理有一个大概的了解。本文论述得还是 31 比较完全的，对于积分中值定理的各个方面有关情形都一一加以讨论。而且对于现在比较热门研究的渐进性问题有了初步了解，但相对于当今的研究方向来说讨论还是比较少的，并且讨论的时候对于给出的条件比较苛刻。此外，积分中值定理的推广问题也是当今数学研究的一个方向，我们再此也给出了简单的介绍。但课题的内容缺少了与实际接轨的东西，理论性质比较强，任何学科的研究都是为现实生活服务的，我希望在应用方向能够找到更加实际的东西，因此当然希望以后能有现实的东西加在理论问题的研究之中。 参考文献 [1] 陈纪修、於崇华、金路.数学分析(第二版 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf ).北京:高等教育出版社，2004.294-310 [2] 陈纪修、於崇华、金路.数学分析(第二版下册).北京:高等教育出版社，2004.165-170 [3] 陈传璋、金福林等编.数学分析(下册).北京:高等教育出版社，1983. 286-288 32 [4] 陈传璋、金福林等编.数学分析(上册).北京:高等教育出版社，1983. 51-56， 252 [5] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版上册).北京:高等教育出版社，1981. 223 [6] 王成伟、张秀岩.第二积分中值定理“中值点”的渐进性质.北京服装学报，1994. 86-89 [7] 王成伟、张晓燕.第一积分中值定理中间点的渐进性质.北京服装学院学报，2000. 73-75 [8] 胡卫敏. 积分中值定理及其推广.伊犁师范学院学报,2004. 6-10 [9] 李云霞. 关于广义积分中值定理及“中间点”的渐近性.信阳师范学院学报,1998. 16-19 [10]Altonso G Azpeitia . On the Lagrange Remainder of the Taylor Formula . Amer Math Monthly , 1982.12-17 致谢 首先，我要衷心感谢我的导师赵老师对我辛勤的培育和无微不至的关怀。在选题，查找资料，撰写，到反复修改，乃至定稿，都得到了赵老师的悉心指导。赵老师有着严谨的治学态度，忘我的工作态度以及正直的为人和宽广的胸怀，是我们的楷模，也使学生铭记于心，这些将影响我日后的工作和学习，将使我受益终身。 33 最后，我要感谢08级数学与应用数学专业以及数学系的所有老师和同学，感谢他们在四年来的支持和帮助。 34