高中数学解题技巧

高中数学解题技巧 高中数学解题手稿 第一章:数列部分 1，已知: 求证: 证明:解法一: 由第一个式子得 。证毕。 解法二:由第二个式子知道: 成等比数列 2，已知，求证:a,b,c至少有一个不小于 或，解得证明:方法一:假设，则: 由，有不等式组 即成立 将代入得到 ab ，解之得 ab 说明以上两组解中只能是 ， ，则 另外，a,b,c必定有一个大于零。如果是 ，这时根据均值不等式有，这与矛盾。如果a,b中，则由知，，所以，所以，这和矛盾。综上可知，a,b,c中必有一个不小于2.证毕。 解法二:构造法: 无可否认解法二相当简单，但对于训练思维逻辑的作用来说，解法一是必要的。 3.正数a,b满足，求证: 解法一: 4 解之即得 。 证毕。 解法二: 整理即得 (有点问题)解法三: 上式是基于不等式: (有问题) 4 (以上两种方法其实不无本质差别) 解法四: 分析:条件式中次数是3次，而结论式中是1次，所以需要降幂。 又结论式是不等式，当且仅当时成立。于是考虑构造均值不等式。 解:由均值不等式得: (1) (2) 由(1)+(2)变形整理得: 4、已知a，b，C?求证: cyc 同理有 各式相加即得证。 114.已知，。求证:。 xy 证明:法1: y) y) y) 证法2: xy: 证法3: 证法4: 5.已知，c11 。求 1111 。3 3证明: 法1:令，则 证: kkk1 xyz22123 1111 xyz k1k1k1 (3)3xyz 证毕。 1313131313 6.已知。求证:。 证明:法1:， 在等式两边取对数得: 。这说明点(a,b)位于直线 上。对点(c,d)也有相同结论。易知点(1,1)也在直线 上。因此以下三点(a,b)、(c,d)、(1,1)共线。 当所形成的直线不垂直于横坐标时，由斜率相等由:。 ，变形即得 当所形成的直线垂直于横轴时，有a=c=1.等式仍成立。 证毕。 解法二:由题意知: 显然: 即有: 。 证毕。 (2008年陕西高考理科卷22题) 已知数列{an}的首项，。 (1)求数列{an}的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 。 ，， (2)证明: n2 (3)。 解:(1)由题意知; 即 3n (2)令则: 令 23n 显然 故 (3)数学归纳法: 时不等式显然成立; 成立; 时， 假设时 n2 成立 时 k2 故只需证明 即证明 () 而由牛顿公式，我们有 说明:这个题用数学归纳证明时，有个特殊之处就是从开始。 1222解法2 利用第二问的结论，运用累加法，再取，经过简单n333 的放缩就可得到。 由(2)得 累加: 欲使 n2 只需， n3 nn2 同时成立即可。 1 解之得到: 11取 n2 代人 证毕。 说明，实际上，若设 13k 则有 使 n2 一个值。稍加分析后便可以知道，只要n3 均可。例如，只不过代入的时候比较 麻烦。 成立的x值并非只有 (2011年上海高考压轴题22题)已知数列{an}和{bn}的通项公式分别是 将集合中的 元素从小到大依次排列，构成数列 (I)求c1,c2,c3,c4; 求证:在数列{cn}中、但不在{bn}中的项恰为; (iii)求{cn}的通项公式。 解: 中除{an}和{bn}的公共项外都在数列{cn}中、但不在{bn}中。因此只需求出{an}和{bn}的公共项即可知道在数列{cn}中、但不在{bn}中的项。 为正数 是且仅是奇数。 故{an}和{bn}的公共项为 即 在数列{cn}中、但不在{bn}中的项恰为 (iii)由可知，{cn}的项其实就是在中插入{bn}中的一些项，而在{an}的两个偶数项之间，必然可以且只可以插入{bn}的某一项(这是因为{an} ，{bn}的公差为2.如果不能插入{bn}中的项，则{bn}的公差必大于或的公差为3 等于3;若能插入两项及两项以上，则{bn}的公差必小于2。 而 这说明 在an和之间的{bn}的项必须满足 即 且， 在 3n当n为偶数时，，此时; 2 当n为奇数时，，此时; 2 综上知 ， n为偶数 ， n为奇数 (2009年.山东)等比数列{an}的前n项和为Sn。已知对任意的点(n,Sn)均在函数(且 均为常数)的图像上。 (i)求r的值; (ii)当时，记 证明:对任意的不等式 解: 则 而 即化简得到 (ii)解法一、 ( 2n解法二、设 则 1 证毕。 解法三、数学归纳法 1时，成立; 2 假设， 成立 当时， 成立。有归纳法原理知2成立。证毕。 42n 评析:由以上可以发现，有的不等式可以由数学归纳法可以发现“放缩”的途径。 类似的题目还有: (2011上海13所市级实验中学期末)已知数列{an}满足 (c为常数)。 ， (i)求an通项; (ii)问是否存在正整数使成立,若存在，请写出c满足的条件; 若不存在，说明理由。 若当时，数列{bn}为递减数列，试求c的最小值。 2 1(iii)设 解:变形得 是以为首项，c为公差的等差数列 是二次函数，而 (iii)解法一 1 当恒成立。即 (1)时显然成立。 (2)时，必有只需 即可 综上所述 的最小值是0. 解法二 设 则 令() g(t)在递增。 解法三 设 ， 则 所以在上单调递增 的最小值为0. 求证: 证明:1.放缩 2 2.加强命题:设f(n) 则13，即 (1) 13 设时 成立。 则有数学归纳法有 时 即 1 n设 于是对任意的恒成立: 26 去即可。 4 7，其错误在于他由条件“ 8实际上江苏如东高级中学成唐明老师在解这个题时， 取 对于任意的恒成立”得到 (《加强命题证明一类数列不等式的解法探析》数学教学通讯(教师 版)编号226400) 4.求证:对任意的 证明 :解法1放缩法 。 1!2!n!5 解法2 与上题相同，可加强命题为 然后用数学归纳法证明，具体细节从略。 求证: 证明:解法一、 4 (，此式显然成立) 4n 解法二、由f(n)= =1- 1 1得f(1)+f(2)+…+f(n) 求证:3。 证明:证法一 由此得到 证法二 由此得到 解法三 假设 ，其中时 f(1)2 设 恒成立。 设 是增函数，且 因此命题可加强为 再用数学归纳法证明即可 6求证: 证明: 评注:效仿上题的证法可得到 1nk17.求证: 证明: 显然 8.对任意的 N)，求证: 证明:设 则: 因此，只需证明 即可。对上式整理得到 最后一步是明显的 证毕。 9.已知正数列{an}满足an2，证明: 证明:由题意得 不等式，当时成立。 n 2设 则在区间(0,1)上 1，当时成立 n 11下面假设成立。 n2由以上，不等式 当时，由f(x)在(0,)上的单调性得 12 时，成立。 10.已知数列{an}满足，证明:有基本不等式知 。证明: 而 这说明an单调递减 故而有，容易验证此式对也成立。 22n 成立。 2n 1 n评注:浙江省杭州市第二中学的蔡小雄老师把命题加强为 然后用数学归纳法证明(《中等数学》，2007年第10期,310053》)显得 不够自然。 实际上此题可以直接求通项 两边取对数得 反解出 an 由蔡小雄老师的结果，可得到不等式 1 an.求证 已知正项数列满足()，且 (1) (2)证明:(1)数学归纳法。 (2)由(1)知 anx的迭代。假设，则经过n 次迭代后可评注:此题的背景为 。但此题，由是的增函数，知道 得 成立。 12.已知各项均为正数的数列的前项和满足,且。 求通项; 设数列满足并记为 的前项和。求证:. 解: (1) (2) 两式相减，根据题意整理得 在(1)中，令，解得 可求得 证明不等式等价于证明 对此式，当然可以用数学归纳法证明。但是也可适当放缩。下面先用数学归纳 法 ，成立; 假设时，成立 当时， 只需证明 这等价于一个不等式 显然成立。 实际上，由伯努利不等式知道 这也成为下面的放缩法的思路 解法二 所以 证毕。 评注:解法二一气呵成，干脆利落。通过此题可发现有的题目由数学归纳法可 以发现放缩路径。 第二章 函数部分、 求值域类型: 1求的值域。 解:解法一:设 则 解法二:在中设() 则 综上可知 。 解: 令 则 显然。 函数单调性 两个特别重要的函数 在区间单调递减，在 找规律类型:单调递增。 证明:假设 由此结论明显。 在、是增函数。 证明:假设 由此，结论显然。 1、已知函数，求的值。 不等式部分 1 ，则 证明: 2伯努利不等式 当时，对任意的,有下面的不等式成立 证明: 当时 当时 故 综上 推广的伯努利不等式1 当时，伯努利不等式仍然成立。 证明:仍成立 另证:时， 成立。 时， 假设 则 因此由数学归纳法原理有 综上 当时，伯努利不等式仍然成立。 2.，且同号，则 . 第三章 导数部分 1、已知 ; 是减函数。 证明: 令 易证 是增函数。 证毕。 令 则 显然当 当 为极小值。 故 知在曲线上有且仅有一个正方形，求的值。 2已 解:1)若,则为增函数，不可能有正方形; 2)，为奇函数，而正方形也是中心对称图形。设相邻两顶点的坐标为,则有,由 此得到下面两个方程 将代入以上两个等式 并整理得 消去得 既然有且仅有一个正方形，说明只有一个值，即上面这个关于的二次方程有且 仅有一个实数解。 (舍去) 综上所述 3.设定义在上的函数，当时，取得极大值，并且，函数的图像关于轴对称。 求的表达式;试在函数的图像上取两点，使以这两点为切点的切线互相垂直， 且切点的横坐标都在区间上; 求证:。 解: 满足 由以上三式解得，所以 ，设点满足要求，则: 取即满足上式。所求两点为 令，则 显然，单调递减的奇函数，则 。证毕。 一个类似的代换见下题 4、函数f(x)=的值域为______________。 解:令，则 极限思想在数列中的几个闪光点 黄加卫 5、设函数。 讨论函数的单调性; 设函数，如果存在，使得，求实数的取值范围; 如果对任意的，都有成立， 求实数的取值范围。 解:，以下略。 ,在区间单调递减，单调递增。 欲使 设函数，如果存在，使得，则必须 即: 为此，构造函数 ， 显然是方程的根。 注意到在区间上，在区间上 可见上，在上。由此可知 在区间上在时取得极大值。 6.函数的图像记为曲线。 过一点作曲线的切线，这样的切线有且仅有两条， 求的值; 若在曲线上，对任意的，求证:; 若对恒成立，求的最大值。 解: ，设切点为 则过的直线方程为 在切点处， 令 结合图像和题意可知， 求导得: ，即时，，在区间上的最小值为 恒成立等价于 显然成立。 当，即时，在区间上的最小值为 恒成立等价于 当时， 当时， 令 则 令，在上为增函数。 当 时， 综上所述有，在区间上成立 恒成立 作函数，必然有 时，，此时; ， 在上，单调递减。在上，单调递增。 所以最小值 所以 所以 7已知函数， (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)当时，求证:有唯一零点; (3)当当时，若有唯一零点，求的值。 解:(1)略; (2)， 1> >0 为连续增函数。而 有唯一零点。 2> 设两根 为则 均为负数。在成立。 为连续增函数。而 有唯一零点。 综上所述，当时，有唯一零点。 (3)当当时，令，在解得 经分析易知，是极小值，也是最小值。欲使有唯一零点，则必有 即 令，观察易知，且单调递增。 解得。 第四章 圆锥曲线 1 已知椭圆C:的左右焦点分别为,过点的直线与椭圆C相交于A,B两点，的 周长为6，椭圆的离心率为。 求椭圆C的方程; 设是左侧一点，连接分别交直线于M、N两点，若总在直线为直径的圆外，求 实数的取值范围。 解: (1) 由题意知 解得 椭圆方程 (2) 由题意知: 设，，直线AB的斜率为存在时，直线AB的方程为:。联立 消去整理得到: 同理 即: 将以上结果代入并且化解得到 对任意的恒成立。 时，代入上式后知，不成立。 时，， 即:或 时，由于 不可能恒成立。 当AB的斜率不存在时， 综上所述