有关功的计算

有关功的计算 一、功的计算方法 功是表示力作用于质点并产生一段位移过程的物理量，是个过程量．功是标量，功的正、负表示改变质点运动状态的不同效果，正功使质点的动能增大，负功使质点的动能减小，功的正、负由力矢量和位移矢量的夹角确定． 功的计算要明确是什么力在哪段位移过程中的功．功的计算通常有四种途径． 1．根据功的定义式计算功 恒力做功的公式是W= Fscosθ，已知力F和质点的位移s，已知F矢量与s矢量之夹角θ，就可计算F的功．在匀强电场中电场力的功可表示为W = Eqdcosθ． 2．根据功率的公式计算功 由P= W / t可求功． 3．根据能量的变化计算功 功是能量变化的量度，根据能量的变化求功，不仅适用于求恒力功，也适用于求不能用功的定义式简单计算的变力功，所以根据动能定理求功、根据热力学第一定律求功、根据势能的变化求保守力的功等等都是求功的重要途径． 4．利用F-x图象和p-V图象计算功 F-x函数曲线和p-V函数曲线下的面积可以表示功的数量，例如遵循胡克定律的弹簧，其弹力F与形变量△x的关系如图1所示，k为弹簧的劲度系数．将此弹簧拉伸△x，弹力做负功，功的数值就等于图中画斜线的三角形的面积k△x2 / 2．弹力是保守力．弹力的功是弹性势能变化的量度，所以弹簧从自然长度拉伸（或压缩）△x时，弹性势能大小为k△x2/ 2． [例1]一质量为2kg的滑块，以4m / s的速度在光滑水平面上向左滑行．从某一时刻起，在滑块上施加一个向右的水平力，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m / s．在这段时间里水平力做的功为 [ ] A．0J B．8J C．16J 　 D．32J [解析]本题用功的定义式、功率公式求力的功比较困难．滑块受的重力、支持力不做功，水平推力第一阶段做负功，第二阶段做正功．但由动能定理可判定水平推力的总功等于零，也就没有必要做多余的分段计算，直接选A作本题的解． [例2] 如图3所示，恒力F拉细绳使物体A在水平桌面上产生位移s，恒力方向与水平面成θ角，求此恒力做的功． [解析] 如图4所示，与恒力F的作用点相联系的细绳上的质点（小环a），相对于选定的坐标的位移是L，由几何关系可得 另解：图3所示的物理过程，可用图5来等效代替，取A和绕过滑轮的一段细绳为研究系统，这个系统在两个F的作用下产生了一段位移s．跟这两个F的作用点相联系的物体上的质点（滑轮）的位移为s，所以两个F做的功为 W = Fs + Fscosθ= Fs（1 + cosθ） W与恒力F做的功等效，所以恒力F的功为 WF = Fs（1 + cosθ） [例3] 从高20m的楼顶以5m / s的速率抛出一个质量为20g的物体，物体落地时的速率为10 m / s．求空气阻力对物体做的功． [解析] 未知阻力f，也不知道物体的位移情况，可以用动能定理求阻力功． WF = 3.25（J）负功． [例4]如图6所示，两个底面积都是S的圆桶，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为h1和h2．已知水的密度为ρ．现将连接两桶的阀门K打开，最后两桶水面高度相等．则这过程中重力做的功等于____． [解析]重力做的功等于K打开前后液柱的重力势能差．将左桶中高为（h1 - h2）/ 2的一段水柱移入右桶，其质量为m = ρs（h1 - h2）/ 2，重心降低（h1 - h2）/ 2，重力势能减小ρSg（h1 - h2）2 / 4，所以重力做功ρSg（h1 - h2）2 / 4． 二、关于变力做功的计算方法 1．平均法 如果力的方向不改变，且与位移的方向一致，而其大小与位移的数值成线性变化关系时，可以认为物体在这一过程中所受到的力是一个与平均力等值的恒力，然后用变力的平均值与力的作用的位移大小乘积来计算功． [例5]用锤子把铁钉钉入木块中，如果每次打击时锤子对铁钉做的功相等，铁钉被钉入木块时所受的阻力跟钉入的深度成正比．钉子第一次被击入的深度为5cm，求第二次打击后，可再进几厘米？ [解析] 以x表示钉子击入木块的深度，k表示比例系数，则阻力f = kx．不计钉子重力，锤对钉子做的功等于钉子克服阻力所做的功． 第一次钉子击入木块的深度以x1表示， ： 第二次打击后钉子击入木块的总深度以x2表示，则平均力可表示 ： [例6] 用力拉一个劲度系数为k的弹簧，当它的伸长为x时，求拉力所做的功． [解析] 根据胡克定律F = kx，可知拉力F是一个变力，随x的增大而增大，F与x是线性变化的关系，其平均值： 平均法用途广泛，如手执均匀链条的一端，将其竖直提起；用竖直向下的力把长方体均匀木块按入水中；把盛有水的漏水桶从井中提出等问题中均可按上述方法求功． 2．微元法 物体沿圆弧作曲线运动，力与物体运动（切线）方向的夹角不变，力的方向与位移方向同步变化．作用力所做的功不仅与物体的始末位置有关，还与路径有关，不能简单套用功的定义式，可将圆周分成很多小等段，使每一段趋近于一条直线段，先求力在这一小段上的“元功”，然后求和． [例7]如图7所示，一个以大小不变的力F拉着质量为m的木箱在圆弧桥上行走，已知圆弧的半径为R，AB弧所对的圆心角为θ弧度，绳子与桥面切线始终成α角．求从A到B人拉木箱所做的功． [解析] 在任意短的时间内一小段圆弧△S与弦重合，可视为一段位移，力F所做的“元功”为△W = F△Scosα． 总功W = ∑△W =∑F△Scosα= FRθcosα 物体沿水平圆形轨道运动时，求沿切线方向的作用力所做的功，亦应按上述方法思考，就其整体而言，S应理解为路程，而非位移． 3．替代法 做功可使物体的能量转化，因此可以根据物体的能量变化来计算物体做功多少． [例8]一质量为m的小球，用长为L的软绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点．如图8所示，则外力F所做的功为： [ ] A．mgLcosθ 　B．mgL（1-cosθ） C．FLsinθ 　 D．FLθ [解析]由题意可知小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移到Q点，它告诉我们小球的速度可不考虑，小球每一位 置可视为平衡位置，不难看出F是一个变力，本题属变力做功的问题，小球重力势能的增加是由外力做功的结果，故有WF = mgL（1 - cosθ） 4．图象法 画出F随x变化关系的图象，利用图象下的“面积”表示功的数值． 除了用力—位移图象表示功外，还可用功率—时间图象表示功；流体做功，通常用压强—体积图表示；电学中电量—电压图象及电流—电压图象分别可示功及功率．应视具体问题灵活运用． [例9]如图9所示，一根粗细均匀的铁杆AB长L，横截面积为S，将杆的全长等分为n段划线后，竖直落入水中，求第n段浸没于水的过程中浮力作功的大小． [解析] 根据阿基米德原理，杆受的浮力跟杆浸没于水中的深度x成正比，浮力大小为F F = ρSxg 式中ρ为水的密度，显然ρSg为常数，设ρSg = k，则F = kx．图10所示，浮力大小随铁杆入水的深度而变，所以求浮力功不能用恒力功的公式． 画出浮力F与杆入水深度x的关系图象．（图11） 浮力F的功的大小即图线下的“面积”大小表示，设x1 = L / n，则第一段入水结束时的浮力为F1=ρSLg / n，……同理， 由示功图（图11），可知第n段杆入水过程浮力作功的大小在数值上等于从xn-1到xn之间梯形的面积，所以有