幂指函数极限的一种简捷求法幂指函数极限的一种简捷求法
昂捐酝.极f氏.计焉
第二卷第3期高等数学研究
1999年9月STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS
所元彦撰
Vol_2NO.3
SEP1999
一
I幂指函数极限的一种简捷求法'
[=)
盟'陕西雌学院西安??f7J,———一r,』,l
等价无穷小代换在计算极限中是一种非常有用的方法.特别对幂指函数极限的计
算,如能巧
妙运用,可使问题变得简明,易解,为此我们介绍以下命题, 命题设在自变量的某一变化过程中,,,,均为无穷小量,若,,,,且 lir...
幂指函数极限的一种简捷求法
昂捐酝.极f氏.计焉
第二卷第3期高等数学研究
1999年9月STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS
所元彦撰
Vol_2NO.3
SEP1999
一
I幂指函数极限的一种简捷求法'
[=)
盟'陕西雌学院西安??f7J,———一r,』,l
等价无穷小代换在计算极限中是一种非常有用的方法.特别对幂指函数极限的计
算,如能巧
妙运用,可使问题变得简明,易解,为此我们介绍以下命题, 命题设在自变量的某一变化过程中,,,,均为无穷小量,若,,,,且 lira(1+)=A,则lira(1+口)古=lim(1+)=A. 证明由口,知1n(1+口),In(1+)
所以1im1n(1+){一1im?鲁?In(1十)
=
limln(1+)=inElim(1+)]一inA
从而lim(1十){一limem(~+-I"c?告==一A
倒1求极限lira(1+tanz)
解当—-0时,tan,,xln(1+),z
所以lira(1+tan2x)五丽1=lira(1+)= 倒2求极限()
解因为
当一0时,
1+tanx1+sinm+talt:c—sinx1+SIIiX1+sin=1+—tan丁x(1--cosx)
.ta"'2sin詈一1+—
tanx'2sinx,?2?(号)=丢n,
所以原式=li—
ra
.(1+寺一)"[(1+寺一).]{={
在以上计算中,我们采用了等价无穷小代换,使问题变得简明,易解,如利用罗必塔
法则或
其他方法将是很繁锁的,读者不妨一试. 有些幂指函数极限,还可用等价无穷小代换并结台重要极限及导数定义等综台求
解.
例3求极限(c0s?)
解因为c0l-_一一.s.n击,且当一?时,sin五1,(去)=击 所以原式=Jim(1—2sin去)(1一岳)
_收稿日期'l999—05一l9
第2卷第3期符世斌:幂指函数极限的一种简捷求法21
=[(1一1)]}=
例4设尸)存在,,(n)?0,试求limI———? I,(d+上)
…l,一吉)
解原式=1im
,+)一,一
,一)
+)一,一)
2一
几+)一几一)
当n一?时,———————一
旦
1
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2
,(??)
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导'十",一
)
f(a一)
,(口)2
,7酉'
故原式=
…
llmIf'(a ,
).?
詈+]一[(铬.詈+)怒.]错=
(上接第13页) 分析当?o时,,)一2zsi"i1--COS?,limf'()不存在
但,(O)一lim —u
即,)在x=O可导. f)一,(O)
一
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例2说明,命题I,2的条件是充分而非必要的
..farctan例
3讨论f(x)一
L0
?O在
:O的可寻性
=0
分析当-z?o时,,()=?(一去)一一r}了,1+()0
所以lirnf')=一1.
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f(z)=l
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arctaj1不存在,~Jlf(x)在=o不连续,从而,)在—o不可导
例3说明,命题1,2的条件缺一不可.
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