二次效用函数在固定费用和延迟时间下的最优再保险模型中的应用

二次效用函数在固定费用和延迟时间下的最优再保险模型中的应用 二次效用函数在固定费用和延迟时间下的最优再保险 模型中的应用 目 录 目 录 摘 摘 摘 要 要 要 vii ABSTRACT viii 第 第 一 第 一 章 一 章 引 章 引 言 引 言 言 1 第 第 再 二 第 再 二 章 再 二 章 章 保 保 险 保 险 决 险 决 策 决 策 模 策 模 型 模 型 的 型 的 一 的 一 般 一 般 数 般 数 学 数 学 描 学 描 述 描 述 述 4 x 2.1 模 型 的 背 景 和 假 设. 4 x 2.2 价 值 函 数 的 转 化 和 计 算 引 理5 x 2.3 主 要 数 值 计 算 结 果. 7 第 第 三 第 三 章 三 章 计 章 计 算 计 算 模 算 模 型 模 型 的 型 的 解 的 解 并 解 并 分 并 分 析 分 析 其 析 其 相 其 相 关 相 关 性 关 性 质 性 质 质 11 x 3.1 f 是 二 次 效 用 函 数时 h 的 显 式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达 式 11 x 3.2 间 隔 时 间 ?0 时 模 型 的 解 16 x 3.3 间 隔 时 间 ?0 时 模 型 的 解 22 第 第 四 第 四 章 四 章 分 章 分 析 分 析 和 析 和 总 和 总 结 总 结 结 25 附 附 录 附 录 录 A 节 2.3 节 中 节 中 计 中 计 算 计 算 算 和? 和? 之 和 之 间之 间 的 间 的 关 的 关 系 关 系 系 29附 附 录 附 录 录 B 节 2.3 节 节 Wy 的;? 的 图 的 图 形 图 形 形 30 致 致 谢 致 谢 谢 31 -v-插 图 目 录 插 图 目 录 2-1 ?? 和的 关 系 图. 8? 2-2 黑 色 正 斜 率 的 直 线 是 W y;? , 红 色 曲 线 是 Hy;? , 蓝 色 水 平 线 则 1是 W y;? . 8 22-3? 和的 关 系 图9? 2-4 黑 色 正 斜 率 的 直 线 是 W y;? , 红 色 曲 线 是 Hy;? , 蓝 色 水 平 线 则 1是 W y;? 9 2 2-5 价 值 函 数 vx 蓝 色 实 线 和 vDx 红 色 虚 线 . 10 2-6 价 值 函 数 的 差 vx-vDx 随 着 变 量 x 增 加 而 变 化. 10 ??x?K 3-1 直 线 y M +M x 和 y ?M e 的 草 图. 19 0 1 2 0 3-2 函 数 H y;?0 有 两 个 解 时 的 分 析 草 图. 21 -vi-中 文 摘 要 摘 要 假 设 保 险 公 司 拥 有 购 买 再 保 险 的 选 择 权 , 于 是 购 买 再 保 险 的 时 机 和 比 例 就 成 为 了 保 险 公 司 最 关 心 的 问 题本 文 假 设 影 响 保 险 公 司 最 优 再 保 险 策 略 的 因 素 包 括 : 1 保 险 公 司 的 盈 余 过 程 ; 2 在时 刻 , 保 险 公 司 决 定 按 比 例购 买 一 份 再 保 险 合 同 , 但 需 要 经 过 间 隔 时 间, 合 同 才 正 式 生 效 ; 3 在 协 商 的 初 始 时 刻 即时 刻 , 保 险 公 司 需 要 决 定 购 买 再 保 险 的 比 例, 且不 再 随 时 间 推 移 而 变 化 ; 4 合 同 签 订 后 , 保 险 公 司 需 要 支 付 用 于 管 理 和 实 施 合 同 所 附 带 的 固 定 费 用保 险 公 司 的 目 标 是 选 择 一 个 再 保 险 策 略 包 括 购 买 再 保 险 的 时 机 和 比 例 使 得 其 在 破 产 时 刻 财 富 效 用 函 数 的 期 望 总 和 达 到 最 大因 此 , 这 是 一 个 最 优 停 时 和 随 机 控 制 的 问 题受 文 献 [6]S.Dayanik,I.Karatzas, On the optimal stopping problem for one-dimension di?usions, Stochastic Processes and their Applications, 10722003173-21 启 发 , 本 文 并 不 采 用 常 规 的 变 差 不 等 式 的 方 法 去 求 解 最 优 停 时 问 题 , 而 是 引 入 一 个 H函 数 来 研 究 它 的 凸 凹 性 质 , 并 从 图 像 上 来 决 定 最 优 停 时 区 间本 文 将 文 献 [1]Yoshida-honmachi,Sakyo-ku,kyoto,Ann Arbor, Optimal reisurance strategy under ?xed cost and delay, Stochastic Processes and their applications, 42008, 2-4 and 17-19 中 采 用 的 效 用 函 数 由 线 性 函 数 fx x 形 式 推 广 2 到 二 次 效 用 函 数 fx a+bx+cx 形 式 , 并 且 得 到 了 一 个 极 大 价 值 函 数 和 相 对 应 的 最 优 策 略因 此 , 本 文 结 果 是 上 述 文 献 [1] 的 推 广关 键 词 : 最 优 再 保 险 策 略 , 最 优 停 时 ,单 位 时 间 延 迟 , 交 易 费 用 , 价 值 函 数 , 二 次 效 用 函 数 -vii-英 文 摘 要 Abstract This paper assumes that the insurance company has the option to buy reinsurance, therefore, the time to buy reinsurance and the proportion of reinsurance become the biggest concern of the insurance company, namely, the optimal reinsurance strategy. Then considers the factors which may exert an in uence on the optimal reinsurance strategy 1the surplus process of insurance company, 2optimally chooses a time to begin negotiating with a reinsurer to buy quota-share, or proportional reinsurance, which causes an implementation delaydenoted by? 0, 3chooses the optimal proportion of reinsurance at the beginning of the negotiation period, and4pays a ?xed transaction cost when the contract is signed?units of time after negotiation begins. The ultimate goal is to choose an optimal reinsurance strategy that imizes the expectation of total wealth utility at the time of bankruptcy. This setup leads to a combined problem of optimal stopping and stochastic control, however, inspired from bibliog- raphy [6]S.Dayanik,I.Karatzas, On the optimal stopping problem for one-dimension di?usions, Stochastic Processes and their Applications, 10722003173-21, usual variational inequality method is not adopted in this paper. Instead, certain function H is constructed for studying its concave and convex property, and then it can determine the optimal time graphically. This paper has also modi?ed the criterion of optimal reinsurance strategy from simple linear function, which was adopted in the bibliography [1]Yoshida-honmachi,Sakyo-ku,kyoto,Ann Arbor, Optimal reinsurance strategy under ?xed cost and delay, Stochastic Processes and their applications, 42008, 2-4 and 17-19, to quadratic utility function. In the end, an extreme value function and an optimal reinsurance strategy are achieved, therefore, this paper is a generalization of bibliography [1]. Key Words: Reinsurance strategy, Optimal stopping, Implementation delay, Transac- tion cost, Value function, Quadratic utility function -viii-第 一 章 引 言 第 一 章 引 言 再 保 险 在 国 际 上 称 为 保 险 人 的 保 险 , 是 保 险 公 司 分 散 风 险 、 分 摊 损 失 最 通 行 的 做 法再 保 险 对 于 分 散 保 险 经 营 风 险 , 控 制 保 险 责 任 、 稳 定 业 务 经 营 、 扩 大 保 险 公 司 承 保 能 力 , 促 进 保 险 业 务 的 健 康 发 展 乃 至 整 个 金 融 秩 序 的 稳 定 具 有 非 常 重 要 的 作 用再 保 险 的 发 展 历 史 最 早 起 源 于 欧 洲 海 上 贸 易 时 期 , 从 1370 年 7 月 在 意 大 利 热 内 亚 签 订 第 一 份 再 保 险 合 同 到 1688 年 劳 合 社 建 立 , 再 保 险 仅 限 于 海 上 保 险17 、 18 世 纪 由 于 商 品 经 济 和 世 界 贸 易 的 发 展 , 特 别 是 1666 年 的 伦 敦 大 火 , 使 保 险 业 产 生 了 巨 灾 损 失 保 障 的 需 求 , 为 国 际 再 保 险 市 场 的 发 展 创 造 了 条 件从 19 世 纪 中 叶 开 始 , 在 德 国 、 瑞 士 、 英 国 、 美 国 、 法 国 等 国 家 相 继 成 立 了 再 保 险 公 司 , 办 理 水 险 、 航 空 险 、 火 险 、 建 筑 工 程 险 以 及 责 任 保 险 的 再 保 险 业 务 , 形 成 了 庞 大 的 国 际 再 保 险 市 场第 二 次 世 界 大 战 以 后 , 发 展 中 国 家 的 民 族 保 险 业 随 着 国 家 的 独 立 而 蓬 勃 发 展 , 使 国 际 再 保 险 业 进 入 了 一 个 新 的 历 史 时 期20 世 纪 末 , 世 界 各 国 的 保 险 公 司 , 作 为 一 个 独 立 的 经 济 部 门 , 无 论 规 模 大 小 都 要 将 其 所 承 担 的 风 险 责 任 依 据 大 数 法 则 及 保 险 经 营 财 务 稳 定 性 的 需 要 , 在 整 个 同 业 中 分 散 风 险 , 再 保 险 已 成 为 保 险 总 体 中 不 可 缺 少 的 组 成 部 分然 后 , 与 外 国 悠 久 的 发 展 历 史 相 比 , 再 保 险 业 对 于 我 国 则 是 一 门 新 兴 行 业1979 年 中 国 国 内 恢 复 保 险 业 务 以 后 , 在 近 十 年 的 时 间 里 , 只 有 中 国 人 民 保 险 公 司 一 家 保 险 公 司 , 所 以 在 国 内 不 存 在 再 保 险 市 场 的 概 念直 至 上 世 纪 80 年 代 末 在 深 圳 、 上 海 两 地 相 继 成 立 平 安 和 太 平 洋 两 家 保 险 公 司 , 才 形 成 了 再 保 险 市 场 架 构 的 雏 型进 入 上 世 纪 90 年 代 之 后 , 随 着 我 国 保 险 业 的 飞 速 发 展 , 国 内 再 保 险 市 场 需 求 的 不 断 扩 大 , 丧 失 了 原 来 完 全 垄 断 模 式 的 优 势 , 各 种 弊 端 逐 渐 显 现新 保 险 公 司 的 不 断 设 立 , 由 中 国 人 民 保 险 公 司 独 家 垄 断 经 营 国 内 再 保 险 市 场 的 局 面 开 始 被 打 破 , 再 保 险 业 务 的 经 营 逐 渐 趋 于 多 元 化我 国 自 1988 年 开 始 实 行 国 内 法 定 再 保 险 , 保 险 公 司 应 将 其 每 笔 业 务 的 30 % 向 中 国 人 民 保 险 公 司 办 理 再 保 险进 入 上 世 纪 90 年 代 之 后 , 随 着 保 险 公 司 的 增 加 , 法 定 再 保 险 全 面 展 开法 定 再 保 险 的 目 的 在 于 稳 定 保 险 业 的 经 营 , 提 高 国 内 市 场 的 承 保 能 力 , 防 止 保 费 外 流1992 年 平 安 保 险 公 司 和 太 平 洋 保 险 公 司 获 准 经 营 国 内 和 国 际 再 保 险 业 务1995 年 颁 布 的 《 保 险 法 》 默 许 其 他 商 业 保 险 公 司 经 营 再 保 险 业 务 , 从 而 使 国 内 再 保 险 市 场 的 垄 断 局 面 彻 底 打 破 , 各 保 险 公 司 的 再 保 险 业 务 均 得 到 了 不 同 程 度 的 发 展1996 年 , 中 国 人 民 保 险 公 司 进 行 了 改 革 , 改 组 后 的 中 保 集 团 设 立 了 中 保 再 保 险 公 司 , 这 是 我 国 建 国 之 后 出 现 的 第 一 家 专 业 的 再 保 险 公 司该 公 司 于 1999 年 再 次 改 组 , 正 式 更 名 为 中 国 再 保 险 公 司2003 年 中 国 再 保 险 公 司 又 再 次 改 组 , 中 国 再 保 险 公 司 改 组 分 两 步 : 第 一 步 是 组 建 中 国 再 保 险 ( 集 团 ) 公 司 ; 第 二 步 是 由 新 组 建 中 国 再 保 险 ( 集 团 ) 公 司 以 投 资 人 和 主 发 起 人 的 身 份 , 设 立 由 其 控 股 的 中 国 财 产 再 保 险 股 份 有 限 -1-公 司 、 中 国 人 寿 再 保 险 股 份 有 限 公 司 和 中 国 大 地 财 产 保 险 股 份 有 限 公 司 , 新 设 的 控 股 子 公 司 将 根 据 发 展 需 要 引 入 合 格 的 战 略 投 资 者 , 集 团 公 司 将 保 持 40 % 至 60 % 控 股 比 例在 2003 年 12 月 完 成 了 控 股 子 公 司 的 招 股 和 设 立 工 作 , 中 国 再 保 险 ( 集 团 ) 公 司 及 中 国 财 产 再 保 险 股 份 有 限 公 司 、 中 国 人 寿 再 保 险 股 份 有 限 公 司 正 式 在 北 京 成 立由 中 国 再 保 险 ( 集 团 ) 公 司 控 股 60% 设 立 的 直 接 保 险 公 司 即 中 国 大 地 财 产 保 险 股 份 有 限 公 司 则 在 上 海 成 立重 组 后 的 中 国 再 保 险 ( 集 团 ) 公 司 注 册 资 本 39 亿 元 , 对 这 两 家 专 业 子 公 司 分 别 控 股 45% 和 45.1% , 代 表 国 家 持 有 子 公 司 股 份 并 依 法 行 使 股 东 权 利 , 同 时 承 担 法 定 分 保 存 续 业 务 、 经 营 非 主 营 业 务 及 其 他 管 理 职 能中 国 财 产 再 保 险 股 份 有 限 公 司 和 中 国 人 寿 再 保 险 股 份 有 限 公 司 经 营 商 业 再 保 险 业 务中 国 再 保 险 ( 集 团 ) 公 司 的 设 立 , 改 变 了 财 产 、 人 寿 混 业 经 营 现 状 , 实 行 国 际 通 行另 一 方 面 , 目 前 我 国 再 保 险 业 仍 然 有 很 多 不 足 , 面 临 着 很 多 困 难 和 挑 战2003 年 以 前 我 国 只 有 中 国 再 保 险 公 司 一 家 专 业 的 再 保 险 公 司 , 2002 年 年 末 的 资 产 总 额 大 约 25 亿 美 元 ; 而 德 国 有 28 家 再 保 险 公 司 , 瑞 士 有 13 家 再 保 险 公 司 , 其 中 慕 尼 黑 再 保 险 公 司 权 益 性 资 产 为 114 亿 美 元 , 瑞 士 再 保 险 公 司 的 权 益 性 资 产 为 94.7 亿 美 元慕 尼 黑 再 保 险 公 司 长 期 居 于 世 界 再 保 险 业 榜 首 的 地 位 , 拥 有 世 界 各 地 的 客 户 5000 多 家 , 地 域 遍 布 世 界 160 多 个 国 家 和 地 区瑞 土 再 保 险 公 司 、 科 隆 再 保 险 公 司 等 也 与 其 实 力 相 当相 比 之 下 , 我 国 再 保 险 公 司 无 论 是 数 量 , 还 是 资 产 规 模 , 均 与 国 外 的 再 保 险 公 司 相 距 甚 远 , 而分 业 经 营 模 式 , 防范 和 化 解经 营 风 险 等 方 面 则 更 加 无 法 与 它 们 相 提 并 论考 虑 到 再 保 险 市 场 作 为 保 险 市 场 的 一 个 重 要 组 成 部 分 , 其 体 系 建 设 的 完 善 与 否 直 接 关 系 着 我 国 民 族 保 险 业 的 国 际 化 进 程 , 具 有 重 大 意 义因 此 , 如 何 进 行 最 优 再 保 险 是 当 今 研 究 很 重 要 并 且 比 较 热 门 的 课 题本 文 以 保 险 公 司 在 破 产 时 刻 所 能 够 获 得 的 最 大 折 现 盈 余 价 值 作 为 最 优 决 策 的 考 察 标 准假 设 保 险 公 司 面 临 的 是 一 个 带 漂 移 的 布 朗 运 动 所 刻 画 的 索 赔 过 程 , 在 考 虑 是 否 购 买 再 保 险 时 应 注 意 两 个 影 响 因 子 , 首 先 是 购 买 再 保 险 合 同 的 固 定 成 本 加 上 按 比 例 分 摊 保 费 , 其 次 在 完 成 整 个 再 保 险 合 同 的 交 易 之 前 , 存 在 一 段 “ 真 空 期 ”不 难 想 到 的 是 , 即 使 没 有 任 何 生 效 延 迟 , 固 定 交 易 成 本 的 存 在 也 迫 使 保 险 公 司 要 推 迟 购 买 再 保 险 合 同 的 时 间 , 直 到 它 的 盈 余 过 程 增 加 到 一 定 的 程 度因 此 , 保 险 公 司 主 要 控 制 两 个 因 素 : 1 按 多 少 份 额 的 比 例 分 摊 保 费 给 再 保 险 公 司 , 2 何 时 购 买 再 保 险 合 同保 险 公 司 在 决 定 再 保 险 比 例 后 , 需 要 花 费 一 段 时 间 来 和 再 保 险 公 司 谈 判 磋 商 以 及 处 理 与 再 保 险 合 同 有 关 的 行 政 管 理 工 作 , 之 后 再 保 险 合 同 才 正 式 生 效 。 因 此 , 考 虑 存 在 延 迟 时 间 使 得 这 个 问 题 更 加 符 合 实 际 情 况近 几 年 , 在 很 多 随 机 控 制 的 文 献 中 , 延 迟 问 题 都 被 加 以 研 究 , 下 面 提 一 些 感 兴 趣 的 文 献 : 比 如 参 考 文 献 Browne[4] , Promislow 和 Young[12] , Schmidli[13] , 以 及 Taksar 和 Markussen[15] 主 要 研 究 了 当 索 赔 服 从 带 漂 移 的 布 朗 运 动 时 的 最 小 破 产 概 率 , 而 Hojggard 和 Taksar[10] , Choulli et al.[5] 却 是 着 重 于 -2-第 一 章 引 言 公 司 最 大 化 分 红 的 能 力Peura 和 Keppo[11] 分 析 了 银 行 再 融 资 过 程 中 由 于 规 章 管 理 因 素 导 致 的 延 迟 时 间Bar-Ilan 和 Strange[2] 研 究 了 受 市 场 分 析 和 产 品 设 备 的 建 造 时 间 影 响 的 两 步 投 资 决 策Subramanian 和 Jarrow[14] 则 考 虑 了 在 非 流 动 市 场 内 的 交 易 问 题 , 因 为 存 在 交 易 时 间 的 延 迟 , 从 而 使 交 易 人 不 再 单 单 是 价 格 的 接 受 者 了 , 他 ( 她 ) 具 备 了 协 商 价 格 的 能 力Bayraktar 和 Egami[3] 提 出 了 一 个 解 决 一 维 扩 散 过 程 的 延 迟 脉 冲 控 制 问 题 的 直 接 方 法 , 并 运 用 于 与 失 业 有 关 的 劳 动 力 问 题 。 最 后 再 提 另 外 一 个 涉 及 时 间 延 迟 的 问 题 , 它 的 背 景 建 立 与 上 面 的 均 不 相 同Elsanosi et al.[8] 研 究 了 一 类 捕 猎 问 题 , 而 动 力 系 统 不 仅 依 赖 于 历 史数 据 还 涉 及 现 实 情 况另 外 不 难 看 出 , 即 使 不 考 虑 固 定 费 用 , 由 于 延 迟 时 间 存 在 的 关 系 , 让 保 险 公 司 如 何 决 策 再 保 险 问 题 变 得 更 加 复 杂 , 因 为 盈 余 过 程 有 可 能 在 延 迟 阶 段 达 到 破 产 状 态因 此 先 要 写 出 一 个 受 固 定 成 本 和 延 迟 时 间 影 响 的 价 值 函 数 , 然 后 再 依 此 解 决 一 个 最 优 停 时 和 随 机 控 制 的 组 合 问 题为 了 达 到 这 个 目 的 , 本 文 需 要 依 赖 于 Dynkin[7] 见 定 理 16.4 和 Dayanik , Karatzas[6] 命 题 4.3 和 4.4 的 工 作通 过 这 种 方 式 , 而 不 是 依 赖 于 类 变 差 不 等 式 , 可 以 避 免 证 明 一 个 复 杂 的 引 理 以 及 在 决 定 最 优 策 略 时 猜 测 解 的 形 式 . 见 参 考 文 献 [1] 本 文 将 按 照 以 下 顺 序 解 决 这 个 问 题 : 2.1 节 介 绍 Yoshida-honmachi , Sakyo- ku , kyoto , Ann Arbor[1] 提 出 的 基 本 模 型 , 2.2 节 中 引 用 该 模 型 的 几 个 重 要 结 论 , 2.3 节 给 出 了 效 用 函 数 fx x 时 的 数 值 解在 第 三 章 中 , 将 效 用 函 数 推 广 至 二 次 效 用 函 2 数 fxa+bx+cx 并 给 出 了 一 般 性 的 结 论最 后 一 章 , 对 本 文 的 思 路 和 方法 做 了 一 个 小 结 并 展 望 了 我 国 再 保 险 发 展 前 景 和 意义-3-第 二 章 再 保 险 决 策 模 型 的 一 般 数 学 描 述 x 2.1 模 型 的 背 景 和 假 设 本 篇 论 文 所 使 用 的 模 型 是 基 于 Yoshida-honmachi , Sakyo-ku , kyoto , Ann Ar- bor[1] 提 出 的它 考 虑 了 保 险 公 司 在 实 际 中 购 买 再 保 险 时 需 要 注 意 的 两 个 因 素 , 即 再 保 险 合 同 具 有 时 间 延 迟 性 以 及 购 买 再 保 险 合 同 所 要 的 谈 判 协 商 等 的 成 本 , 并 解 决 了 当 效 用 函 数 fx 是 线 性 函 数时 的 最 优 再 保 险 策 略 问 题下 面 介 绍 该 模 型 的 数 学 背 景令 ?;F;P 是 一 个 完 全 概 率 空 间 , B 是 一 个 标 准 布 朗 运 动索 赔 过 程 C 满 足 一 个 带 t 漂 移 的 随 机 分 为 方 程 : dC ?dt? dB ; 2-1 t t 其 中和 是 正 常 数 ,是 索 赔 期 望正 如 文 献 中 经 常 提 到 的 见 文 献 [9,12,13,15,17] , 这 个 扩 散 过 程 近 似 于 一 个 复 合 泊 松 过 程假 设 保 费 是 按 费 率 c 1 + ? 连 续 支 0 付 的 0 , 是 安 全 负 荷因 此 , 在 介 绍 再 保 险 之 前 , 设 盈 余 过 程 X 有 状 态 空 间 LR , 并 且 满 足 0 dX cdt?dC ? dt+ dB ; 2-2 t t t 0 0 其 中 初 始 值 X x2R这 里 使 用 0 作 为 上 标 表 明 X 是 一 个 不 受 控 制 的 盈 余 过 程保 险 + 0 公 司 需 要 支 付 ??1 的 再 保 险 安 全 负 荷 给 再 保 险 公 司如 果 保 险 公 司 采 用 比 例 再 保 险 的 方 式 付 给 再 保 险 公 司 再 保 险 费 , 且 比 例 为, 那 么 保 险 公 司 单 位 时 间 t 内 的 期 望 净 保 费 变 为 ?t ??E?C ?t ????t ????t; 2-3 t 在 一 般 文 献 中 见 文 献 [1,15,16,18] , 再 保 险 问 题 经 常 被 看 成 一 个 随 机 控 制 的 问 题 , 即 保 险 人 在时 刻 决 定 再 保 险 比 例 而 一 般 不 考 虑 实 施 的 延 迟 时 间 和 所 需 的 固 定 费 用然 而 , 如 果 考 虑 保 险 人 需 要 支 付 固 定 的 费 用 , 以 及 由 于 公 司 间 协 商 所 导 致 的 再 保 险 合 同 真 正 实 施 之 前 的 一 段 “ 真 空 ” 时 间 , 则 会 更 加 符 合 现 实 情 况于 是 , 一 个 可 接 受 的 再 保 险 策 略 应 该 是 一 对 参 数 组 , 即 „ ?;?; 其 中? 0 是 一 个 F 可 测 停 时 , 表 示 保 险 公 司 决 定 购 买 再 保 险 的 时 刻 ,是 F 可 测 随 机变 量 , 表 示 在+? 时 的 再 保 险 比 例 , 但 是 必 须 在时 刻 根 据 可 获 得 的 信 息 决 定 比 例, 它 是 介 于 0 到 1 之 间 的 一 个 数 值但 是 , 正 如 前 面 所 述 , 由 于 时 间 延 迟 , 再 保 险 合 同 直 -4-第 二 章 再 保 险 决 策 模 型 的 一 般 数 学 描 述 到+? 时 刻 才 会 正 式生 效定 义 状 态 0 是 一 个 吸 收 状 态 ,是 破 产 时 刻 , 即 0,infft?0;X ?0g; 0 t 在 本 文 中 , 需 要 做 了 以 下 的 一 些 假 设 , ( a ) 在时 刻 , 保 险 公 司 选 择 适 当 比 例 后 , 和 再 保 险 公 司 磋 商 谈 判 , 共 耗 费? 0 时 间如 果 在这 期 间 , 保 险 公 司 没 有 破 产 , 则在+? 支 付 固 定 交 易 成 本 K 0 , 并 且 再 保 险 合 同 在+? 时 刻 生 效因 此 , 财 富 过 程 X 满 足 8 dX ? dt+ dB ;0?t? +?; t 0 0 t 2-4 X X ?K; ?+? ?+? : dX ? dt+ dB ;? +??t; t 1 1 t 其 中 ? , , ???? , 1??. 0 0 1 1 ( b ) 当 保 险 公 司 破 产 时 , 需 要 支 付 固 定 费 用 P ?0. ( c ) 在+? 时 刻 , 如 果 X ?K , 则 保 险 公 司 在+? 时 刻 破 产?+? 下 面 引 入 一 个 与 最 优 再 保 险 策 略 „ 有 关 的 一 个 价 值 函 数 ,? Z0 „ xs? 0 J x,E e fX ds?e P ; 2-5 s 0 x 其 中 , E [?] 表 示 在 X x 条 件 下 的 概 率 期 望另 外 , f : R! R 是 一 个 连 续 、 非 减 的 效 0 用 函 数 ,是 一 个 非 负 折 现 因 子 , 满 足? Z 1 xs 0 E e jfX jds 1; 2-6 s 0 常 数 P 2R 表 示 破 产成 本+目 标 是 找 到 一 个 最 优 策 略 „ , 如 果 存 在 的 话 , 使 得 相 应 的 价 值 函 数 最 大 化 ,„ „ vx,supJ xJ x; 2-7 „ 称 vx 是 极 大 价 值 函 数x 2.2 价 值 函 数 的 转 化 和 计 算 引 理 下 面 利 用 参 考 文 献 [1] 中 将 问 题 2-5 和 2-7 转 化 为 最 优 停 时 问 题 和 随 机 控 制 问 题 的 -5-x 2.2 价 值 函 数 的 转 化 和 计 算 引 理 方法 整 理 成 一 个 引 理?R1 xs 0 引 理 2.1 定 义 gx E e fX ds , J x 表 示 在 决 定 了 再 保 险 比s 0 R0 „ xs? 0 例后 , 财 富 过 程 有 了 新 的 影 响 因 子, 即 J xE [ e fX ds?e P] , 则 s? 0 " h ' “ „ x? X? „J x?gxE 1 e E 1 e J X ?gX f?? g f?? g? 0 0? # i h i? x? 0 0 +1 e f?P ?gX g +E 1 e f?P ?gX g? f?? g f?? g 0 0 0 0 2-8 从 而 h i h i x? x? 0 vx?gx sup supE 1 e hX ;? +E 1 e f?P ?gX g f?? gf?? g0 0 0 ?2[0;1] ?2S 2-9 其 中 函 数 h 为 h i z? „? 0 hz;?,E 1 e fJ X ?gX g+1 e f?P ?gX g 2-10 f?? gf?? g00 0 引 理 2.2 函 数 hx;? 可 以 进 一 步 的 化 简 分 解 , 即 hx;?I x;??I x+I x+ 1 2 3 I x , 其 中 , 4 h i x? „ I x;?E 1 1 e J X 1 finf X 0g fX Kg0?u? u h i x? I xE 1 1 e gX 2 finf X 0g fX Kgu0?uh i? I xE 1 1 e f?P ?g0g 2-11 3 finf X 0g fX ?Kg 0?u? u? h i x? 0 I xE 1 e f?P ?g0g 4 finf X ?0g u 0?u? 进 一 步 若 假 设 X 的 漂 移 系 数 和 扩 散 系 数 分 别 为 v 和 , 则 有 以 下 公 式 成 立 , t x E [1 1 hX ]finf X 0g fX g 0?u? uK? Z x+v??K Z ?x+v??K p p p p 2 ?2vx hx+v??w ?`wdw+e h?x+v??w ?`wdw ?1 ?1 -6-第 二 章 再 保 险 决 策 模 型 的 一 般 数 学 描 述 这 里 ` 代 表标 准 正 态 分 布 的 概 率 密 度 函 数 , h 是 任 意 的 连 续 函 数 R !R. + P inf X 0;X ?K u? 0?u? x+v? 2 ?x+v? x?K +v? 2 ?x?K +v2vx ?2vx p p p p N ?e N ?N +e N Zt x 0 E[1 e ] e P ? 2dt 0 finf X ?0g 0?u? u 0 x+vt ?x+vt 2 x x 0 ?2vx p p P ? tP min X ?0 N ?e N 2-12 0 0?u?t u t t „ „ 注 注 意 注 意 : 意 : 等 : 等 式 等 式 式 J X J X恒 K 恒 成 恒 成 立 成 立 立 x 2.3 主 要 数 值 计 算 结 果 为 了 给 出 一 个 直 观 的 理 解 , 本 节 计 算 出 Yoshida-honmachi , Sakyo-ku , kyoto , Ann Arbor[1] 在 效 用 函 数 为 fx x 的 前 提 下 给 出 的 几 个 数 值 例 子 , 所 以 亦 可 先 跳 过 此 节 , 最 后 再 来 对 比 一 下 结 果图 2-1 显 示 了 一 个 参 数 为 ?;; ;?;P;?;K 0:2;0:3;0:1;0:25;20;0:1;0:03 以 及 0 的 数 值 计 算 例 子该 图 揭 示 了 直 线 W y;? 的 斜 率 ?? 和 变 量之 间 的 关 1 系 , 并 计 算 出 当0:815 时 相 应 的 斜 率,?? 达 到 最 大 2.977. 因 此 , 最 优 再 保 险 比例 应 为0:815图 2-2 显 示 了 在 再 保 险 比 例 为 0:815 的 情 况 下 , 最 小 强 凸 函 数 Wy;? 和 函数 Hy;? 的 关 系正 斜 率 直 线 W y;? 和 水 平 直 线 W y;? 与 曲 线 Hy;? 分 别 相 切 1 2 于 Fb , Fd 两 点 , 其 中 b 0:201 , d 0:448 , 对 应 着 Fb 1:833 , Fd ? 3:859. 这 意 味 着 , 保 险 公 司 购 买 再 保 险 的 最 优 时 间 段 是 它 的 资 金 x 处 于 区 间 [b ;d ] 的 时 候图 2-3 至 图 2-6 则 显 示 了 参 数 为 ?;; ;?;P;?;K 0:2;0:3;0:1;0:25;20;0:1;0:03 并且 考 虑 延 迟 时 间 为 0:5 下 的 情 况于 是 解 相 应 的 变 为 了 ? ;? ;b ;d ? 0:770;0:823;0:416;0:565 , 其 中, ?? . 将 图 2-3 , 图 2-4 和 图 2-1 , 图 2-2 对 比 可 知 , b b , d d 以 及. 换 句 话 说 , 间 隔 时 间的 存 在 导 致 购 买 再 保 险 的 最 优 时 间 段 向 后 推 迟 了 , 并 且 破 产 的 概 率 也 相 应 增 加 了图 2-5 显 示 了 在 0 和 0 的 两 种 情 况 下 , 相 应 的 价 值 函 数 vx 和 vDx 关 系 图图 2-6 则 说 明 了 随 着 初 始 资 金 x 的 增 加 , 这 两 个 价 值 函 数 的 差 逐 渐 趋 向 于 0. 直 观 上 可 以 解 释 为 , 初 始 资 金 x 越 大 , 保 险 公 司 在 间 隔 时 间内 破 产 的 概 率 就 越 小-7-x 2.3 主 要 数 值 计 算 结 果 图 图 图 2-1 ?? 和的 关 系 图 3 βξ 2.5 2 1.5 1 0.5 ξ 0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 图 图 图 2-2 黑 色 正 斜 率 的 直 线 是 W y;? , 红 色 曲 线 是 Hy;? , 蓝 色 水 平 线 则 是 W y;? 1 2 ?16 Wy,Hy17 ?18 ?19 ?20 ?21 ?22 y23 1 2 3 4 5 6 7 8 -8-第 二 章 再 保 险 决 策 模 型 的 一 般 数 学 描 述图 图 图 2-3? 和的 关 系 图 Δ β 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 ξ 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 图 图 图 2-4 黑 色 正 斜 率 的 直 线 是 W y;? , 红 色 曲 线 是 Hy;? , 蓝 色 水 平 线 则 是 W y;? 1 2 ?17 Hy,Wy18 ?19 ?20 ?21 ?22 ?23 y24 1 2 3 4 5 6 7 8 -9-x 2.3 主 要 数 值 计 算 结 果 图 图 图 2-5 价 值 函 数 vx 蓝 色 实 线 和 vDx 红 色 虚 线 5 VDx 0 ?5 ?10 ?15 x20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 图 图 图 2-6 价 值 函 数 的 差 vx-vDx 随 着 变 量 x 增 加 而 变 化 1.5 vx?VDx 1 0.5 x 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -10-第 三 章 计 算 模 型 的 解 并 分 析 其 相 关 性 质 第 三 章 计 算 模 型 的 解 并 分 析 其 相 关 性 质 x 3.1 f 是 二 次 效 用 函 数时 h 的 显 式 表 达 式 在 上 一 章 中 , 根 据 上 章 引 理 2.1 知 道 , 如 果 能 解 出 2-9 和 2-10 式 , 那 么 也 就 等 价 于 解 决 了 2-5 和 2-7 中 所 提 出 的 问 题 , 并 且 通 过 引 理 2.2 给 出 了 一 个 计 算 函 数 hx;? 的 2 一 般 方 法本 节 中 , 为 了 显 示 更 具 体 的 结 果 , 定 义 效 用 函 数 为 fx a+bx+cx , 2 其 中 系 数 满 足 a + bx + cx0 , x ?b2c , c0. 与 Yoshida-honmachi , Sakyo- ku , kyoto , Ann Arbor[1] 使 用 线 性效 用 函 数 fxx 相 比 , 本 文 所 考 虑 的 问 题 更 具 有 一 般 性首 先 需 要 解 出 hx;? 的 显 式 表 达 式对 于 任 意一 个 ?2[0;1] , 考 虑? Z0 xs? x? 0 0 J xE e fX ds?e P g x;??P +g 0;?E [e ]; 3-1s 1 1? 0 其 中 g :R ?[0;1]!R 定 义 为 1 + ?Z1 xs g x;?,E e fX ds ; 3-2 1 s0 事实 上 , Z Z Z1 1 0 xs xss E e fX dsE e fX ds? e fX ds s s s? 0 00 Z 1 Xx?s 0 0 g x;??E [e E e fX dsjF ] 1 s? 00 Z 1 x? 0s 0 g x;??E [e ][E e fX ds] 1 s? 0 x? 0 g x;??E [e ]g 0;? 1 1函 数 g x;? 代 表 如 果 保 险 公 司 的 初 始 资 金 为 x , 并 以 再 保 险 比 例进 行 再 保 险 后 所 得 到 1 x? 0 的 总 的 期 望 效 用 。 根 据 dX dt+ dB , 可 知 最 后 一 个 表 达 式 E [e ] 是 下 面 微 分 t 1 1 t方 程 的 解 见 Savas Dayanik , Ioannis Karatzasc[6]p9-p10 , 1 2 00 0 Avx, v x+? vx??vx0;1 1 2 -11-x 3.1 f 是 二 次 效 用 函 数时 h 的 显 式 表 达 式 于 是 可 解 得 , x?x 0 E [e ]Ae ; 3-3其 中 p 2 2? +2 1 1 1 ?? 0; 3-4 2 1 再 利 用 边 值 条 件 可 知 A1. 结 合 以 上 结 果 可 知 , „ ??x J xg x;??P +g 0;?e ; 3-5 1 12 再 根 据 假 定 , fxa+bx+cx , dX ? dt+ dB 则 由 Fubini 定 理 可 知 , t 1 1 t Z 1 x 2s g x;?E a+bX +cX e ds 1 ss 0 Z? 1 2 2s a+bx+s? +cs +s? +x e ds 1 1 1 0 Z 1 2 2 2 2s a+bx+b? s+cs +cx +2c? xs+c? s e ds 1 1 1 1 0 2 2 2 a+bx+cx b? +c +2c? x 2c? 1 1 1 1 + + 2 3 2 A+Bx+Cx 其 中 , 8 2 2 a b? +c 2c? 1 1 1 A + + 2 3 b 2c? 1 3-6 B + 2 ? c : C 另 外 可 以 通 过 令0 得到 , 2 2 2 a+bx+cx b? +c +2c? x 2c? 0 0 0 gx + + ; 3-7 2 3 再 令 x0 得到 , 2 2 a b? +c 2c? 1 1 1 g 0;? + + ; 3-8 1 2 3 „ 将 g x;? 和 g 0;? 的 表 达 式 带 入 3-5 中 , 可 算 得 J x 表 达 式 1 1-12-第 三 章 计 算 模 型 的 解 并 分 析 其 相 关 性 质 现 在 可 以 利 用 引 理 2.2 来 计 算 hx;? , 首 先 计 算 I x;? 式 , 1 e I x;?;! 1 Z 1 1 x?z+ 2 ?x?z+ 0 0 „ ?2? x 0 p p p J z?K ` ?e ` dz K x+?K Z 0 p p J x+?K?w