第8讲　函数的奇偶性与周期性

课前双基巩固课堂考点探究教师备用习题第二单元　函数第8讲　函数的奇偶性与周期性课程标准1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义. 偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有　　　　　　,那么函数f(x)是偶函数 都有　　　　　　,那么函数f(x)是奇函数 图像特征关于　　　　对称 关于　　　　对称 1.函数的奇偶性f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴　原点2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义内的每一个x,都满足　　　　　　,那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期. (2)最小正周期对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个　　　　　　,那么这个　　　　　　就称为f(x)的最小正周期. f(x+T)=f(x)最小的正数最小的正数常用结论1.奇(偶)函数定义的等价形式:(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数;(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.2.设f(x)的周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x,有如下结论:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;(2)若f(x+a)=,则T=2|a|;(3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|. 3.对称性与周期性之间的常用结论:(1)若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;(2)若函数f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;(3)若函数f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|.4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:(1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a对称;(2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于直线x=对称;(3)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图像关于点(,0)对称;(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图像关于点(,)对称. 题组一　常识题1.[教材改编]函数①f(x)=x2-1,②f(x)=x3,③f(x)=x2+cosx,④f(x)=+|x|中,是偶函数的是　　　　(填序号).  [解析]根据函数奇偶性的定义,可知①③是偶函数.①③　2.[教材改编]若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是　　　　函数;若偶函数g(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是　　　　函数. [解析]根据奇函数和偶函数图像的对称性可得.减减3.[教材改编]已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=-1,则f(-2)=　　　　.   [解析]f(-2)=-f(2)=-(-1)=1-. 　 4.[教材改编]已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2+4,则f(2021)=　　　　.  [解析]因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2021)=f(673×3+2)=f(2)=22+4=8.8　题组二　常错题◆索引:判断函数的奇偶性时,不化简函数的解析式导致出错;函数奇偶性的应用不熟练导致出错;找不到周期函数的周期从而求不出结果;利用函数的奇偶性求函数的解析式时忽略定义域导致出错.5.函数f(x)=是　　　　函数.(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)  [解析]由得-1<x<1且x≠0,∴函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1),∴f(x)==.∵f(-x)==-f(x),∴f(x)是奇函数. 奇6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线　　　　对称;若函数y=g(x+b)是奇函数,则函数y=g(x)的图像关于点　　　　成中心对称. [解析]因为y=f(x+a)是偶函数,所以其图像关于y轴对称,将y=f(x+a)的图像向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位长度,得到函数y=f(x)的图像,则y=f(x+a)图像的对称轴平移至直线x=a处,即函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称. (b,0)同理,函数y=g(x)的图像关于点(b,0)成中心对称.7.若奇函数f(x)的图像关于点(1,0)对称,f(2.5)=2,则f(-0.5)=　　　　.  [解析]因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f(x)的图像关于点(1,0)对称,所以f(2-x)+f(x)=0,所以f(2-x)=f(-x),从而有f(2+x)=f(x),所以f(x)为周期为2的周期函数,所以f(-0.5)=-f(0.5)=-f(2.5)=-2.-28.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x-3,则函数f(x)的解析式为f(x)=　　　　　　　　.  [解析]当x<0时,-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)-3]=x+3(x<0).由奇函数的定义可知f(0)=0,所以f(x)= 　 探究点一　函数奇偶性及其延伸微点1　函数奇偶性的判断例1(1)[2020·北京首都师大附中月考]已知函数f(x)=,则函数f(x)(　　)A.既是奇函数也是偶函数B.既不是奇函数也不是偶函数C.是奇函数,但不是偶函数D.是偶函数,但不是奇函数 [思路点拨]求出函数的定义域,化简函数的解析式,再利用函数奇偶性的定义求解即可.C探究点一　函数奇偶性及其延伸微点1　函数奇偶性的判断例1(1)[2020·北京首都师大附中月考]已知函数f(x)=,则函数f(x)(　　)A.既是奇函数也是偶函数B.既不是奇函数也不是偶函数C.是奇函数,但不是偶函数D.是偶函数,但不是奇函数 [解析]由9-x2≥0且|6-x|-6≠0,解得-3≤x≤3且x≠0,可得函数f(x)的定义域为{x|-3≤x≤3且x≠0},关于原点对称,所以f(x)===,又f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,但不是偶函数,故选C. C(2)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列说法中正确的是(　　)A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数A[解析]由题设知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),于是有f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|,故A正确;f(-x)-|g(-x)|=f(x)-|g(x)|≠-[f(x)-|g(x)|],故B不正确;|f(-x)|+g(-x)=|f(x)|-g(x)≠|f(x)|+g(x),故C不正确;|f(-x)|-g(-x)=|f(x)|+g(x)≠-[|f(x)|-g(x)],故D不正确.故选A.[思路点拨]根据奇函数与偶函数的定义对各选项进行判断即可.[总结反思]函数具有奇偶性包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.(2)判断f(x)与f(-x)的关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.常见特殊结构的奇、偶函数:f(x)=loga(-x)(a>0且a≠1)为奇函数,f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)为偶函数. 微点2　函数奇偶性的应用例2(1)[2020·山西运城三模]若函数f(x)=为奇函数,则f[g(-1)]=(　　)A.-B.C.-1D.1 C[思路点拨]根据f(x)是奇函数求出g(x)的解析式,根据分段函数的关系求解即可.[解析]∵函数f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-+3(x<0),故f(x)=∴f[g(-1)]=f[f(-1)]=f(1)=2-3=-1.故选C. (2)[2020·南昌一模]已知函数f(x)=则f(lg)+f(lg)+f(lg2)+f(lg5)=　　　　.  4[思路点拨]由f(x)+f(-x)=2,可得f(lg5)+f(-lg5)=f(lg2)+f(-lg2)=2,故f(lg)+f(lg)+f(lg2)+f(lg5)=4. [解析]根据题意,函数f(x)=当x>0时,-x<0,则有f(x)=2-2x(x>0),f(-x)=2x(x>0),所以f(x)+f(-x)=2,又由lg2>0,lg5>0,得f(lg)+f(lg)+f(lg2)+f(lg5)=f(-lg5)+f(-lg2)+f(lg2)+f(lg5)=2+2=4. [总结反思]利用函数的奇偶性可以解决以下问题:(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式区间上,再利用奇偶性的定义求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图像:利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.微点3　奇偶性延伸到其他对称性问题例3(1)(多选题)已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,则下列说法正确的是(　　)A.函数f(x)是以2为周期的周期函数B.函数f(x)是以4为周期的周期函数C.函数f(x-1)为奇函数D.函数f(x-3)为偶函数[思路点拨]利用偶函数的图像关于y轴对称以及f(x)+f(2-x)=0可知f(x)是周期为4的周期函数,进而结合选项进行判断.[解析]∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),又f(x)+f(2-x)=0,∴f(-x)+f(2+x)=0,则f(x)+f(2+x)=0,即f(2+x)=-f(x),∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x),故函数f(x)是周期为4的周期函数,由此可知选项A错误,选项B正确;BC微点3　奇偶性延伸到其他对称性问题例3(1)(多选题)已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,则下列说法正确的是(　　)A.函数f(x)是以2为周期的周期函数B.函数f(x)是以4为周期的周期函数C.函数f(x-1)为奇函数D.函数f(x-3)为偶函数BC对于选项C,由f(x)+f(2-x)=0,可得f(x)的图像关于点(1,0)对称,由f(x)为偶函数,可得f(x)的图像关于点(-1,0)对称,将y=f(x)的图像向右平移1个单位得到函数y=f(x-1)的图像,则函数f(x-1)的图像关于原点对称,所以函数f(x-1)为奇函数,所以选项C正确;微点3　奇偶性延伸到其他对称性问题例3(1)(多选题)已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,则下列说法正确的是(　　)A.函数f(x)是以2为周期的周期函数B.函数f(x)是以4为周期的周期函数C.函数f(x-1)为奇函数D.函数f(x-3)为偶函数BC对于选项D,由题意不妨取满足条件的函数f(x)=cosx,则f(x-3)=cos(x-3)=cos(x-)=-sinx为奇函数,所以选项D错误.故选BC. (2)已知函数f(x+2)是偶函数,f(x)在(-∞,2]上单调递减,f(0)=0,则f(2-3x)>0的解集是(　　)A.(-∞,)∪(2,+∞)B.(,2)C.(-,)D.(-∞,-)∪（,+∞） [思路点拨]先由函数f(x+2)是偶函数,得到f(x)的图像关于直线x=2对称,进而得出f(x)的单调性,再分2-3x≥2和2-3x<2进行讨论,即可求出结果.D(2)已知函数f(x+2)是偶函数,f(x)在(-∞,2]上单调递减,f(0)=0,则f(2-3x)>0的解集是(　　)A.(-∞,)∪(2,+∞)B.(,2)C.(-,)D.(-∞,-)∪（,+∞） [解析]因为函数f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图像关于直线x=2对称,由f(0)=0得f(4)=0,又f(x)在(-∞,2]上单调递减,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增.当2-3x≥2,即x≤0时,由f(2-3x)>0得f(2-3x)>f(4),所以2-3x>4,解得x<-;当2-3x<2,即x>0时,由f(2-3x)>0,得f(2-3x)>f(0),所以2-3x<0,解得x>.因此,f(2-3x)>0的解集是(-∞,-)∪(,+∞). D[总结反思]由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论有:(1)若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x+a)的图像关于点(-a,0)对称(或关于直线x=-a对称);(2)若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称(或关于直线x=a对称).▶应用演练1.【微点1】(多选题)已知函数f(x)=,则函数f(x)(　　)A.可能是偶函数B.可能是奇函数C.可能既是奇函数也是偶函数D.可能既不是偶函数也不是奇函数 [解析]当a=0时,f(x)==(其中x≠0,x≠kπ+,k∈Z),易知此时f(x)为偶函数,故A正确; AD当a≠0且a≠kπ+,k∈Z时,f(x)的定义域为{x|x≠-a且x≠kπ+,k∈Z},不关于原点对称,故此时f(x)既不是偶函数也不是奇函数,D正确; ▶应用演练1.【微点1】(多选题)已知函数f(x)=,则函数f(x)(　　)A.可能是偶函数B.可能是奇函数C.可能既是奇函数也是偶函数D.可能既不是偶函数也不是奇函数 AD当a=kπ+,k∈Z时,f(x)==(其中x≠kπ+,k∈Z),此时f(x)也是偶函数.故选AD. 2.【微点3】已知函数f(x)在区间(-∞,2]上为增函数,且f(x+2)是R上的偶函数,若f(a)≤f(3),则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.[1,3]D.(-∞,1]∪[3,+∞)[解析]由f(x+2)是R上的偶函数,可得f(x)的图像关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1),又f(x)在(-∞,2]上为增函数,所以f(x)在(2,+∞)上为减函数.由f(a)≤f(3),可得a的取值范围为(-∞,1]∪[3,+∞),故选D.D3.【微点3】[2021·皖江名校联盟二联]若定义在R上的函数f(x+1)为偶函数,当x≤1时,f(x)=,则f(3)-f(5)的值(　　)A.恒小于0B.恒等于0C.恒大于0D.无法判断 [解析]由f(x)=,得f'(x)=,当x≤1时,f'(x)≥0,故f(x)在(-∞,1]上是增函数.∵f(x+1)为偶函数,∴f(x)的图像关于直线x=1对称,∴f(x)在(1,+∞)上是减函数,∴f(3)-f(5)>0.故选C. C4.【微点2】[2020·河北沧州一模]已知函数f(x)=ln为奇函数,则a=　　　　.  [解析]由函数f(x)=ln为奇函数,得f(-x)=-f(x),即ln=-ln=ln,∴=,整理得1-x2=1-a2x2,解得a=±1.当a=1时,=-1,不符合题意;当a=-1时,f(x)=ln,解不等式>0,得x<-1或x>1,此时函数y=f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),定义域关于原点对称,符合题意.综上所述,a=-1. -15.【微点2】若函数f(x)=在区间[-6,6]上的最大值、最小值分别为M,N,则M+N=　　　　.  [解析]f(x)==2-,设g(x)=2-f(x)=,易知g(x)为奇函数,由题知g(x)在[-6,6]上的最大值为2-N,g(x)在[-6,6]上的最小值为2-M,∴2-N+2-M=0,故M+N=4. 　 探究点二　函数的周期性及其应用例4(1)已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x)=f(x+2)恒成立,当x∈(-2,0]时,f(x)=x2,则当x∈(2,4]时,函数f(x)的解析式为(　　)A.f(x)=x2-4B.f(x)=x2+4C.f(x)=(x+4)2D.f(x)=(x-4)2[思路点拨]由函数的周期为2,得到f(x)=f(x-4),令x-4∈(-2,0],利用f(x)=f(x-4),即可求出当x∈(2,4]时的函数解析式.D[解析]∵x∈R,f(x)=f(x+2),∴f(x)是以2为周期的周期函数,∴f(x-4)=f(x-2)=f(x).设x-4∈(-2,0],此时x∈(2,4],根据f(x)=f(x-4),得f(x)=f(x-4)=(x-4)2,因此,当x∈(2,4]时,f(x)=(x-4)2.故选D.(2)[2020·哈尔滨一中月考]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈(0,2]时,f(x)=x-sinπx,则f(i)=(　　)A.6B.4C.2D.0 [思路点拨]由f(x+2)=-f(x)得出函数的周期为4,再由解析式可求出f(1),f(2)的值,再由f(x+2)=-f(x)求得f(3),f(4)的值,根据周期性求和即可.D(2)[2020·哈尔滨一中月考]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈(0,2]时,f(x)=x-sinπx,则f(i)=(　　)A.6B.4C.2D.0 D[解析]由函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数,当x∈(0,2]时,f(x)=x-sinπx,则f(1)=1-sinπ=1,f(2)=2-sin2π=2.又由f(x+2)=-f(x),得f(3)=-f(1)=-1,f(4)=-f(2)=-2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以f(i)=505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0.故选D. [总结反思](1)注意周期性的常见表达式的应用.(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.变式题[2020·福建宁德一模]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x-4),且x∈[0,4)时,f(x)=则f(11)+f(15)=　　　　.  [解析]因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+a=0,解得a=-1,所以x∈[0,4)时,f(x)=因为f(x+4)=f(x-4),所以f(x)=f(x+8),所以f(11)=f(3)=-×3+6=,f(15)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(11)+f(15)=. 　 探究点三　以函数性质的综合为背景的问题微点1　奇偶性与单调性的结合例5(1)(多选题)下列函数中,既是奇函数又在(-∞,0)上单调的是(　　)A.f(x)=B.f(x)=xsinxC.f(x)=3x-2sinxD.f(x)=x-x3 [思路点拨]先通过函数奇偶性的定义判定各个选项函数的奇偶性,再借助导数判定单调性,依次分析即得解.AC[解析]A选项中,f(-x)==-f(x),故f(x)是奇函数,易知f(x)在(-∞,0)上单调递减,符合题意; 探究点三　以函数性质的综合为背景的问题微点1　奇偶性与单调性的结合例5(1)(多选题)下列函数中,既是奇函数又在(-∞,0)上单调的是(　　)A.f(x)=B.f(x)=xsinxC.f(x)=3x-2sinxD.f(x)=x-x3 B选项中,f(-x)=(-x)sin(-x)=f(x),故f(x)为偶函数,排除B;ACC选项中,f(-x)=3(-x)-2sin(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数,又f'(x)=3-2cosx>0恒成立,故f(x)在(-∞,0)上单调递增,符合题意;探究点三　以函数性质的综合为背景的问题微点1　奇偶性与单调性的结合例5(1)(多选题)下列函数中,既是奇函数又在(-∞,0)上单调的是(　　)A.f(x)=B.f(x)=xsinxC.f(x)=3x-2sinxD.f(x)=x-x3 ACD选项中,f(-x)=(-x)-(-x)3=-f(x),故f(x)为奇函数,f'(x)=1-3x2,令f'(x)>0,解得-<x<,令f'(x)<0,解得x<-或x>,故f(x)在(-∞,0)上不单调,排除D.故选AC. (2)[2020·全国新高考Ⅰ卷]若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　)A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3][思路点拨]首先根据函数奇偶性与单调性得到函数f(x)在相应区间上的符号,再根据两个数的乘积大于等于零,分类转化为对应的不等式,最后求并集得结果.D(2)[2020·全国新高考Ⅰ卷]若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　)A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3][解析]因为定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减,且f(-2)=0,f(0)=0,所以当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)>0,当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)<0,所以由xf(x-1)≥0可得或或x=0,解得-1≤x≤0或1≤x≤3,所以满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选D. D[总结反思](1)有些综合题常常将奇偶性与单调性结合考查,通常是通过奇偶性转移符号或通过对称性判断单调性(如奇函数在对称区间单调性相同,而偶函数却相反),然后再根据单调性解诸如不等式、含参问题等;(2)对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性,脱去法则“f”变成常规不等式(如x1<x2或x1>x2)求解.微点2　奇偶性与周期性的结合例6(1)已知函数f(x)是R上的偶函数,且对任意的x∈(0,+∞),都有f(x+3)=-f(x),当x∈(-3,0)时,f(x)=2x-5,则f(8)=(　　)A.11B.5C.-9D.-1[思路点拨]根据条件得出f(x)在(0,+∞)上的周期为6,再根据f(x)是偶函数以及所给区间的函数解析式,可求出f(8)=f(2)=f(-2)=-9.C[解析]∵x>0时,f(x+3)=-f(x),∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x)(x>0),∴f(x)在(0,+∞)上是周期为6的周期函数,又f(x)是偶函数,且当x∈(-3,0)时,f(x)=2x-5,∴f(8)=f(2)=f(-2)=-4-5=-9.故选C.(2)[2020·南京十校5月调研]已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且满足f(x)=f(2-x),若f(1)=3,则f(1)+f(2)+…+f(50)=　　　　. [思路点拨]根据题意得f(x)的周期为4,利用f(x)为奇函数且周期为4可求出f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,根据周期性可求出结果.3(2)[2020·南京十校5月调研]已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且满足f(x)=f(2-x),若f(1)=3,则f(1)+f(2)+…+f(50)=　　　　. 3[解析]∵f(x)=f(2-x),∴f(x)的图像关于直线x=1对称,又f(x)为奇函数,∴f(x)是周期为4的周期函数,∴f(1)=f(5)=f(9)=…=f(49)=3,又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,∴f(0)=f(2)=f(4)=…=f(50)=0,f(-1)=-f(1)=-3,∴f(-1)=f(3)=f(7)=…=f(47)=-3,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(50)=0×12+f(1)+f(2)=3.[总结反思]周期性与奇偶性结合的考题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转化,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.微点3　奇偶性、周期性与单调性的结合例7已知周期为2的函数f(x)(x∈R)满足f(x-1)=f(1-x),当x∈[-1,0]时,f(x)=e-x.设a=f(lo3),b=f(log210),c=f(log2200),则(　　)A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a [思路点拨]由f(x)的周期为2,且f(x-1)=f(1-x),易知f(x)为偶函数,然后利用周期性和偶函数的性质把自变量lo3,log210,log2200转化到区间[-1,0]上,再利用f(x)=在[-1,0]上为减函数可比较大小. C微点3　奇偶性、周期性与单调性的结合例7已知周期为2的函数f(x)(x∈R)满足f(x-1)=f(1-x),当x∈[-1,0]时,f(x)=e-x.设a=f(lo3),b=f(log210),c=f(log2200),则(　　)A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a [解析]∵f(x)的周期为2,且f(x-1)=f(1-x),∴f(x)=f(2-x)=f(-x),∴f(x)为偶函数,∴a=f(log23)=f(log23-2)=log2,b=f(log210)=f(log210-4)=f(log2),c=f(log2200)=f(log2200-8)=f(log2),则-1<log2<log2<log2<0,当x∈[-1,0]时,f(x)=e-x,易知f(x)在[-1,0]上是减函数,∴b>a>c.故选C. C[总结反思]解决周期性、奇偶性与单调性相结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.▶应用演练1.【微点1】[2020·乌鲁木齐二诊]下列函数是偶函数且在(0,+∞)上是增函数的是(　　)A.f(x)=|lnx|B.f(x)=C.f(x)=x-D.f(x)=3|x| [解析]对于选项A,因为f(x)=|lnx|,所以其定义域为(0,+∞),不关于原点对称,所以函数f(x)=|lnx|为非奇非偶函数,故排除A;D对于选项B,因为f(x)==,所以其定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以函数f(x)=为非奇非偶函数,故排除B; ▶应用演练1.【微点1】[2020·乌鲁木齐二诊]下列函数是偶函数且在(0,+∞)上是增函数的是(　　)A.f(x)=|lnx|B.f(x)=C.f(x)=x-D.f(x)=3|x| 对于选项C,因为f(x)=x-,所以其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,因为f(-x)=-x-=-(x-)=-f(x),所以函数f(x)=x-为奇函数,故排除C; D▶应用演练1.【微点1】[2020·乌鲁木齐二诊]下列函数是偶函数且在(0,+∞)上是增函数的是(　　)A.f(x)=|lnx|B.f(x)=C.f(x)=x-D.f(x)=3|x| D对于选项D,因为f(x)=3|x|,所以其定义域为R,关于原点对称,因为f(-x)=3|-x|=3|x|=f(x),所以函数f(x)=3|x|为R上的偶函数,又当x>0时,f(x)=3x,而指数函数y=3x为R上的增函数,所以函数f(x)=3|x|为(0,+∞)上的增函数,故选项D符合题意.故选D.2.【微点1】已知函数f(x)=x(|x|+1),则不等式f(x2)+f(x-2)>0的解集为(　　)A.(-2,1)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)[解析]∵f(x)=x(|x|+1),∴f(-x)=-x(|-x|+1)=-x(|x|+1)=-f(x),∴f(x)为奇函数,由x≥0时,f(x)=x2+x,可知f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,0]上也单调递增,易知函数f(x)为R上的连续函数,故f(x)为R上的增函数.由f(x2)+f(x-2)>0,得f(x2)>-f(x-2),即f(x2)>f(2-x),∴x2>2-x,解得x<-2或x>1,故选D.D3.【微点2】[2020·银川一中第五次模拟]设f(x)是奇函数且满足f(x+1)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=5x(1-x),则f(-2020.6)=(　　)A.0.84B.0.7C.-1.6D.-1.2[解析]∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=-f(x+1)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的周期函数.又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(-2020.6)=f(-0.6)=-f(0.6)=-5×0.6×(1-0.6)=-1.2,故选D.D4.【微点2】已知函数f(x)的图像关于原点对称,且满足f(x+1)+f(3-x)=0,当x∈(2,4)时,f(x)=-(x-1)+m,若=f(-1),则m=(　　)A.B.C.-D.- [解析]因为函数f(x)的图像关于原点对称,所以f(x)为奇函数.因为f(x+1)+f(3-x)=0,所以f(x+1)=-f(3-x)=f(x-3),所以函数f(x)是周期为4的周期函数,则f(2021)=f(1).而f(-1)=-f(1),由=f(-1)可得=-f(1),解得f(1)=,又f(x+1)+f(3-x)=0,所以f(1)=-f(3)=(3-1)-m=,解得m=-.故选C. C5.【微点3】已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)是偶函数,f(x-1)是奇函数,f(x)在[-1,1]上单调递增,则(　　)A.f(0)>f(2020)>f(2019)B.f(0)>f(2019)>f(2020)C.f(2020)>f(2019)>f(0)D.f(2020)>f(0)>f(2019)[解析]由f(x+1)是偶函数,得f(x+1)=f(-x+1),即f(x)=f(-x+2),由f(x-1)是奇函数,得f(x-1)=-f(-x-1),即f(x)=-f(-x-2),所以-f(-x-2)=f(-x+2),所以f(-x+8)=-f(-x+4)=f(-x),所以f(x)是周期为8的周期函数.由f(x-1)是奇函数,得f(0-1)=f(-1)=0,因为f(x)在[-1,1]上单调递增,所以f(0)>0,f(2019)=f(3)=f(-1)=0,f(2020)=f(4)=-f(0)<0,所以f(0)>f(2019)>f(2020),故选B.B　【备选理由】例1考查了函数图像对称性的应用,结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数图像的对称中心是解决本题的关键.例2、例3主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用,解抽象函数不等式的问题有两种方法,一种是将函数表达式直接写出,解不等式即可;一种是通过研究函数的单调性直接将不等式转化为自变量的不等关系.例4考查对称性及其应用,同时考查学生分析问题、解决问题的能力.例5为新定义型题,注意审题,需要根据对称性依次判断选项的正确性,考查稍广.例1[配合例3使用]已知函数y=f(x+1)-2为奇函数,g(x)=,且f(x)与g(x)图像的交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则x1+x2+…+x6+y1+y2+…+y6=　　.  [解析]∵函数y=f(x+1)-2为奇函数,∴函数f(x)的图像关于点(1,2)对称,又g(x)==2+,∴函数g(x)的图像关于点(1,2)对称,∴x1+x2+…+x6+y1+y2+…+y6=3×2+3×4=18. 18例2[配合例5使用]函数f(x)在定义域R内满足f(x)=f(-x),当x≥0时,f(x)=x2-2x,则不等式f(x+1)<3的解集是　　. [解析]当x≥0时,f(x)=x2-2x,令t=x+1,当t≥0时,由f(t)<3,可得t2-2t<3,得0≤t<3.∵f(x)=f(-x),∴函数f(x)为偶函数,∴f(x)的图像关于y轴对称,∴当t<0时,由f(t)<3,可得-3<t<0.综上,-3<t<3,即-3<x+1<3,解得-4<x<2,∴不等式f(x+1)<3的解集是(-4,2).(-4,2)例3[配合例5使用]函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(x)为奇函数.当x>0时,f(2x)=2f(x)-1,且f(2)=3,则满足-5<f(2x-7)<2的x的取值范围是　　. [解析] ∵当x>0时,f(2x)=2f(x)-1,且f(2)=3,∴f(2)=2f(1)-1,∴f(1)=2,又f(4)=2f(2)-1=5,∴f(-4)=-f(4)=-5,则-5<f(2x-7)<2,即为f(-4)<f(2x-7)<f(1).∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(x)为奇函数,∴f(x)在(-∞,0]上单调递增,由f(x)=,得f(x)在(0,+∞)上恒大于0,∴f(x)在R上单调递增,∴-4<2x-7<1,∴3<2x<8,∴log23<x<3,即x∈(log23,3). (log23,3) 例4[补充使用][2020·山西运城模拟]已知[x]表示不超过x的最大整数,若函数f(x)=(m>0)的图像关于点(0,)对称,且方程[f(x)+n]=2020有实根,则mn的取值范围为(　　)A.(2019,2020]B.(2019,2021)C.[2020,2021]D.[2019,2021] [解析]由f(x)的图像关于点(0,)对称,得f(x)+f(-x)=1,取x=0,得2f(0)==1,所以m=1,所以f(x)==1+.因为2x+1>1,所以-1<<0,所以0<f(x)<1,所以n<f(x)+n<n+1,由[f(x)+n]=2020,得2020≤f(x)+n<2021,可得(n,n+1)∩[2020,2021)≠⌀,所以2019<n<2021,所以mn的取值范围是(2019,2021),故选B. B 例5[补充使用](多选题)[2020·湖南郴州月考]定义:若函数f(x)的图像经过变换Γ后所得图像对应的函数的值域与f(x)的值域相同,则称变换Γ是f(x)的“同值变换”,下面给出四个函数及其对应的变换Γ,其中Γ是f(x)的“同值变换”的是(　)A.f(x)=x2-2x,Γ:将函数f(x)的图像关于y轴对称B.f(x)=2x-1,Γ:将函数f(x)的图像关于x轴对称C.f(x)=log2x,Γ:将函数f(x)的图像关于直线y=x对称D.f(x)=cos(x+),Γ:将函数f(x)的图像关于点(-2,0)对称 AD[解析]函数f(x)=x2-2x的图像关于y轴对称后所得图像对应的函数为y=x2+2x,其值域与原函数的值域相同,故A正确;函数f(x)=2x-1的图像关于x轴对称后所得图像对应的函数为y=-2x+1,其值域与原函数的值域不同,故B不正确;函数f(x)=log2x的图像关于直线y=x对称后所得图像对应的函数为y=2x,其值域与原函数的值域不同,故C不正确;函数f(x)=cos(x+)的图像关于点(-2,0)对称后所得图像对应的函数为y=-cos(-4-x+),其值域与原函数的值域相同,故D正确.故选AD.